tài liệu lượng giác 11

Trịnh Thị Hồng Hạnh Các công thức lợng giác thờng gặp 1. Công thức cộng: cos(x+y)=cosx.cosy-sinx.siny ; c, cos(x-y)=cosx.cosy+sinx.siny sin(x+y)=sinx.cosy+cosx.siny ; d, sin(x-y)=sinx.cosy-cosx.siny 2 2 tan tan 2 1 tan x x x = ; f, tan tan tan( ) 1 tan .tan x y x y x y = + 2. Công thức nhân đôi: sin2x=2sinx.cosx cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1=1-2sin 2 x 2 2 tan tan 2 1 tan x x x = 3. Công thức nhân ba: sin3x=3sinx-4sin 3 x cos3x=4cos 3 x-3cosx 2 2 (3 tan ).tan tan 3 1 3 tan x x x x = 4. Công thức biến đổi tích thành tổng: [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 x y x y x y = + + ; [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y = + + [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 x y x y x y = + ; [ ] 1 cos .sin sin( ) sin( ) 2 x y x y x y = + 5. Công thức biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos cos 2 2 x y x y x y + + = ; cos cos 2sin sin 2 2 x y x y x y + = sin sin 2sin cos 2 2 x y x y x y + + = ; sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y + = 6. Công thức hạ bậc: 2 1 cos 2 sin 2 x x = ; 2 1 cos 2 cos 2 x x + = 3 3sin sin 3 sin 4 x x x = ; 3 3cos cos3 cos 4 x x x + = 7. Công thức tính sinx, cosx, tanx theo tan 2 x : Nếu đặt t= tan 2 x , ta đợc: 2 2 sin 1 t x t = + ; 2 2 1 cos 1 t x t = + ; 2 2 tan 1 t x t = Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh Phơng trình lợng giác Dạng 1: Phơng trình lợng giác cơ bản 1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải: 2 sin sin ( , 1 1) 2 x k x m k Z m x k = + = = = + 2 cos cos ( , 1 1) 2 x k x m k Z m x k = + = = = + tan tan ( , ) 2 x m x k x k k Z = = = + + cot cot ( , )x m x k x k k Z = = = + * Học thuộc lòng: ,sin 0 , ,sin 1 2 , 2 ,sin 1 2 , 2 ,cos 0 , 2 ,cos 1 2 , ,cos 1 2 , x x k k Z x x k k Z x x k k Z x x k k Z x x k k Z x x k k Z + = = + = = + + = = + + = = + + = = + = = + 2. Các ví dụ: Giải các phơng trình lợng giác sau: 1 1 sin ; 2 2sin 3 2 1 4 3 cos 2 ; 4 cos(3 1) 2 3 5 tan 1; 6 cot(2 1) 0 7 sin(2 ) sin( ); 8 cos(4 ) cos( ) 4 2 3 6 9 sin 3 cos 2 ; 10 cos(2 ) sin( ) 0 4 4 1 1 11 cos 3 sin ; 12 cot( ) ; 13 sin 2 4 3 3 14 sin(2 ) sin(3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = = = = = = = + = = + + = = = = + + ) 0; 15 tan( (cos sin )) 1 3 4 x x = + = Học để ngày mai lập nghiệp! TrÞnh ThÞ Hång H¹nh 3. Bµi tËp: 3 1 sin 2 2 2sin(5 3) 4 2 3 cos 2 2 4 2 cos(7 1) 1 5 tan 4 1 6 3cot(2 3) 1 7 sin(4 ) sin( 2 ) 6 3 1 8 cos( ) cos( ) 2 2 4 3 9 sin cos(4 ) 2 3 10 cos(3 ) si n( ) 0 6 12 11 3 cos sin 1 12 cot( ) 1 6 3 1 13 sin(3 6) 4 14 x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π = + = =− − − = =− + = + = − + − + = − = − − + − − = = − = − = 2 sin( ) sin(5 ) 0 3 12 6 15 cot( (cos sin )) 1 4 x x x x π π π − + − = + = Häc ®Ó ngµy mai lËp nghiÖp! Trịnh Thị Hồng Hạnh Dạng 2: Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác 1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải: Nhận dạng: af(x)+b=0 af 2 (x)+bf(x)+c=0 (a0) trong đó f(x) là một trong 4 hàm số: sinx, cosx, tanx, cotx. Ph ơng pháp : Đặt t=f(x), đa về phơng trình bậc nhất hoặc bậc hai theo ẩn t - Phơng trình cơ bản có thể không cần đặt. - Nếu đặt t=sinx hoặc t=cosx thì phải có điều kiện |t|1. Các công thức cần nhớ trong phần này: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,sin cos 1 sin 1 cos ;cos 1 sin sin cos , tan ;cot cos sin 1 1 ,1 tan ;1 cot cos sin ,sin 2 2sin .cos ;cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 tan 1 cos 2 1 , tan 2 ;sin ;cos 1 tan 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = = = + = = + + = + = + = = = = + = = = cos 2 2 x + 2. Các ví dụ: Giải các phơng trình lợng giác sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2sin 1 0 2 sin 4sin 3 0 3 3cos 2 5cos 2 2 0 4 sin 2cos sin 4 0 1 5 7 tan 5 0 cos 1 6 2cot 4 0 sin 7 cos 2 sin 2 cos 1 0 19 8 4si n 2 8cos 0 3 cos 9 3( 2)cos 2( 2 sin cos ) 0 sin 2cos 2 10 0 2 sin 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + = + + = + + = + = + = + + + = + = + = + = + Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh Chú ý: Thử điều kiện loại nghiệm: Khi bài toán có điều kiện ban đầu, ta phải xét xem nghiệm sau khi tìm đợc có thỏa mãn điều kiện đã cho hay không, bằng các cách: Cách 1: Thay trực tiếp nghiệm vừa tìm đợc vào điều kiện rồi kết luận. Cách 2: Dùng đờng tròn lợng giác. - Biểu diễn các họ nghiệm trên đờng đờng tròn lợng giác. - Biểu diễn điều kiện trên đờng tròn lợng giác. - Loại bỏ những điểm trùng nhau, suy ra họ nghiệm của bài toán. 3. Bài tập: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2sin 3 0 2 6cos 5cos 4 0 3 3 tan 3 3 tan 3 6 0 4 2sin cos 4sin 2 0 4 5 3tan 5 1 0 cos 5 6 1 5sin( ) 2cos ( ) 0 2 2 7 cos2 sin 2 cos 1 0 8 3sin 2 4sin 5 0 3 9 3cot 3 sin 9cos 5sin 5cos 4 10 0 1 2cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = = = + = + = + = + + = + = = + + = Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh Dạng 3: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải: Nhận dạng: asinx+bcosx=c (1) Ph ơng pháp giải: B ớc 1 : Kiểm tra +, Nếu a 2 +b 2 <c 2 , khi đó (1) vô nghiệm. +, Nếu a 2 +b 2 c 2 , thực hiện bớc 2. B ớc 2 : Chia hai vế của phơng trình (1) cho 2 2 a b+ , ta đợc: 2 2 2 2 2 2 .sin .cos a b c x x a b a b a b + = + + + Vì: 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b + = ữ ữ + + , nên tồn tại góc sao cho: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b = = + + (1) trở thành: 2 2 2 2 sin .cos cos .sin sin( ) c x x a b c x a b + = + + = + Trở về phơng trình cơ bản đối với sin đã làm ở dạng 1. Ghi nhớ: ,sin cos 0 , 4 ,sin cos 0 , 4 x x x k k Z x x x k k Z + + = = + + = = + 2. Các ví dụ: Giải các phơng trình lợng giác sau: 2 2 3 1 3 sin 3 cos3 2; 2 sin 2 cos 5 1 5 3 sin (3 3 cos ); 4 3sin 4 cos 3 2 5 sin 3 cos 3 cos 2 sin 2 ; 6 2cos (sin 1) 3 cos 2 7 2sin 3 sin 2 3 cos 2 0; 8 cos 3 sin 2 si n 1 9 3sin 3 cos3 4sin 1 10 2cos sin 2 3(cos 2 si n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = = = = + = = + = = + = = + )x Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh 3. Bài tập: Giải các phơng trình lợng giác sau: 1 3 sin 2 cos 2 2 2 5sin 12cos 12 3 sin 3 2 cos cos( 3 ) 5 4 3sin 4 cos 2 5 3 sin 3 cos 2 3 sin 2 cos 3 6 (1 3)sin (1 3) cos 2 7 3sin( ) 4 cos( ) 5cos 2011 0 2 2 8 3sin( ) sin( ) 2sin1972 0 3 6 9 2 cos( ) 6 sin( 5 12 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = = = + = + = + + = + + = + + = 2 ) 2sin( ) 2sin( ) 5 12 5 3 5 6 10 3cos sin 2 3(cos 2 sin ) x x x x x x = + + = + Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh Dạng 4: Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải: Nhận dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=d (1) Ph ơng pháp giải: B ớc 1 : Với cosx=0 , 2 x k k Z = + Khi đó (1) có dạng: asin 2 x=d +, Nếu a=d, thì (1) nhận , 2 x k k Z = + làm nghiệm. +, Nếu ad, thì (1) không nhận , 2 x k k Z = + làm nghiệm. B ớc 2 : Với cosx0 , 2 x k k Z + , 2 x k k Z + . Chia hai vế của phơng trình (1) cho cos 2 x0, ta đợc: 2 2 2 2 2 2 2 sin sin .cos . . .(1 tan ) cos cos tan tan (1 tan ) 0 ( ) tan tan 0 x x x a b c d x x x a x b x c d x a d x b x c d + + = + + + + = + + = Đặt t=tanx, suy ra phơng trình bậc hai đối với tanx. B ớc 3 : Giải phơng trình theo ẩn t, rồi suy ra ẩn x. 2. Các ví dụ: Giải các phơng trình lợng giác sau: 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 2 2 1 2sin sin .cos cos 1 0 2 4sin 3 3 sin 2 2cos 4 3 sin 3si n cos 1 1 4 4sin 6cos cos 5 4sin 3sin .cos sin cos 0 6 cos sin sin cos 3 1 7 8cos sin cos 8 2 sin 3sin 4cos 0 9 (sin 4cos )(sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + = = + = + = + = = + + = 2 4 4 2 2 4 sin .cos ) 2 cos 10 sin 5sin .cos 6cos 0 x x x x x x x x = + = Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh 3. Bài tập: Giải các phơng trình lợng giác sau: 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 1 sin 6sin .cos cos 2 4 2 2sin sin 2 5cos 2 3 3 3 sin 2 2 2sin 4 sin 5sin cos 7sin cos 2cos 0 5 sin sin cos 6 (tan 1)si n 3(cos sin )sin 3 7 sin ( ) 2 sin 4 8 sin 3 3cos 1 tan 9 1 si 1 tan x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + = + = = + + = + = = = + + 4 2 4 n 2 10 (sin 2 cos ) (sin 2cos )(5 7 sin 2 7 cos ) cos cos 0 x x x x x x x x x + + + = Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh Dạng 5 : Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải: * Nhận dạng: a.(sinx+cosx)+b.cosxsinx+c=0 (1) * Phơng pháp giải: B ớc 1 : Đặt sinx+cosx=t, 2t 2 1 sin cos 2 t x x = (1) trở thành: 2 2 1 . 0 2 2 0 2 t at b c bt at c b + + = + + = (2) B ớc 2 : Giải (2) theo t và chọn nghiệm t 0 thoả mãn điều kiện: 2t Với t=t 0 suy ra: sinx+cosx=t 0 0 0 2 sin( ) sin( ) 4 4 2 t x t x + = + = 2. Các ví dụ: Giải các phơng trình lợng giác sau: 2 2 2 2 2 3 2 1 sin cos 2sin cos 1 0 2 (1 cos )(1 sin ) 0 3 sin cos sin 2 0 4 6(sin cos ) sin cos 6 0 5 sin cos 4sin 2 0 6 3(tan cot ) 4(tan cot ) 2 0 1 5 7 cot (tan cot ) 2 0 cos 2 8 tan tan tan cot cot co x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + + = + = + + = + = + + + + = + + + + = + + + + + 3 2 2 t 6 9 3(tan cot ) 2( 3 1)(tan cot ) 4 2 3 0 1 1 10 10 cos sin cos sin 3 x x x x x x x x x = + + = + + + = Học để ngày mai lập nghiệp! [...]... lợng giác sau: 1 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 2 1 +sin x + cos 3 x = cos x +sin 2 x + cos 2 x 3 sin 3 x +cos 3 x = cos 2 x sin 3 x sin 5 x = 3 5 5 9 sin x + 6 cos x 3sin 2 x +cos 2 x = 8 4 6 2 sin 2 x cos 2 x = 7 sin x + 2 cos x 4 7 2 sin 3 x + cos 2 x sin x = 0 8 sin 3 x sin x +sin 2 x = 0 9 1 +sin x +cos x +sin 2 x + 2 cos 2 x = 0 10 3sin 3 x 3 cos 9 x =1 + 4(1 cos 2 3 x) sin 3 x 11 sin11x.sin... 19 cot x tan x + 4 sin 2 x = sin 2 x 2 cos x(cos x 1) 20 = 2(1 + sin x) sin x + cos x 18 cot x 1 = Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh Một số đề luyện thi đại học phần lợng giác Giải các phơng trình lợng giác sau: 4 sin 2 2 x +6 sin 2 x 3 cos 2 x 9 1 =0 cos x 2 1 +2 cos 2 x + 3 sin 2 x =3(sin x + 3 cos x) 1 x 1 x +cos 2 ( ) = sin 2 ( ) 4 3 2 2 x x 1 4 3(sin 3 ( ) cos 3 ( )) = 2 cos x +... +4 sin x +cos x 3 6 cos 2 x 3 sin 2 x =1 +sin 2 x (2 cos x 1)(2 sin x +cos x) =1 sin 2 x sin x cos 2 x(cos x 1) 8 = 2(1 +sin x) sin x +cos x 9 sin 2 x 2 cos x =sin x 1 7 cos x =1 +sin x 1 sin x 1 1 11 = 2 2 cos( x + ) cos x sin x 4 1 12 (sin x cos x ) 2 + sin 4 x =1 +sin 2 x 2 13 tan x 3 cot x = 4(sin x + 3 cos x) 10 14 4 cos 3 x cos 2 x 4 cos x +1 = 0 15 4(sin 4 x +cos 4 x) +sin 4 x 2 =0 16 (2 . kiện rồi kết luận. Cách 2: Dùng đờng tròn lợng giác. - Biểu diễn các họ nghiệm trên đờng đờng tròn lợng giác. - Biểu diễn điều kiện trên đờng tròn lợng giác. - Loại bỏ những điểm trùng nhau, suy. trình lợng giác sau: 1 1 sin ; 2 2sin 3 2 1 4 3 cos 2 ; 4 cos(3 1) 2 3 5 tan 1; 6 cot(2 1) 0 7 sin(2 ) sin( ); 8 cos(4 ) cos( ) 4 2 3 6 9 sin 3 cos 2 ; 10 cos(2 ) sin( ) 0 4 4 1 1 11 cos 3 sin. 2 2 tan 1 t x t = Học để ngày mai lập nghiệp! Trịnh Thị Hồng Hạnh Phơng trình lợng giác Dạng 1: Phơng trình lợng giác cơ bản 1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải: 2 sin sin ( , 1 1) 2 x k x m k Z