1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tài liệu Lượng giác_Chương 11 ppt

17 189 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 235,17 KB

Nội dung

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 201: Tính các góc của A BCΔ nếu : ()()()() 3 sin B C sin C A cos A B * 2 ++ ++ += Do A BC + +=π Nên: () 3 *sinAsinBcosC 2 ⇔ +−= +− ⎛⎞ ⇔− ⎜⎟ ⎝⎠ − ⇔−= − ⇔− += −− ⎛⎞ −= ⇔ −+− ⎜⎟ ⎝⎠ −− ⎛⎞ ⇔− + = ⎜⎟ ⎝⎠ − ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ − ⎪ = ⎪ ⎩ == ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 = A BAB C 3 2 sin cos 2 cos 1 22 2 CAB C1 2cos cos 2cos 22 22 CCAB 4cos 4cos cos 1 0 222 CAB AB 2cos cos 1 cos 0 22 2 CAB AB 2 cos cos sin 0 22 2 CAB 2cos cos 22 AB sin 0 2 C 2cos cos0 1 2 A 2 ⎧ π ⎧ ⎪ = ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ − ⎪⎪ = = ⎩ ⎪ ⎩ π ⎧ == ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ = ⎪ ⎩ C 23 B AB 0 2 AB 6 2 C 3 Bài 202: Tính các góc của A BC Δ biết: () 5 cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*) 2 +++= Ta có: () ()() 2 5 *2cosA123cosBCcosBC 2 0 ⇔ −+ + − + = ⎡⎤ ⎣⎦ ( ) () () () () () () ⇔− −+= ⎡⎤ ⇔ −−+−− ⎣⎦ ⎡⎤ ⇔− −+ −= ⎣⎦ −= ⎧ −= ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = =− ⎪⎪ ⎩ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ == ⎪ ⎩ 2 2 2 2 2 0 0 4cos A 4 3cosA.cos B C 3 0 2cosA 3cos B C 3 3cos B C 0 2cosA 3cos B C 3sin B C 0 sin B C 0 BC 0 3 3 cos A cos A cos B C 2 2 A30 BC75 = Bài 203: Chứng minh A BCΔ có nếu : 0 C 120= A BC sin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*) 22 2 ++− ⋅ = Ta có A BABCC ABC (*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin 22 2222 CAB CC AB A 2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin 22 22 2 2 CAB C AB cos cos sin cos cos 22 2 22 CAB AB AB cos cos cos cos cos 22 2 22 CAB AB 2cos cos cos cos cos 222 22 +− ⇔+= −+ ⇔+=+ − ⎛⎞ ⇔+=⋅ ⎜⎟ ⎝⎠ −+ ⎡⎤ ⇔+= ⎢⎥ ⎣⎦ ⇔= 2 B 2 + C1 cos 22 ⇔= (do A cos 0 2 > và B cos 0 2 > vì A B 0; 22 2 π < < ) ⇔= 0 C120 Bài 204: Tính các góc của C Δ ΑΒ biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và 33 sin A sin B sin C 2 + ++= Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử A BC<< Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B Mà A BC++=π nên B 3 π = Lúc đó: 33 sin A sin B sin C 2 + ++= 33 sin A sin sin C 32 3 sin A sin C 2 AC AC 3 2sin cos 222 BAC3 2cos cos 222 3AC3 2. cos 222 CA 3 cos cos 22 6 π+ ⇔++= ⇔+= +− ⇔= − ⇔= ⎛⎞ − ⇔= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ −π ⇔== Do C > A nên có: CΔΑΒ −π π ⎧ ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ππ ⎪⎪ += ⇔ = ⎨⎨ ⎪⎪ ππ ⎪⎪ == ⎪⎪ ⎩ ⎩ CA C 26 2 2 CA A 36 BB 33 Bài 205: Tính các góc của A BCΔ nếu ( ) () ⎧ +≤ ⎪ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ 22 2 bca 1 sin A sin B sin C 1 2 2 Áp dụng đònh lý hàm cosin: 22 bca cos A 2bc +− = 2 2 Do (1): nên co 22 bca+≤ s A 0 ≤ Do đó: A A 24 ππ ≤<π⇔≤ < 22 π Vậy () A2 cos cos 242 π ≤ =∗ Mặt khác: sin A sin B sinC++ BC BC sin A 2sin cos 22 + − =+ A BC sin A 2 cos cos 22 − =+ 2 12 1 2 ⎛⎞ ≤ +⋅ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ () − ⎛⎞ ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ BC do * và cos 1 2 Mà sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+ Dấu “=” tại (2) xảy ra ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ − ⎪ = ⎪ ⎩ sin A 1 A 2 cos 22 BC cos 1 2 π ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ = = ⎪ ⎩ A 2 BC 4 Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) Cho A BCΔ không tù thỏa điều kiện ( ) cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++= Tính ba góc của A BCΔ * Cách 1: Đặt M = cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 + +− Ta có: M = 2 BC BC 2cos A 4 2 cos cos 4 22 + − +− ⇔ M = 2 A BC 2cos A 4 2sin cos 4 22 − +− Do A sin 0 2 > và B - C cos 1 2 ≤ Nên 2 A M2cosA42sin 4 2 ≤ +− Mặt khác: A BCΔ không tù nên 0A 2 π < ≤ ⇒≤ ≤ ⇒≤ 2 0cosA1 cos A cos A Do đó: A M2cosA42sin 4 2 ≤+ − 2 2 2 A A M12sin 42sin 22 AA M4sin 42sin 2 22 A M22sin 1 0 2 ⎛⎞ ⇔≤− + − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔≤− + − ⎛⎞ ⇔≤− − ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ 4 Do giả thiết (*) ta có M=0 Vậy: 2 0 0 cos A cos A A90 BC cos 1 2 BC45 A1 sin 2 2 ⎧ ⎪ = ⎪ ⎧ = − ⎪⎪ =⇔ ⎨⎨ == ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ * Cách 2: () * cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −= () () () () 2 2 2 2 2 2 2 BC BC cos A 2 2 cos cos 2 0 22 ABC cos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 0 22 AABC cos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0 222 ABC BC cos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 0 22 2 ABC B cos A cos A 1 2 sin cos sin 22 +− ⇔+ −= − ⇔−++ −= − ⎛⎞ ⇔−+−+ − ⎜⎟ ⎝⎠ −− ⎛⎞⎛ ⇔−−−−− ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ −− ⎛⎞ ⇔−−−− ⎜⎟ ⎝⎠ = ⎞ = ⎟ ⎠ C 0(*) 2 = Do A BCΔ không tù nên và co cos A 0≥ s A 1 0 − < Vậy vế trái của (*) luôn ≤ 0 Dấu “=” xảy ra cos A 0 A BC 2sin cos 22 BC sin 0 2 ⎧ ⎪ = ⎪ − ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ − ⎪ = ⎪ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ == ⎪ ⎩ 0 0 A90 BC45 Bài 207: Chứng minh A BCΔ có ít nhất 1 góc 60 0 khi và chỉ khi sin A sin B sin C 3(*) cos A cos B cosC + + = + + Ta có: () ( ) ( ) (*) sin A 3 cos A sin B 3 cosB sin C 3 cosC 0⇔− +− +− = sin A sin B sin C 0 333 AB AB 2sin cos sin C 0 23 2 3 πππ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⇔−+−+−= ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ +π − π ⎛⎞ ⎛ ⇔−+− ⎜⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎝ ⎞ = ⎟ ⎠ CABCC 2sin cos 2sin cos 0 22 3 2 26 26 CABC 2sin cos cos 0 26 2 26 ⎡π π⎤ − π π ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⇔−− +− − ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ π⎡ − π⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔−− +−= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ = π− ππ ⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⇔−=∨ =−=− ⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎝⎠ ⎝⎠⎝ CABC sin 0 cos cos cos 26 2 26 3 2 + ⎞ ⎟ ⎠ AB π−π+−+π+ ⇔=∨ =− ∨ =− CABABABA 26 2 3 2 2 3 2 B ππ ⇔=∨=∨=CAB 33 π 3 Bài 208: Cho A BCΔ và V = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C – 1. Chứng minh: a/ Nếu V = 0 thì A BCΔ có một góc vuông b/ Nếu V < 0 thì A BCΔ có ba góc nhọn c/ Nếu V > 0 thì A BCΔ có một góc tù Ta có: ()() 2 11 V 1cos2A 1cos2B cos 1 22 = ++++− () ()() () ()( 2 2 2 1 V cos2A cos2B cos C 2 ) V cos A B .cos A B cos C V cosC.cos A B cos C V cosC cos A B cos A B V 2cosC cos A cosB ⇔= + + ⇔= + −+ ⇔=− −+ ⇔=− −+ + ⎡⎤ ⎣⎦ ⇔=− Do đó: a / V 0 cos A 0 cos B 0 cosC 0 = ⇔=∨=∨= ⇔ A BCΔ ⊥ tại A hay A BCΔ ⊥ tại B hay A BC Δ ⊥ tại C b / V 0 cos A.cos B.cosC 0 < ⇔> ⇔ A BCΔ có ba góc nhọn ( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên không có trường hợp có 2 cos cùng âm ) c / V 0 cos A.cosB.cosC 0>⇔ < cos A 0 cos B 0 cos C 0⇔<∨<∨< ⇔ A BCΔ có 1 góc tù. II. TAM GIÁC VUÔNG Bài 209: Cho A BCΔ có + = Bac cotg 2b Chứng minh A BCΔ vuông Ta có: Bac cotg 2b + = ++ ⇔= = B cos 2R sin A 2R sin C sin A sin C 2 B 2R sin B sin B sin 2 +− ⇔= BACA cos 2 sin . cos 22 BB sin 2 sin .cos 22 C 2 B 2 − ⇔= > 2 BBAC B cos cos . cos (do sin 0) 22 2 2 − ⇔= > BAC B cos cos (do cos 0) 22 2 −− ⇔= ∨= ⇔=+∨=+ BACBCA 2222 A BCCAB ππ ⇔=∨= ⇔Δ Δ AC 22 ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C Bài 210: Chứng minh A BCΔ vuông tại A nếu bc a cos B cosC sin Bsin C += Ta có: bc a cos B cosC sin Bsin C += ⇔+= + ⇔= 2R sin B 2R sin C 2R sin A cosB cosC sin Bsin C sin BcosC sin C cos B sin A cos B.cos C sin Bsin C () + ⇔= ⇔= sin B C sin A cos B.cos C sin Bsin C cos B cos C sin Bsin C (do sin A 0)> () ⇔− ⇔+= π ⇔+= ⇔Δ cos B.cos C sin B.sin C 0 cos B C 0 BC 2 ABC vuông tại A = Bài 211: Cho A BCΔ có: A BC ABC1 cos cos cos sin sin sin (*) 222 2222 ⋅⋅−⋅⋅= Chứng minh A BCΔ vuông Ta có: ⇔=+ +− +− ⎡⎤⎡ ⇔+ =−− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ ⎤ ⎥ ⎦ A BC1 ABC (*) cos cos cos sin sin sin 2222 222 1AB ABC11AB AB cos cos cos cos cos sin 22 22222 2 C 2 −− ⎡⎤⎡⎤ ⇔+ =−− ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ −− ⇔+ =−+=−+ 22 CABC CABC sin cos cos 1 sin cos sin 222 222 CC ABC C C C AB sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin 22 2 2 2 2 2 2 C 2 −− ⇔+ =+ 2 C C AB C C AB C sin cos cos cos cos cos sin 22 2 2 2 2 2 − ⎡⎤⎡⎤ ⇔−= − ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ − ⎡⎤⎡ ⎤ ⇔− − = ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ CC C ABC C cos sin cos cos sin cos 22 2 2 2 2 CCCAB sin cos cos cos 0 222 2 − ⇔=∨= −− ⇔ =∨= ∨= π ⇔=∨=+∨=+ πππ ⇔=∨=∨= CCCA sin cos cos cos 222 2 CCABCB tg 1 22222 C ABCBAC 24 CAB 222 B A Bài 212: Chứng minh A BCΔ vuông nếu: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++= Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có: 22 3cosB 4sinB 9 16 cos B sin B 15+≤+ += và 22 6sin C 8cosC 36 64 sin C cos C 10+≤+ += nên: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++≤ Dấu “=” xảy ra cosB sin B 4 tgB 34 sin C cosC 4 cotgC= 68 ⎧⎧ == ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎩⎩ 3 3 ⇔= π ⇔+= tgB cotgC BC 2 A BC⇔Δ vuông tại A. Bài 213: Cho A BCΔ có: sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B + = Chứng minh A BCΔ vuông. Ta có: +=sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B [ ] [] ⇔+ −=−+−− ⇔+=−+ − 2sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B) cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B) [ ] ⇔− = − −cos C 1 sin C cos(A B) ⇔− + = − − 2 cos C(1 sin C) (1 sin C). cos(A B) ⇔− + = − 2 cos C(1 sin C) cos C.cos(A B) ⇔= −+ = −cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*) ⇔=cos C 0 ( Do nên sin C 0> (1 sin C) 1−+ <− Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1−≥− Do đó A BCΔ vuông tại C III. TAM GIÁC CÂN Bài 214:Chứng minh nếu A BCΔ có C tgA tgB 2 cotg 2 += thì là tam giác cân. Ta có: C tgA tgB 2 cotg 2 += C 2cos sin(A B) 2 C cos A.cos B sin 2 C 2cos sin C 2 C cos A.cos B sin 2 CC C 2sin cos 2cos 22 C cos A cosB sin 2 + ⇔= ⇔= ⇔= 2 ⇔ 2 CC sin cos A.cos B do cos 0 22 ⎛⎞ => ⎜⎟ ⎝⎠ ()()( () () ⇔− = ++ −⎡⎤ ⎣⎦ ⇔− =− + − ⇔−= ⇔= 11 1cosC cosAB cosAB 22 1 cosC cosC cos A B cos A B 1 ) A B A BC⇔Δ cân tại C. Bài 215: Chứng minh A BCΔ cân nếu: 33 A BB sin .cos sin .cos 22 22 = A Ta có: 33 A BB sin .cos sin .cos 22 22 = A 22 A B sin sin 11 22 AA BB cos cos cos cos 22 22 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⇔= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (do A cos 2 > 0 và B cos 2 > 0 ) 22 33 22 A AB B tg 1 tg tg 1 tg 2222 ABAB tg tg tg tg 0 2222 AB A BAB tg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*) 22 2 222 ⎛⎞⎛⎞ ⇔+=+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⇔−+−= ⎛⎞⎡ ⎤ ⇔− +++ = ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎣ ⎦ ⇔= A B tg tg 22 ( vì 22 A BAB 1tg tg tg tg 0 2222 + ++ > ) ⇔= A B A BC⇔Δ cân tại C Bài 216: Chứng minh A BCΔ cân nếu: () 22 22 22 cos A cos B 1 cotg A cotg B (*) sin A sin B 2 + =+ + Ta có: (*) 22 22 2 2 cos A cos B 1 1 1 2 sin A sin B 2 sin A sin B + ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ − 22 22 2 2 cos A cos B 1 1 1 1 sin A sin B 2 sin A sin B + ⎛⎞ ⇔+=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ 22 2 2 2111 2 sin A sin B sin A sin B () ⇔=+ 2 22 2 2 4 sin A sin B sin A sin B () 22 0sinAsinB sin A sin B ⇔= − ⇔= Vậy A BCΔ cân tại C Bài 217: Chứng minh A BCΔ cân nếu: () C a b tg atgA btgB (*) 2 += + Ta có: () C a b tg atgA btgB 2 += + () ⇔+ = + C a b cotg atgA btgB 2 ⎡⎤⎡ ⇔− +− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ CC a tgA cotg b tgB cotg 0 22 ⎤ = ⎥ ⎦ ++ ⎡⎤⎡ ⇔− +− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ ⎤ = ⎥ ⎦ A BA a tgA tg b tgB tg 0 22 B −− ⇔+ ++ = A BBA a sin b sin 22 0 AB AB cos A. cos cos B. cos 22 . CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 201: Tính các góc của A BCΔ nếu :. 1−≥− Do đó A BCΔ vuông tại C III. TAM GIÁC CÂN Bài 214:Chứng minh nếu A BCΔ có C tgA tgB 2 cotg 2 += thì là tam giác cân. Ta có: C tgA tgB 2 cotg 2 +=

Ngày đăng: 25/01/2014, 20:20

w