Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 17 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
17
Dung lượng
235,17 KB
Nội dung
CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC
I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC
Bài 201: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu :
()()()()
3
sin B C sin C A cos A B *
2
++ ++ +=
Do
A
BC
+
+=π
Nên:
()
3
*sinAsinBcosC
2
⇔
+−=
+−
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎝⎠
−
⇔−=
−
⇔− +=
−−
⎛⎞
−=
⇔
−+−
⎜⎟
⎝⎠
−−
⎛⎞
⇔− + =
⎜⎟
⎝⎠
−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
−
⎪
=
⎪
⎩
==
⇔
2
2
2
2
2
2
2
=
A
BAB C 3
2 sin cos 2 cos 1
22 2
CAB C1
2cos cos 2cos
22 22
CCAB
4cos 4cos cos 1 0
222
CAB AB
2cos cos 1 cos 0
22 2
CAB AB
2 cos cos sin 0
22 2
CAB
2cos cos
22
AB
sin 0
2
C
2cos cos0 1
2
A
2
⎧
π
⎧
⎪
=
⎪⎪
⇔
⎨⎨
−
⎪⎪
=
=
⎩
⎪
⎩
π
⎧
==
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=
⎪
⎩
C
23
B
AB
0
2
AB
6
2
C
3
Bài 202: Tính các góc của
A
BC
Δ
biết:
()
5
cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)
2
+++=
Ta có:
() ()()
2
5
*2cosA123cosBCcosBC
2
0
⇔
−+ + − + =
⎡⎤
⎣⎦
(
)
() ()
() ()
()
()
⇔− −+=
⎡⎤
⇔
−−+−−
⎣⎦
⎡⎤
⇔− −+ −=
⎣⎦
−=
⎧
−=
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
=−
⎪⎪
⎩
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
2
2
2
2
2
0
0
4cos A 4 3cosA.cos B C 3 0
2cosA 3cos B C 3 3cos B C 0
2cosA 3cos B C 3sin B C 0
sin B C 0
BC 0
3
3
cos A
cos A cos B C
2
2
A30
BC75
=
Bài 203: Chứng minh
A
BCΔ
có nếu :
0
C 120=
A
BC
sin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*)
22 2
++− ⋅ =
Ta có
A
BABCC ABC
(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin
22 2222
CAB CC AB A
2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin
22 22 2 2
CAB C AB
cos cos sin cos cos
22 2 22
CAB AB AB
cos cos cos cos cos
22 2 22
CAB AB
2cos cos cos cos cos
222 22
+−
⇔+=
−+
⇔+=+
−
⎛⎞
⇔+=⋅
⎜⎟
⎝⎠
−+
⎡⎤
⇔+=
⎢⎥
⎣⎦
⇔=
2
B
2
+
C1
cos
22
⇔=
(do
A
cos 0
2
>
và
B
cos 0
2
>
vì
A
B
0;
22 2
π
<
<
)
⇔=
0
C120
Bài 204: Tính các góc của
C
Δ
ΑΒ
biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và
33
sin A sin B sin C
2
+
++=
Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử
A
BC<<
Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B
Mà
A
BC++=π
nên
B
3
π
=
Lúc đó:
33
sin A sin B sin C
2
+
++=
33
sin A sin sin C
32
3
sin A sin C
2
AC AC 3
2sin cos
222
BAC3
2cos cos
222
3AC3
2. cos
222
CA 3
cos cos
22 6
π+
⇔++=
⇔+=
+−
⇔=
−
⇔=
⎛⎞
−
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−π
⇔==
Do C > A nên có:
CΔΑΒ
−π
π
⎧
⎧
=
=
⎪
⎪
⎪
⎪
ππ
⎪⎪
+= ⇔ =
⎨⎨
⎪⎪
ππ
⎪⎪
==
⎪⎪
⎩
⎩
CA
C
26
2
2
CA A
36
BB
33
Bài 205: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu
(
)
()
⎧
+≤
⎪
⎨
++=+
⎪
⎩
22 2
bca 1
sin A sin B sin C 1 2 2
Áp dụng đònh lý hàm cosin:
22
bca
cos A
2bc
+−
=
2
2
Do (1): nên
co
22
bca+≤
s A 0
≤
Do đó:
A
A
24
ππ
≤<π⇔≤ <
22
π
Vậy
()
A2
cos cos
242
π
≤
=∗
Mặt khác:
sin A sin B sinC++
BC BC
sin A 2sin cos
22
+
−
=+
A
BC
sin A 2 cos cos
22
−
=+
2
12 1
2
⎛⎞
≤
+⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
()
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
BC
do * và cos 1
2
Mà sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+
Dấu “=” tại (2) xảy ra
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪
⎩
sin A 1
A
2
cos
22
BC
cos 1
2
π
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=
=
⎪
⎩
A
2
BC
4
Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004)
Cho
A
BCΔ
không tù thỏa điều kiện
(
)
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++=
Tính ba góc của
A
BCΔ
* Cách 1: Đặt M =
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3
+
+−
Ta có: M =
2
BC BC
2cos A 4 2 cos cos 4
22
+
−
+−
⇔ M =
2
A
BC
2cos A 4 2sin cos 4
22
−
+−
Do
A
sin 0
2
>
và
B - C
cos 1
2
≤
Nên
2
A
M2cosA42sin 4
2
≤
+−
Mặt khác:
A
BCΔ
không tù nên
0A
2
π
<
≤
⇒≤ ≤
⇒≤
2
0cosA1
cos A cos A
Do đó:
A
M2cosA42sin 4
2
≤+ −
2
2
2
A
A
M12sin 42sin
22
AA
M4sin 42sin 2
22
A
M22sin 1 0
2
⎛⎞
⇔≤− + −
⎜⎟
⎝⎠
⇔≤− + −
⎛⎞
⇔≤− − ≤
⎜⎟
⎝⎠
4
Do giả thiết (*) ta có M=0
Vậy:
2
0
0
cos A cos A
A90
BC
cos 1
2
BC45
A1
sin
2
2
⎧
⎪
=
⎪
⎧
=
−
⎪⎪
=⇔
⎨⎨
==
⎪
⎩
⎪
⎪
=
⎪
⎩
* Cách 2:
()
* cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −=
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
2
BC BC
cos A 2 2 cos cos 2 0
22
ABC
cos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 0
22
AABC
cos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0
222
ABC BC
cos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 0
22 2
ABC B
cos A cos A 1 2 sin cos sin
22
+−
⇔+ −=
−
⇔−++ −=
−
⎛⎞
⇔−+−+ −
⎜⎟
⎝⎠
−−
⎛⎞⎛
⇔−−−−−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
−−
⎛⎞
⇔−−−−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎞
=
⎟
⎠
C
0(*)
2
=
Do
A
BCΔ
không tù nên và
co
cos A 0≥
s A 1 0
−
<
Vậy vế trái của (*) luôn
≤
0
Dấu “=” xảy ra
cos A 0
A
BC
2sin cos
22
BC
sin 0
2
⎧
⎪
=
⎪
−
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
0
0
A90
BC45
Bài 207: Chứng minh
A
BCΔ
có ít nhất 1 góc 60
0
khi và chỉ khi
sin A sin B sin C
3(*)
cos A cos B cosC
+
+
=
+
+
Ta có:
()
(
)
(
)
(*) sin A 3 cos A sin B 3 cosB sin C 3 cosC 0⇔− +− +− =
sin A sin B sin C 0
333
AB AB
2sin cos sin C 0
23 2 3
πππ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔−+−+−=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
+π − π
⎛⎞ ⎛
⇔−+−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
=
⎟
⎠
CABCC
2sin cos 2sin cos 0
22 3 2 26 26
CABC
2sin cos cos 0
26 2 26
⎡π π⎤ − π π
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
⇔−− +− −
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
π⎡ − π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−− +−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
=
π− ππ
⎛⎞ ⎛⎞⎛
⇔−=∨ =−=−
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠ ⎝⎠⎝
CABC
sin 0 cos cos cos
26 2 26 3 2
+
⎞
⎟
⎠
AB
π−π+−+π+
⇔=∨ =− ∨ =−
CABABABA
26 2 3 2 2 3 2
B
ππ
⇔=∨=∨=CAB
33
π
3
Bài 208: Cho
A
BCΔ
và V = cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C – 1. Chứng minh:
a/ Nếu V = 0 thì
A
BCΔ
có một góc vuông
b/ Nếu V < 0 thì
A
BCΔ
có ba góc nhọn
c/ Nếu V > 0 thì
A
BCΔ
có một góc tù
Ta có:
()()
2
11
V
1cos2A 1cos2B cos 1
22
=
++++−
()
()()
()
()(
2
2
2
1
V cos2A cos2B cos C
2
)
V
cos A B .cos A B cos C
V cosC.cos A B cos C
V
cosC cos A B cos A B
V
2cosC cos A cosB
⇔= + +
⇔= + −+
⇔=− −+
⇔=− −+ +
⎡⎤
⎣⎦
⇔=−
Do đó:
a / V 0 cos A 0 cos B 0 cosC 0
=
⇔=∨=∨=
⇔
A
BCΔ
⊥
tại A hay
A
BCΔ
⊥
tại B hay
A
BC
Δ
⊥
tại C
b / V 0 cos A.cos B.cosC 0
<
⇔>
⇔
A
BCΔ
có ba góc nhọn
( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên
không có trường hợp có 2 cos cùng âm )
c / V 0 cos A.cosB.cosC 0>⇔ <
cos A 0 cos B 0 cos C 0⇔<∨<∨<
⇔
A
BCΔ
có 1 góc tù.
II. TAM GIÁC VUÔNG
Bài 209: Cho
A
BCΔ
có
+
=
Bac
cotg
2b
Chứng minh
A
BCΔ
vuông
Ta có:
Bac
cotg
2b
+
=
++
⇔= =
B
cos
2R sin A 2R sin C sin A sin C
2
B
2R sin B sin B
sin
2
+−
⇔=
BACA
cos 2 sin . cos
22
BB
sin 2 sin .cos
22
C
2
B
2
−
⇔= >
2
BBAC B
cos cos . cos (do sin 0)
22 2 2
−
⇔= >
BAC B
cos cos (do cos 0)
22 2
−−
⇔= ∨=
⇔=+∨=+
BACBCA
2222
A
BCCAB
ππ
⇔=∨=
⇔Δ Δ
AC
22
ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C
Bài 210: Chứng minh
A
BCΔ
vuông tại A nếu
bc a
cos B cosC sin Bsin C
+=
Ta có:
bc a
cos B cosC sin Bsin C
+=
⇔+=
+
⇔=
2R sin B 2R sin C 2R sin A
cosB cosC sin Bsin C
sin BcosC sin C cos B sin A
cos B.cos C sin Bsin C
()
+
⇔=
⇔=
sin B C
sin A
cos B.cos C sin Bsin C
cos B cos C sin Bsin C (do sin A 0)>
()
⇔−
⇔+=
π
⇔+=
⇔Δ
cos B.cos C sin B.sin C 0
cos B C 0
BC
2
ABC vuông tại A
=
Bài 211: Cho
A
BCΔ
có:
A
BC ABC1
cos cos cos sin sin sin (*)
222 2222
⋅⋅−⋅⋅=
Chứng minh
A
BCΔ
vuông
Ta có:
⇔=+
+− +−
⎡⎤⎡
⇔+ =−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
⎥
⎦
A
BC1 ABC
(*) cos cos cos sin sin sin
2222 222
1AB ABC11AB AB
cos cos cos cos cos sin
22 22222 2
C
2
−−
⎡⎤⎡⎤
⇔+ =−−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−−
⇔+ =−+=−+
22
CABC CABC
sin cos cos 1 sin cos sin
222 222
CC ABC C C C AB
sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin
22 2 2 2 2 2 2
C
2
−−
⇔+ =+
2
C C AB C C AB C
sin cos cos cos cos cos sin
22 2 2 2 2 2
−
⎡⎤⎡⎤
⇔−= −
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−
⎡⎤⎡ ⎤
⇔− − =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
CC C ABC C
cos sin cos cos sin cos
22 2 2 2 2
CCCAB
sin cos cos cos 0
222 2
−
⇔=∨=
−−
⇔ =∨= ∨=
π
⇔=∨=+∨=+
πππ
⇔=∨=∨=
CCCA
sin cos cos cos
222 2
CCABCB
tg 1
22222
C
ABCBAC
24
CAB
222
B
A
Bài 212:
Chứng minh
A
BCΔ
vuông nếu:
3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++=
Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có:
22
3cosB 4sinB 9 16 cos B sin B 15+≤+ +=
và
22
6sin C 8cosC 36 64 sin C cos C 10+≤+ +=
nên: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++≤
Dấu “=” xảy ra
cosB sin B 4
tgB
34
sin C cosC 4
cotgC=
68
⎧⎧
==
⎪⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎩⎩
3
3
⇔=
π
⇔+=
tgB cotgC
BC
2
A
BC⇔Δ
vuông tại A.
Bài 213: Cho
A
BCΔ
có:
sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B
+
=
Chứng minh
A
BCΔ
vuông.
Ta có:
+=sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B
[
]
[]
⇔+ −=−+−−
⇔+=−+ −
2sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)
cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B)
[
]
⇔− = − −cos C 1 sin C cos(A B)
⇔− + = − −
2
cos C(1 sin C) (1 sin C). cos(A B)
⇔− + = −
2
cos C(1 sin C) cos C.cos(A B)
⇔= −+ = −cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*)
⇔=cos C 0
( Do nên
sin C 0>
(1 sin C) 1−+ <−
Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1−≥−
Do đó
A
BCΔ
vuông tại C
III. TAM GIÁC CÂN
Bài 214:Chứng minh nếu
A
BCΔ
có
C
tgA tgB 2 cotg
2
+=
thì là tam giác cân.
Ta có:
C
tgA tgB 2 cotg
2
+=
C
2cos
sin(A B)
2
C
cos A.cos B
sin
2
C
2cos
sin C
2
C
cos A.cos B
sin
2
CC C
2sin cos 2cos
22
C
cos A cosB
sin
2
+
⇔=
⇔=
⇔=
2
⇔
2
CC
sin cos A.cos B do cos 0
22
⎛⎞
=>
⎜⎟
⎝⎠
()()(
()
()
⇔− = ++ −⎡⎤
⎣⎦
⇔− =− + −
⇔−=
⇔=
11
1cosC cosAB cosAB
22
1 cosC cosC cos A B
cos A B 1
)
A
B
A
BC⇔Δ
cân tại C.
Bài 215:
Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:
33
A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
A
Ta có:
33
A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
A
22
A
B
sin sin
11
22
AA BB
cos cos cos cos
22 22
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⇔=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
(do
A
cos
2
>
0 và
B
cos
2
>
0 )
22
33
22
A
AB B
tg 1 tg tg 1 tg
2222
ABAB
tg tg tg tg 0
2222
AB A BAB
tg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*)
22 2 222
⎛⎞⎛⎞
⇔+=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⇔−+−=
⎛⎞⎡ ⎤
⇔− +++ =
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎣ ⎦
⇔=
A
B
tg tg
22
( vì
22
A
BAB
1tg tg tg tg 0
2222
+
++ >
)
⇔=
A
B
A
BC⇔Δ
cân tại C
Bài 216: Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:
()
22
22
22
cos A cos B 1
cotg A cotg B (*)
sin A sin B 2
+
=+
+
Ta có:
(*)
22
22 2 2
cos A cos B 1 1 1
2
sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
−
22
22 2 2
cos A cos B 1 1 1
1
sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞
⇔+=+
⎜⎟
+
⎝⎠
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
22 2 2
2111
2
sin A sin B sin A sin B
()
⇔=+
2
22 2 2
4 sin A sin B sin A sin B
()
22
0sinAsinB
sin A sin B
⇔= −
⇔=
Vậy
A
BCΔ
cân tại C
Bài 217: Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:
()
C
a b tg atgA btgB (*)
2
+= +
Ta có:
()
C
a b tg atgA btgB
2
+= +
()
⇔+ = +
C
a b cotg atgA btgB
2
⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
CC
a tgA cotg b tgB cotg 0
22
⎤
=
⎥
⎦
++
⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
=
⎥
⎦
A
BA
a tgA tg b tgB tg 0
22
B
−−
⇔+
++
=
A
BBA
a sin b sin
22
0
AB AB
cos A. cos cos B. cos
22
. CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC
I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC
Bài 201: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu :. 1−≥−
Do đó
A
BCΔ
vuông tại C
III. TAM GIÁC CÂN
Bài 214:Chứng minh nếu
A
BCΔ
có
C
tgA tgB 2 cotg
2
+=
thì là tam giác cân.
Ta có:
C
tgA tgB 2 cotg
2
+=