Tuyển tập 60 đề thi học sinh giỏi lớp 6 môn Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 NĂM HỌC 2014-2015 Thời gian: 120 phút Câu 1: (6 điểm) a. Tính 87.57 30 57.32 25 19.8 13 19.8 11 8.5 3 5.3 2 A b. Cho a, b  N. Chứng tỏ rằng nếu 5a + 3b và 13a + 8b cùng chia hết cho 2012 thì a và b cũng chia hết cho 2012. c. Tìm các số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0 sao cho 16a = 25b = 30c Câu 2: (4điểm) 1. CMR: 4 1 50 1 5 1 4 1 3 1 2222 A 2. Rút gọn các phân số sau: 84.7760.5512.11 77.7055.5011.10   A 5.81.2.8 3.2.5.2 18 46315 B Câu 3: (2 điểm) Cho p và p +4 là các số nguyên tố (p>3). Chứng tỏ rằng p +8 là hợp số. Câu 4: (6 điểm) a. Cho 3 tia OA, OB, OC sao cho. Góc AOB = 110 0 , góc BOC = 130 0 , góc COA = 120 0 . Hỏi tia nào nằm giữa 2 tia còn lại. b. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox. Vẽ các tia Oy, Oz sao cho góc xOy = a 0 , góc xOz = b 0 (a<b 0 180 ). Vẽ các tia Om, On lần lượt là các tia phân giác của xOy, xOz. Chứng tỏ rằng: mOn = 2 00 ab  . Câu 5 (2 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y (x<y) sao cho. 8 111  yx ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn giải Câu1: a. b c 87 1 57 1 57 1 32 1 32 1 19 1 19 1 8 1 8 1 5 1 5 1 3 1 A 87 28 87 1 3 1 A Ta có: 5a + 3b  2012 => 13(5a+3b)  2012 => 65 a + 39b  2012 (1) Lại có: 13a + 8b  2012 => 5(13a + 8b)  2012 => 65 a + 40b  2012 (2) Từ (1)(2) => (65a + 40b) – (65a+39b)  2012 => b  2012 Tương tự => a  2012 Vậy a, b cũng chia hết cho 2012 Đặt 16a = 25b = 30c = x => x  16, x  25, x  30 Mà a,b,c nhỏ nhất , khác 0. => x nhỏ nhất khác 0 Vậy x = BCNN (16, 25, 30). X = 1200. Câu 2 1. 2. Ta có: 51.50 1 6.5 1 5.4 1 4.3 1 A 51 1 50 1 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 A 51 1 3 1 A 4 1 64 16 51 16 A Vậy 4 1 A 6 5 12 10 )7.75.52(12.11 )7.75.51(11.10    A 255 5.3.2 5.3.2 5.3.2.2 3.2.5.2 2 421 3421 4183 46315 B 1đ 1đ Câu 3 Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p có dạng P= 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k )N * Nếu p= 3k + 1 => p + 8 = 3k + 1 + 8 P + 8 = 3k + 9, là hợp số. * Nếu p = 3k + 2 => p+ 4 = 3k + 6, là hợp số (loại) Vậy p, p+4 là số nguyên tố (p>3) thì p+8 là hợp số. Câu 4 a. b. Ta có AOB + BOC = 110 0 + 130 0 = 240 0  COA Vậy tia OB không nằm giữa 2 tia OA và OC. Ta có AOB + COA = 110 0 + 120 0 = 230 0  BOC Vậy tia OA không nằm giữa 2 tia OA, OB KL: Vậy trong 3 tia OA, OB, OC không có tia nào nằm giữa 2 tia còn lại Vì tia 0m là tia phân giác của x0y. Nên x0m = m0y = 22 0 0 ayx  Vì tia 0n là tia phân giác của x0z Nên x0n = n0z = 22 0 0 bzx  Trên cùng 1 nửa mp bờ ox có a<b. -> x0m < x0n -> 0m nằm giữa 2 tia 0x và 0n. Ta có x0m + m0n = x0n -> 2 0 2 00 b nm a  -> m0n = 222 0000 abab   Câu 5 Ta có x<y => yx 11  => 8 12  x => 16x Lại có 8 8 11  x x => 8 < x< 16 => x  {9;10;11;12;13;14;15} 0 n y m x z Ta có bảng giá trị x 9 10 11 12 13 14 15 x 1 9 1 10 1 11 1 12 1 13 1 14 1 15 1 xy 1 8 11  72 1 40 1 88 3 24 1 104 5 56 3 120 7 y 72 40 Loại 24 Loại Loại Loại PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH VĂN ĐỀ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN 6 (N¨m häc 2013-2014) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 ( 4điểm): a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 18 1 y 3 9 x =− Bài 2 ( 5điểm): Cho S= 1 – 3 + 3 2 – 3 3 + + 3 98 – 3 99 . a) Chứng minh rằng S là bội của -20. b) Tính S, từ đó suy ra 3 100 chia cho 4 dư 1. Bài 3 (2 điểm ): Tìm số tự nhiên n để phân số 10n4 3n10 B − − = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 4 ( 4 điểm): Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy 1 và máy 2 thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể, dùng cả máy 2 và máy 3 thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể, còn nếu dùng máy 1 và máy 3 thì sau 2 giờ 24 phút bể sẽ đầy. Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng 1 mình thì sau bao lâu bể sẽ đầy? Bài 5 (5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? Duyệt của BGH Người ra đề Nguyễn Thị Hoàn ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 6. Câu 1 a) Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ giả thiết suy ra (x 20) 25 + M và (x 20) 28 + M và (x 20) 35 + ⇒ M x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (0,5 đ) - Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 ( ) k N ∈ . (0,5 đ) - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 ≤ ⇒ + ≤ ⇒ k = 1 (0,5 đ) ⇒ x + 20 = 700 ⇒ x = 680. (0,5 đ) b) Từ 18 1 y 3 9 x =− ta có: 18 1x2 18 1 9 x y 3 − =−= (x,y ∈ ∈∈ ∈ N) (0,5điểm) Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y ∈ ∈∈ ∈ Ư(54) = { } 54;27;18;9;6;3;2;1 , vì 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. Vậy y ∈ ∈∈ ∈ { {{ { } }} } 541862 ;;; (0,5điểm) Ta có bảng sau: (0,5 điểm) Vậy (x;y) ∈ ∈∈ ∈ { } )54;1();18;2();6;5();2;14( (0,5điểm) Bài 2 ( 5 điểm) : a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm , mỗi nhóm có 4 số hạng : S= 1 – 3 + 3 2 – 3 3 + + 3 98 – 3 99 = (1 – 3 + 3 2 – 3 3 ) + (3 4 – 3 5 + 3 6 – 3 7 ) + +(3 96 – 3 97 + 3 98 – 3 99) (1 điểm) = ( - 20 ) + 3 4 ( - 20 ) + + 3 96 ( - 20 ) M -20 (1 điểm) Vậy S M -20 b) S= 1 – 3 + 3 2 – 3 3 + + 3 98 – 3 99 3S= 3 – 3 2 + 3 3 – 3 4 + +3 99 – 3 100 1 điểm) Cộng từng vế của 2 đẳng thức ta được : 3S + S = ( 3+1 ) S = 4S = 4 31 100 − ( 1 điểm) y 2 6 18 54 2x-1 27 9 3 1 x 14 5 2 1 S là một số nguyên nên 1 – 3 100 M 4 hay 3 100 – 1 M 4 ⇒ 3 100 chia cho 4 dư 1 (1 điểm) Bài 3 (2 điểm): ( (( ( ) )) ) 52 11 2 5 522 22 2 5 522 22525 104 310 − −− − + ++ += == = − −− − + ++ += == = − −− − + ++ + − −− − = == = − −− − − −− − = == = n)n(n )n( n n B)a ( 1 điểm) B đạt giá trị lớn nhất khi 52 11 − −− − n đạt giá trị lớn nhất. Vì 11>0 và không đ ổi nên 52 11 − −− − n đạt giá trị lớn nhất khi:2n - 5> 0 và đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ ⇔⇔ ⇔ 2n - 5 = 1 ⇔ ⇔⇔ ⇔ n = 3 ( 0,5điểm) Vậy:B đạt giá trị lớn nhất là 51311 2 5 ,= == =+ ++ + khi n = 3 (0,5điểm) Bài 4( 4 điểm ) Máy một và máy hai bơm 1 giờ 20 phút hay 4 3 giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai bơm được 4 3 bể . (0,5đ) Máy hai và máy ba bơm 1 giờ 30 phút hay 3 2 giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba bơm được 3 2 bể. (0,5đ) Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay 12 5 giờ đầy bể nên một giờ máy một và ba bơm được 12 5 bể. (0,5 ) ⇒ Một giờ cả ba máy bơm 12 11 2: 12 5 3 2 4 3 =       ++ bể. (0,5đ) Một giờ:máy ba bơm được 6 1 4 3 12 11 =− bể ⇒ Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể (0,5đ) máy một bơm được 4 1 3 2 12 11 =− bể ⇒ Máy một bơm một mình 4 giờ đầy bể (0,5đ) máy hai bơm được 2 1 12 5 12 11 =− bể ⇒ Máy hai bơm một mình 2 giờ đầy bể (0,5đ ) Kết luận (0,5đ) Bài 5 ( 5 điểm ) Vẽ hình đúng a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =180 0 (0,5điểm) mà BOC = 5.AOB nên:6 AOB = 180 0 (0,5đi ểm) Do đó: AOB = 180 0 : 6 = 30 0 ; BOC = 5. 30 0 = 150 0 (1điểm) b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên BOD = DOC = 2 1 BOC = 75 0 . (0,5điểm) Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =180 0 (0,5điểm) Do đó AOD =180 0 - DOC = 180 0 - 75 0 = 105 0 (0,5điểm) c) Tất cả có n+4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n+4)(n+3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .Vậy có tất cả 2 )3n)(4n( + + góc (1 điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó. A B C O D (0,5điểm) ĐỀ SỐ II Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. a. chứng tỏ rằng 2 30 112 + + n n là phân số tối giản. b. Chứng minh rằng : 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 + + 2 100 1 <1 Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán . Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. [...]... 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64 ; 81 Câu 2(1 ): Ch ng minh r ng các phân s sau ây b ng nhau c trưng c a các 41 4141 414141 ; ; 88 8888 888888 27425 − 27 27425425 − 27425 2 ; 99900 99900000 1 Câu 3(1,5 ): Tính các t ng sau m t cách h p lí a) 1+ 6+ 11+ 16+ + 46+ 51 b) 52 52 52 52 52 52 + + + + + 1 .6 6.11 11. 16 16. 21 21. 26 26. 31 Câu 4(1,5 ): T ng k t t thi ua k ni m ngày nhà giáo Vi t Nam 20/11, l p 6A có 43... ƯCLN c a chúng là 36 Câu 2: Tính nhanh: a35.34 + 35. 86 + 65 .75 + 65 .45 ; b21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125. 16 ; Câu 3: So sánh: 920 và 2713 Câu 4: Tìm x bi t: a, |2x - 1| = 5 ; b, ( 5x - 1).3 - 2 = 70 ; Câu 5: Ch ng minh t ng sau chia h t cho 7 A = 21 + 22 + 23 + 24 + + 259 + 260 ; Câu 6: chu n b cho kỳ thi h c sinh gi i, m t h c sinh gi i 35 bài toán Bi t r ng c m i bài t lo i gi i ư c thư ng 20 i m,... lí : 63 6 363 .37 − 373737 .63 1 + 2 + 3 + + 20 06 12 12 12 4 4 4   12 + − − 4+ + +  6  19 37 53 : 17 19 20 06  124242423 2) B= 1  5 5 5  237373735 1 3 3 41  − 5+ + +  3+ −  3 37 53 17 19 20 06   1) A = Câu II : 2 Tìm các c p s (a,b) sao cho : 4a5b M 45 Câu III : 2 Cho A = 31 +32+33 + .+ 320 06 a, Thu g n A b, Tìm x 2A+3 = 3x Câu IV : 1 So sánh: A = 2005 2005 + 1 2005 2004 + 1 và B = 2005 20 06 +... 135 + 550.2 2 + 4 + 6 + 14 + 16 + 18 20 06 20 06 + 1 20 06 2005 + 1 và B = b So sánh: A = 2007 2007 + 1 20 06 20 06 + 1 a Tính t ng S = Bài 2 (2 ) a Ch ng minh r ng: C = 2 + 22 + 2 + 3 +… + 299 + 2100 chia h t cho 31 b Tính t ng C Tìm x 22x -1 - 2 = C Bài 3 (2 ) M t s chia h t cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 H i s ó chia cho1292 dư bao nhiêu Bài 4 (2 ) Trong t thi ua, l p 6A có 42 b n ư c t... 11 b Ch ng minh r ng: 10 28 + 8 ∶ 72 Câu 3 Hai l p 6A;6B cùng thu nh t m t s gi y v n b ng nhau L p 6A có 1 b n thu ư c 26 Kg còn l i m i b n thu ư c 11 Kg ; L p 6B có 1 b n thu ư c 25 Kg còn l i m i b n thu ư c 10 Kg Tính s h c sinh m i l p bi t r ng s gi y m i l p thu ư c trong kho ng 200Kg n 300 Kg Câu 4 Tìm 3 s có t ng b ng 210, bi t r ng b ng 6 s 7 th nh t b ng 9 s 11 th 2 và 2 s th 3 3 Câu 5... Tính xem trong t thi ua ó l p 6A có bao nhiêu i m 10 Câu 5(1,5 ): B n Nam h i tu i c a b B b n Nam tr l i: “N u b s ng n 100 tu i thì 6/ 7 c a 7/10 s tu i c a b s l n hơn 2/5 c a 7/8 th i gian b ph i s ng là 3 năm” H i b c a b n Nam bao nhiêu tu i Câu 6( 2 ): Cho tam giác ABC có BC = 5cm i m M thu c tia i c a tia CB sao cho CM = 3cm a) Tính dài BM b) Cho bi t góc BAM = 800, góc BAC = 60 0 Tính góc CAM... thì phân s m i b a l n hơn hay bé hơn ? b 4 Cho s 155 * 710 * 4 * 16 có 12 ch s ch ng minh r ng n u thay các d u * b i 3 Cho phân s các chưc s khác nhau trong ba ch s 1,2,3 m t cách tuỳ ý thì s cho 3 96 5 ch ng minh r ng: a) 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < ; 2 4 8 16 32 64 3 b) ó luôn chia h t 1 2 3 4 99 100 3 − 2 + 3 − 4 + + 99 − 100 < 3 3 16 3 3 3 3 Bài 2: (2 i m ) Trên tia Ox xác nh các i m A và B sao... thì phân s m i l n b a hơn hay bé hơn ? b 4 Cho s 155 * 710 * 4 * 16 có 12 ch s ch ng minh r ng n u thay các d u * b i 3 Cho phân s các chưc s khác nhau trong ba ch s 1,2,3 m t cách tuỳ ý thì s cho 3 96 5 Ch ng minh r ng: ó luôn chia h t 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < 2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) − 2 + 3 − 4 + + 99 − 100 < 3 3 16 3 3 3 3 a) Bài 2( 2 i m ) Trên tia Ox xác nh các i m A và B sao cho... S V Th i gian làm bài 120 phút Bài 1 (3 ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các ch s x và y s 1x8 y 2 chia h t cho 36 c) Tìm s t nhiên a bi t 1 960 và 2002 chia cho a có cùng s dư là 28 Bài 2 (2 ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Ch ng minh S M 7 Bài 3 (2 ): Tìm s t nhiên nh nh t, bi t r ng khi chia s này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 Bài 4 (3 ):... chúng - S XV Th i gian làm bài 120 phút – (không k th i gianchép ) Câu 1: Cho S = 5 + 52 + 53 + ………+ 520 06 a, Tính S b, Ch ng minh SM 1 26 Câu 2 Tìm s t nhiên nh nh t sao cho s ó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia h t cho 11 Câu 3 Tìm các giá tr nguyên c a n phân s A = 3n + 2 có giá tr là s nguyên n −1 Câu 4 Cho 3 s 18, 24, 72 a, Tìm . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 NĂM HỌC 2014-2015 Thời gian: 120 phút Câu 1: (6 điểm) a. Tính 87.57 30 57.32 25 19.8 13 19.8 11 8.5 3 5.3 2 A . 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 59 + 2 60 ; Câu 6: Để chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi, một học sinh giải 35 bài toán. Biết rằng cứ mỗi bài đạt loại giỏi được thưởng 20 điểm, mỗi bài đạt. Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học