Nhằm mục đích giúp cho học sinh ôn tập để thi học kỳ đồng thời chúng tôi muốn góp một phần nhỏ vào việc ôn thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh đại học cao đẳng, nên chúng tôi đã biên soạn nên một chuyên đề ngắn mang tên “Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”. Nội dung tập chuyên đề gồm bảy chương:Chương 1: Một vài khái niệm mở đầuChương 2: Đường thẳng trong mặt phẳngChương 3: Đường trònChương 4: Đường ElipChương 5: HypebolChương 6: Đường ParabolChương 7: Ba đường conicMỗi chương được trình bày gồm: Trọng tâm kiến thứcphương pháp giải các dạng toán cơ bảnBài tập mẫu (bài tập áp dụng)Bài tập tự luyện. Phần bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh có thể ôn tập phù hợp với mức khả năng của mình. Sau mỗi chương sẻ có bài tập tổng hợp đề học sinh củng cố kiến thức.Hy vọng rằng tập chuyên đề này giúp học sinh ôn tập đúng trọng tâm và đạt hiệu quả. Các thầy cô giáo có thêm tài liệu để hướng dẫn học sinh ôn tập.Mặt dù có nhiều cố gắng trong việc biên soạn, nhưng đây là lần đầu tiên biên soạn nên không thể tránh được các thiếu sót. Chúng tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đọc để lần biên tập sau này được hoàn thiện hơn.Mọi ý kiến đóng góp xin liện hệ:Nhóm học sinh trường THPT Thanh Bình 1•Điện thoại: 01658828887•Email:Baby_baddyyaho.com (gặp tổng biên)Xin chân thành cảm ơn
LỜI NÓI ĐẦU Nhằm mục đích giúp cho học sinh ôn tập để thi học kỳ đồng thời chúng tôi muốn góp một phần nhỏ vào việc ôn thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh đại học & cao đẳng, nên chúng tôi đã biên soạn nên một chuyên đề ngắn mang tên “Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”. Nội dung tập chuyên đề gồm bảy chương: Chương 1: Một vài khái niệm mở đầu Chương 2: Đường thẳng trong mặt phẳng Chương 3: Đường tròn Chương 4: Đường Elip Chương 5: Hypebol Chương 6: Đường Parabol Chương 7: Ba đường conic Mỗi chương được trình bày gồm: Trọng tâm kiến thức-phương pháp giải các dạng toán cơ bản-Bài tập mẫu (bài tập áp dụng)-Bài tập tự luyện. Phần bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh có thể ôn tập phù hợp với mức khả năng của mình. Sau mỗi chương sẻ có bài tập tổng hợp đề học sinh củng cố kiến thức. Hy vọng rằng tập chuyên đề này giúp học sinh ôn tập đúng trọng tâm và đạt hiệu quả. Các thầy cô giáo có thêm tài liệu để hướng dẫn học sinh ôn tập. Mặt dù có nhiều cố gắng trong việc biên soạn, nhưng đây là lần đầu tiên biên soạn nên không thể tránh được các thiếu sót. Chúng tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đọc để lần biên tập sau này được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin liện hệ: Nhóm học sinh trường THPT Thanh Bình 1 • Điện thoại: 01658828887 • Email:Baby_baddy@yaho.com (gặp tổng biên) Xin chân thành cảm ơn! Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! CHƯƠNG I: MỘT VÀI KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Bài 1: Tọa độ của véc tơ – Tọa độ của điểm A. Kiến thức cơ bản: 1. Hệ tọa độ Đề các vuông góc: * Hệ gồm 2 trục Ox và Oy vuông góc với nhau tại O được gọi là hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy. ( gọi tắt là: hệ tọa độ Oxy). * Trong đó: O là gốc tọa độ; Ox: trục hoành; Oy: trục tung. * Trên Ox có véc tơ đơn vị i ; trên Oy có véc tơ đơn vị j ( 1== ji ). 2. Tọa độ của véc tơ: a. Định nghĩa: Trong hệ tọa độ Oxy, cho véc tơ u tùy ý, khi đó tồn tại duy nhất cặp số (x; y) sao cho: u = x i + y j . Cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của véc tơ u . Kí hiệu: u =(x; y) hoặc u (x; y). b. Các tính chất: Cho u =(x 1 ; y 1 ), v =(x 2 ; y 2 ) và k ∈ R, ta có: u + v = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) u . v = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 u ⊥ v ⇔ u . v = 0 ⇔ x 1 .x 2 + y 1 .y 2 = 0 u – v = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2 ) 2 1 2 1 yxu += u // v ⇔ u = k v ⇔ x 1 .y 2 = x 2 .y 1 k u = (kx 1 ; ky 1 ) vu vu vu . . ),cos( = u = v ⇔ = = 21 21 yy xx 3. Tọa độ của điểm: a. Định nghĩa: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M tùy ý, khi đó tọa độ của véc tơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Kí hiệu: M=(x; y) ⇔ OM =(x; y) ⇔ OM = x i + y j . (hoặc M(x; y)) b. Các tính chất: Cho điểm A=(x 1 ; y 1 ), B=(x 2 ; y 2 ), ta có: AB = (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ) AB = BA = 2 12 2 12 )()( yyxxAB −+−= Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: ) 2 ; 2 ( 2121 yyxx M ++ = Tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k( MA = k MB , k ≠ 1), là: ) 1 ; 1 ( 2121 k kyy k kxx M − − − − = B. Bài tập áp dụng: I. Bài tập tự luận: Bài 1: Cho 3 véc tơ a =(3; 7), b =(- 3; - 1), c =(- 2; - 5). 1.1). Tìm tọa độ các véc tơ sau: a + b ; b - 2 c ; a - 2 b + 3 c . x y O 2 Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! 1.2). Tìm độ dài các véc tơ sau: a - b ; a - b + c ; 2 a - 3 c . 1.3). Tìm cosin góc giữa các véc tơ sau: a + b và a - b ; a - b + c và b + 2 c . 1.4). Xác định các số m và n để: c = m a + n b . 1.5). Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để: a ⊥ ( m b - 2n c ). 1.6). Tìm tọa độ véc tơ d , sao cho: d . a = 17 và d . b = - 5. Áp dụng: Giải bài tập 1 với các giải thiết sau: a =(3; 2), b =(- 1; 5), c =(- 2; - 5). Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm: A(- 4; 1), OB = 2 i + 4 j , C(2; - 2). 2.1). Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. 2.2). Tính chu vi và diện tích của của tam giác ABC. 2.3). Xác định tọa độ các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. 2.4). Xác định tọa độ điểm E thỏa mãn hệ thức: EBEA 2= . 2.5). Xác định tọa độ điểm F thỏa mãn hệ thức: ABFCFBFA =++ 32 . 2.6). Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Áp dụng: Giải bài tập 2 với các giả thiết sau: a). OA = - i + 2 j , OB = 5 i + 7 j , OC = 4 i - 3 j . b). A(- 1; 2), B(5; 7), C(4; -3). c). A(- 3; 4), B(- 5; - 1), C(4; 3). Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y). Tìm tọa độ của các điểm sau: 3.1). Điểm M 1 đối xứng với điểm M qua trục Ox. 3.2). Điểm M 2 đối xứng với điểm M qua trục Oy. 3.3). Điểm M 3 đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O. 3.4). Điểm M 4 đối xứng với điểm M qua phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba. 3.5). Điểm M 5 đối xứng với điểm M qua phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư. Áp dụng: Giải bài tập 3 với các giả thiết sau: A(- 1; 2) và B(4; - 2). Bài 4: Cho hình thoi ABCD có A(1; 3), B(4; - 1), E(m; 3) 4.1). Cho AD // Ox và x D < 0. Tìm tọa độ đỉnh C và D? 4.2). Gọi K là tâm của hình thoi, xác định tọa độ điểm H để tứ giác AKBH là hình chữ nhật. 4.3). Tìm tọa độ đỉnh E và F để tam giác AEF đều, biết F ∈ Ox. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có diện tích S = 4, A(1; 0), B(2, 0) và tâm của hình bình hành I(a; a). Tìm tọa độ 2 đỉnh C, D ? Bài 6: (ĐH A05) Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(m; m), C(n; 1 – 2n), B và D thuộc Ox. Xác định tọa độ A, B, C, D để tứ giác ABCD là hình vuông. Bài 7: (No 95) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1), B(b, 3), C(c; 0). Tìm B, C để tam giác ABC đều ?. Bài 8: (No 00) Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(- 2; 0), B(2; 0), M(x; y). Xác định tọa độ của M nằm phía trên Ox, sao cho ∠ AMB = 90 0 , ∠ MAB = 30 0 . Bài 9: (Mỏ 01) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD(AB//CD), biết A(10; 5), B(15; -5), D(- 20; 0). Tìm đỉnh C ?. Bài 10: (GT 01) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích S = 4, tọa độ A(1; 0), B(2; 0) và tâm I(a; a). Tìm tọa độ C, D ?. Bài 11: (AG 00) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD, có A(1; 3), B(4; -1). Xác định tọa độ đỉnh C, D biết AD//Ox và x D < 0. 3 Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! Bài 2: Tọa độ các điểm trong tam giác A. Kiến thức cơ bản: 1. Trọng tâm G của tam giác ABC: Cách 1:(Khi biết tọa độ 3 đỉnh) Tọa độ G(x G ; y G ) được xác định bởi hệ thức: 3 CBA G xxx x ++ = 3 CBA G yyy y ++ = Cách 2: (Khi biết phương trình các đường trung tuyến) Giải hệ PT tạo bởi 2 trong 3 đường trung tuyến. * Chú ý: Ta cũng có thể xác định tọa độ trọng tâm G theo các nhận xét sau: - Nếu M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA thì tọa độ trọng tâm G là trọng tâm của tam giác MNP. - Nếu M là trung điểm BC thì: GMGA 2−= . 2. Trực tâm H của tam giác ABC: Cách 1: (Khi biết tọa độ 3 đỉnh) Tọa độ trực tâm H được xác định bởi hệ thức: = = ⇔ ⊥ ⊥ 0. 0. ACBH BCAH ACBH BCAH (Thu gọn hệ thức trên ta được HPT bậc nhất 2 ẩn) Cách 2(Khi biết phương trình các đường cao) Giải hệ PT tạo bởi 2 trong 3 đường cao. * Chú ý: Tìm tọa độ chân đường cao K hạ từ đỉnh A. Cách 1: Tọa độ K xác định bởi hệ thức: = ⇔ ⊥ BCBK BCAK BCBK BCAK // 0. // Cách 2: K là giao điểm của 2 đường thẳng: cạnh BC và đường cao AH. 3. Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: Cách 1:(Khi biết tọa độ 3 đỉnh) Tọa độ tâm I được xác định bởi hệ thức: = = ⇔ = = 22 22 ICIA IBIA ICIA IBIA Cách 2:(Khi biết tọa độ 3 trung điểm) Tọa độ tâm I được xác định bởi hệ thức: = = ⇔ ⊥ ⊥ 0. 0. MPIN NPIM MPIN NPIM (Thu gọn các hệ thức trên ta được HPT bậc nhất 2 ẩn) Cách 3: (Khi biết phương trình các đường trung trực) Giải hệ PT tạo bởi 2 trong 3 đường trung trực. 4. Tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC: Cách 1: (Khi biết tọa độ 3 đỉnh) Tiến hành theo 2 bước sau: 4 A A B C M N P I A B C H K A P C N M M 0 G B Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! - Xác định tọa độ điểm D( ∈ BC) là chân đường phân giác trong của góc A, từ hệ thức: DC AC AB DB −= . - Xác định tọa độ tâm J từ hệ thức: JD BD BA JA −= . Cách 2: (Khi biết phương trình các đường phân giác) Giải hệ PT tạo bởi 2 trong 3 đường phân giác. *Chú ý: Để hiểu thêm các phương pháp về lập phương trình các đường phân giác trong mặt phẳng xin đọc thêm trong cuốn: “Bài toán đường phân giác trong mặt phẳng” của cùng tác giả. B. Bài tập áp dụng: I. Bài tập tự luận: Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có: A(- 1; 2), B(5; 7), C(4; -3). 1.1). Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. 1.2). Tìm tọa độ trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC. 1.3). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC. Áp dụng: Giải bài tập 1 với các giả thiết sau: a). A(- 3; 4), B(- 5; - 1), C(4; 3). b). A(- 4; 1), B(2; 4), C(2; - 2). c). A(2; 4), B(4; 8), C(13; 2). Bài 2: (ĐH A04) Trong hệ tọa độ Oxy cho A(0; 2), B(- 3 ; - 1). Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB. Bài 3: (ĐH D04) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 1; 0), B(4; 0), C(0; m), m ≠ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m, và xác định m để tam giác ABG vuông tại G. Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(- 2; - 4), trọng tâm G(0; 4), trung điểm cạnh BC là M(2; 0). Xác định tọa độ các đỉnh A và B? Bài 5: (ĐH B03) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB =AC, ∠ BAC = 90 0 , trung điểm của BC là M(1; -1), trọng tâm của tam giác ABC là G(2/3; 0). Tìm A, B, C ?. Bài 6: (CT 95) Cho tam giác ABC có diện tích S = 3/2, A(2; - 3), B(3; -2), trọng tâm G(m; 3m - 8). Tìm tọa độ đỉnh C ?. A B CD J 5 Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Bài 3: Véc tơ chỉ phương – Véc tơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng A. Kiến thức cơ bản: 1. Véc tơ chỉ phương: Định nghĩa: Véc tơ u ≠ 0 được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu u //d. Nhận xét: - Nếu u là Vtcp của d thì k u (k ≠ 0) cũng là Vtcp của d. - Đường thẳng d hoàn toàn xác định nếu biết Vtcp u và một điểm M 0 . 2. Véc tơ pháp tuyến: Định nghĩa: Véc tơ n ≠ 0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu n ⊥ d. Nhận xét: - Nếu n là Vtpt của d thì k n (k ≠ 0) cũng là Vtpt của d. - Đường thẳng d hoàn toàn xác định nếu biết Vtpt n và một điểm M 0 . * Quan hệ giữa Vtpt n và Vtcp u : n ⊥ u - Nếu u =(a; b) thì n = (b; - a) hoặc n =(- b; a). - Nếu n =(A; B) thì u =(B; - A) hoặc u =(- B; A) . 3. Các dạng phương trình đường thẳng: 3.1). Phương trình tổng quát: a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A 2 + B 2 ≠ 0). b). Nhận xét: - Đường thẳng d có Vtpt n =(A; B). - Nếu d có Vtpt n =(A; B) thì d có phương trình dạng: Ax + By + m = 0 - Điểm M(x 0 ; y 0 ) ∈ d ⇔ Ax 0 + By 0 + C = 0. - Nếu A = 0, B ≠ 0, thì d có PT dạng: By + C = 0 (d // hoặc trùng Ox). - Nếu A ≠ 0, B = 0, thì d có PT dạng: Ax + C = 0 (d // hoặc trùng Oy). - Nếu C = 0, thì d có PT dạng: Ax + By = 0 (d đi qua gốc tọa độ O(0; 0)). - Nếu B ≠ 0 thì d có PT dạng: y = - B A x - B C ; khi đó giá trị k = - B A được gọi là hệ số góc của đường thẳng d. 3.2). Phương trình tham số: a). Dạng: )( 0 0 Rt btyy atxx ∈ += += , (d) (điều kiện: a 2 + b 2 ≠ 0) b). Nhận xét: - Đường thẳng d có Vtcp u =(a; b) và đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ). - Với mỗi giá trị t = t 0 tùy ý, ta có M(x 0 + at 0 ; y 0 + bt 0 ) ∈ d. - Nếu d có Vtcp u =(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0. - Khử t trong PTTS của d ta có được PTTQ ; ngược lại đặt x =f(t) d M 0 n 6 M 0 u d Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! ( hoặc y = f(t)) trong PTTQ ta sẽ có được PTTS của d. 3.3). Phương trình chính tắc: a). Dạng: b yy a xx 00 − = − (d), (điều kiện a.b ≠ 0). b). Nhận xét: - Đường thẳng d có Vtcp u =(a; b) và đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ). - Rút t từ PTTS ta được PTCT; Thu gọn PTCT của d ta được PTTQ. - Nếu d có Vtcp u =(a; b) mà a.b = 0 thì d không có phương trình chính tắc. - Quy ước: nếu a = 0 thì d có PT: x – x 0 = 0, còn nếu b = 0 thì d có PT: y – y 0 = 0. 3.4). Phương trình theo đoạn chắn: a). Dạng: 1=+ b y a x (d), (điều kiện a.b ≠ 0). b). Nhận xét: - PTTĐC là dạng đặc biệt của PTTQ của d. - Đường thẳng d có Vtpt n =(1/a; 1/b) và cắt Ox tại A(a; 0), cắt Oy tại B(0; b). 3.5). Phương trình pháp dạng: a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A 2 + B 2 = 1). b). Nhận xét: - PTPD là dạng đặc biệt của PTTQ của d. B. Các dạng bài tập cơ bản: Xác định Vtcp, Vtpt của một đường thẳng. Biết chuyển đổi giữa các dạng phương trình đường thẳng. Tìm điểm thuộc đường thỏa yêu cầu nào đó. C. Bài tập áp dụng: I. Bài tập tự luận: Bài 1: Xác định véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến, và 2 điểm A, B phân biệt thuộc các đường thẳng có PT sau: 1.1). −−= += ty tx 35 21 1.2). −= −= 3 21 y tx 1.3). 3 3 1 5 + = − − yx 1.4). 52 4 − = + yx 1.5). 052 =+− yx 1.6). 0654 =−+ yx Áp dụng: Giải bài tập 1 với các giả thiết từ: 2.1 đến 2.6 Bài 2: Chuyển dạng của các PT sau: (Tổng quát ⇔ Tham số ⇔ Chính tắc ⇔ Đoạn chắn) 2.1). x + 5y + 1 = 0 2.2). 3x – 4y – 3 = 0 2.3). += −= ty tx 42 2 2.4). −= += ty tx 37 43 2.5). 4 4 3 2 − + = − yx 2.6). 2 1 7 3 − − = + yx Áp dụng: Giải bài tập 2 với các giả thiết từ: 1.1 đến 1.6 Bài 3: Cho hai điểm A(- 1; 2), B(3; 1), C( -3; 5) và đường thẳng d: += += ty tx 2 1 3.1). Tìm trên d điểm P sao cho P cách A một khoảng bằng 10 7 Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! 3.2). Tìm điểm Q trên d sao cho đoạn BQ ngắn nhất. 3.3). Tìm điểm M trên d sao cho tam giác ABM cân. 3.4). Tìm điểm N trên d sao cho tam giác ABN đều. 3.5). Tìm điểm E trên d sao cho EBEA 2+ nhỏ nhất. 3.6). Tìm điểm F trên d sao cho FCFBFA 32 +− nhỏ nhất. 8 Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! Bài 4: Vị trí tương đối của hai đường thẳng Phương trình chùm đường thẳng A. Kiến thức cơ bản: 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và d 1 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Xét hệ phương trình tạo bởi phương trình 2 đường thẳng d 1 , d 2 . Xẩy ra 3 khả năng sau: - Hệ PT vô nghiệm thì d 1 // d 2 . - Hệ PT có nghiệm duy nhất (x 0 ; y 0 ) thì d 1 , d 2 cắt nhau tại 1 điểm M(x 0 ; y 0 ). - Hệ PT có vô số nghiệm thì d 1 , d 2 trùng nhau. Nhận xét: - Nên đưa PT của d 1 , d 2 về cùng dạng TQ hoặc một TQ, một TS trước khi xét hệ. - Dấu hiệu nhận biết: Nếu A 1 /A 2 ≠ B 1 /B 2 thì d 1 , d 2 cắt nhau. Nếu A 1 /A 2 = B 1 /B 2 ≠ C 1 /C 2 thì d 1 , d 2 song song. Nếu A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2 thì d 1 , d 2 trùng nhau. - Nên dùng dấu hiệu nhận biết để kiểm tra vị trí tương đối của d 1 , d 2 ; nếu chúng cắt nhau thì xét hệ để tìm tọa độ giao điểm. 2. Phương trình chùm đường thẳng: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và d 1 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Nếu d 1 và d 2 cắt nhau thì mọi đường thẳng qua giao điểm của d 1 và d 2 có phương trình dạng: m(A 1 x + B 1 y + C 1 ) + n(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0, (điều kiện: m 2 + n 2 ≠ 0). Nhận xét: Sử dụng phương trình chùm đường thẳng để viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường thẳng mà không cần phải tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó. B. Các dạng bài tập: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Định tham số để hai đường thẳng thỏa yêu cầu về một vị trí tương đối nào đó. Lập phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường thẳng. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng. C. Bài tập áp dụng: I. Bài tập tự luận: Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm tọa độ giao điểm của chúng(nếu có): 1.1). d 1 : 4x – 10y + 1 = 0 Và d 2 : x + y + 2 = 0 1.2). d 1 : 12x – 6y + 10 = 0 Và d 2 : 2 9 1 2 − = − yx 1.3). d 1 : 8x + 10y – 12 = 0 Và d 2 : −= +−= ty tx 46 56 1.4). d 1 : −−= += ty tx 33 21 Và d 2 : −= −= ty tx 21 1 9 Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó! 1.5). d 1 : += = ty tx 1 2 Và d 2 : 2 3 4 2 − − = − yx 1.6). d 1 : 5 3 1 2 + = − + yx Và d 2 : 10 18 2 1 − + = − yx Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d 1 : mx – 2y – m 2 + 5m = 0; d 2 : 2(m + 1)x – my + 2 = 0. (m là tham số) Xác định các giá trị của tham số m để: 2.1). d 1 và d 2 cắt nhau. 2.2). d 1 và d 2 song song. 2.3). d 1 , d 2 và trục Ox là đồng quy. Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d 1 : mx + (m – 1)y +m – 3 = 0; d 2 : −−= −= tmy tmx 21 )1( 3.1). Xác định các giá trị của tham số m để d 1 và d 2 trùng nhau. 3.2). Xác định các giá trị của tham số m để d 1, d 2 cắt nhau và giao điểm của chúng nằm trên đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0. 3.3). Chứng minh khi m thay đổi, đường thẳng d 1 luôn qua một điểm cố định. 3.4). Khi d 1 và d 2 cắt nhau tại A, hãy tìm quỹ tích của điểm A khi m thay đổi. Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh là: AB: 2x – y + 7 = 0 ; BC: x + 3y – 1 = 0 ; CA: x – 3y – 5 = 0 4.1). Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. 4.2). Tìm tọa độ trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC. 4.3). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC. 4.4). Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC. Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d 1 : 2x – 3y + 15 = 0; d 2 : x – 12y + 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của d 1 , d 2 và thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: 5.1). Đi qua điểm A(- 1; 2). 5.2). Vuông góc với đường thẳng: x – 4y + 4 = 0. 5.3). Song song với đường thẳng: 2x – 5y + 6 = 0. 5.4). Chắn trên 2 trục tọa độ những đoạn bằng nhau. Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho một hình bình hành biết tọa độ một đỉnh là (4; - 1) và phương trình hai cạnh lần lượt là: x – 3y = 0 ; 2x + 5y + 6 = 0. hãy viết phương trình các cạnh và tìm tọa độ các đỉnh còn lại. 10 [...]... giác trong hạ từ đỉnh P có phơng trình là: x + 2y 5 = 0 Dạng 9: Tam giác ABC biết đỉnh A, đờng trung tuyến hạ từ đỉnh B, đờng phân giác trong của góc C Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình các cạnh của tam giác Phơng pháp: B1: Tìm toạ độ A là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc C B2: Tham số hoá toạ độ của C ( x C ; y C ) theo đờng phân giác trong của góc C ( Tham số hoá toạ độ của... 28 = 0 và trọng tâm G ( 4; 2 ) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Dạng 5: Tam giác ABc biết hai cạnh AB, AC và trực tâm H Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, viết phơng trình cạnh BC Phơng pháp: B1: tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC B2: Tham số hoá toạ độ của B(xB ; yB) theo AB B3: Tìm toạ độ của B: uu uu ur ur uu ur Vì H là trực tâm nên HB là vectơ pháp tuyến của AC Vậy HB.u AC = 0 uu... song với AC với N là trung điểm của AB Tìm tọa độ điểm N uu ur uu ur uu ur B3: Từ AB = 2AN suy ra tọa độ điểm B Phơng trình cạnh BC qua B và nhận BM làm vectơ chỉ phơng Từ đó tìm tọa độ C Ví dụ: 1, Tam giác ABC biết phơng trình AB: 4x + y + 15 = 0 ; AC: 2x + 5y + 3 = 0 và trọng tâm G ( 2; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, viết phơng trình BC Bài giải Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 4x + y + 15... y = 0 toạ độ C là nghiệm của hệ BTTT: Tam giác ABC biết A ( 2; 1) và phơng trình hai đờng phân giác trong của góc B là ( d B ) : x 2y + 1 = 0 và của góc C là ( d C ) : x + y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh và lập ph- ơng trình các cạnh của tam giác Dạng 8: Tam giác ABC biết A, đờng cao BH, đờng phân giác trong của góc C Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình các cạnh của tam giác Phơng pháp: B1: Lập... 3 = 0 và H ( 2;4 ) là trực tâm của tam giác Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC Dạng 6: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và I là tâm đờng tròng ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC Phơng pháp: B1: Tìm toạ độ điểm A là giao của AB và AC Gọi M là trung điểm cạnh AB Vì I là trực tâm nên IM AB M Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB B2: Gọi N là trung... Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phơng trình các cạnh Phơng pháp: B1: Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH Từ đó tìm đợc tọa độ điểm C là giao điểm của AC và trung tuyến CK 19 ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú! B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; K ( x K ; y K ) (với K là trung điểm của AB) theo phơng xA + xB x K = 2 trình BH, CK Tìm toạ độ B nhờ:... AB, AC và biết trọng tâm G Xác định tọa độ các đỉnh, lập phơng trình cạnh còn lại Phơng pháp: B1 (Chung cho 2 cách): tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC uu ur uu uu r uu 3 uu uu r ur AG 2 Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ : AG = 2GM hoặc AM = Cách 1: B2: Tham số hoá toạ độ của B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phơng trình AB, AC B3: Tìm toạ độ của B; C nhờ: x + xC xM = B 2... + 8 = 0 17 x = 2 x 3y 2 = 0 17 7 Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ: B ; ữ 2 2 3x 5y + 8 = 0 y = 7 2 2, Tam giác ABC biết C ( 4;3) ; đờng phân giác trong và đờng trung tuyến của góc A là có phơng trình lần lợt là x + 2y 5 = 0 và 4x + 13y 10 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình các cạnh của tam giác Bài giải: Ta có AD AM = { A} nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: x + 2y 5 =... 2x N 3 ) = 0 x N = 7 7 4 N ; ữ 5 5 5 Mặt khác vì M là trung điểm của AB nên suy ra B ( 0;1) 9 8 5 5 Tơng tự vì N là trung điểm của AC nên suy ra B ; ữ Dạng 7: Tam giác ABC biết đỉnh A, hai đờng phân giác trong của góc B và góc C Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình các cạnh của tam giác Phơng pháp: B1: Tìm điểm A1 là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc B Suy ra A1 thuộc đờng thẳng... 2 đỉnh còn lại BM, CN Tìm toạ độ B; C, viết phơng trình các cạnh của tam giác Phơng pháp: Cách 1: B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) của ABC B2: Tham số hoá toạ độ của B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phơng trình BM, CN B3: Tìm toạ độ của B, C: áp dụng công thức: xG = xA + xB + xC y + y B + yC ; yG = A 3 3 B4: Viết phơng trình các cạnh Cách 2: B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) của . biên soạn nên một chuyên đề ngắn mang tên “Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”. Nội dung tập chuyên đề gồm bảy chương: Chương 1: Một vài khái niệm mở đầu Chương 2: Đường thẳng trong