Cơ Lý Thuyết Vũ Duy Cường

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Vũ Duy Cường GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT (Tái bản lần thứ nhất) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH - 2002 2 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 5 PHẦN I. TĨNH HỌC VẬT RẮN Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 8 1.1. Các khái niệm cơ bản 8 1.2. Hệ tiên đề tónh học 10 1.3. Một số mô hình phản lực liên kết thường gặp 11 Chương 2. THU GỌN HỆ LỰC. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC 16 2.1. Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực 16 2.2. Đònh lý tương đương cơ bản 17 2.3. Các hệ quả 19 2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực 22 2.5. Bài toán cân bằng của vật rắn 23 2.6. Các ví dụ 25 2.7. Bài toán cân bằng của hệ vật rắn 31 2.8. Các ví dụ bài toán cân bằng của hệ vật rắn 32 Chương 3. CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 39 3.1. Bài toán đòn phẳng 39 3.2. Bài toán giàn 39 Chương 4. MA SÁT 48 4.1. Ma sát, các lực ma sát và tính chất của chúng 48 4.2. Bài toán cân bằng của vật rắn chỉ kể đến ma sát trượt 50 4.3. Mô hình bài toán cân bằng có kể đến ma sát lăn 56 Chương 5. TRỌNG TÂM 59 5.1. Các đònh nghóa 59 5.2. Các phương pháp xác đònh tọa độ trọng tâm của các vật 62 5.3. Trọng tâm của một số vật đồng chất 65 PHẦN II. ĐỘNG HỌC 68 Chương 6. ĐỘNG HỌC ĐIỂM 69 6.1. Khảo sát động học điểm bằng phương pháp vector và tọa độ Decartes 69 6.2. Khảo sát chuyển động điểm bằng tọa độ cực 70 6.3. Khảo sát chuyển động điểm bằng tọa độ tự nhiên 71 6.4. Một số chuyển động đặc biệt 72 Chương 7. CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 76 7.1. Chuyển động tònh tiến của vật rắn 76 7.2. Chuyển động quay quanh trục cố đònh của vật rắn 77 7.3. Các cơ cấu truyền động cơ bản 79 7.4. Các ví dụ 80 Chương 8. CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HP CỦA ĐIỂM 83 8.1. Mô hình bài toán và các đònh nghóa 83 8.2. Các đònh lý hợp vận tốc, gia tốc 85 8.3. Phương pháp giải các bài toán chuyển động phức hợp 86 3 8.4. Các ví dụ 86 Chương 9. CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN 95 9.1. Khảo sát chuyển động cả vật 95 9.2. Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật 96 9.3. Những chuyển động song phẳng đặc biệt 101 9.4. Phương pháp giải bài toán chuyển động song phẳng 103 9.5. Các ví dụ 104 PHẦN III. ĐỘNG LỰC HỌC 120 Chương 10. MỞ ĐẦU ĐỘNG LỰC HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM 121 10.1. Các khái niệm của động lực học 121 10.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và hệ chất điểm 123 Chương 11. NGUYÊN LÝ D ’ ALEMBERT 129 11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ 129 11.2. Lực quán tính, nguyên lý D ’ Alembert 132 11.3. Thu gọn hệ lực quán tính 133 11.4. Phản lực động lực trục quay 135 11.5. Nội dung áp dụng và các ví dụ 136 Chương 12. CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC 147 12.1. Các đònh lý chuyển động khối tâm - động lượng mômen động lượng 147 12.2. Đònh lý động năng 155 Chương 13. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ 172 13.1. Một số khái niệm cơ bản 172 13.2. Nguyên lý di chuyển khả dó 179 Chương 14. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE II 185 14.1. Phương trình tổng quát của động lực học 185 14.2. Phương trình Lagrange II 189 Chương 15. LÝ THUYẾT VA CHẠM 199 15.1. Đònh nghóa, đặc điểm của hiện tượng va chạm và các giả thiết của lý thuyết va chạm 199 15.2. Các đònh lý tổng quát của động lực học trong quá trình va chạm 201 15.3. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tònh tiến 204 15.4. Va chạm của vật quay quanh một trục cố đònh 209 PHẦN IV. BÀI TOÁN TỰ GIẢI 212 A. PHẦN TĨNH HỌC 212 B. PHẦN ĐỘNG HỌC 224 C. PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 230 TÀI LIỆU THAM KHẢO 254 4 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình này được biên soạn nhằm phục vụ sinh viên ngành cơ khí và xây dựng. Tuy nhiên, sinh viên, kỹ sư các ngành khác muốn tìm hiểu những kiến thức cơ bản của cơ học có thể dùng tài liệu này tham khảo. Để đáp ứng yêu cầu trên, tác giả đã mạnh dạn đưa ra một số thay đổi trong phần trình bày nội dung và một số vấn đề đáng chú ý sau: 1- Phần tónh học Lý thuyết được xây dựng lấy đònh lý tương đương cơ bản làm trung tâm. Các bài toán cân bằng có kể đến hai loại ma sát (trượt, lăn) chỉ có thể đánh giá chính xác ở trạng thái cân bằng. Nếu vật đã khởi động không thể sử dụng điều kiện cân bằng tónh. 2- Động lực học Nguyên lý D ’ ALEMBERT được trình bày trước để có thể giải quyết đầy đủ các yêu cầu về động lực của cơ hệ, xác đònh được miền giới hạn của các tham số phù hợp với trạng thái chuyển động của cơ hệ ngay từ đầu, tránh sự ngộ nhận các kết quả tính toán. 3- Để tạo điều kiện thuận lợi cho người đọc, giáo trình dành khoảng 60% nội dung cho các ví dụ và bài tập tự làm. Trong đó có một số bài tập tổng hợp xuyên suốt nội dung của môn học. Để hoàn thành giáo trình này, tác giả đã nhận được sự hỗ trợ nhiệt tình của các đồng nghiệp Nguyễn Quốc Việt, Vũ Công Hòa, Nguyễn Đắc Thiện trong việc đánh máy bản thảo. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này. Những suy nghó trên đây hoàn toàn dựa vào chủ quan của tác giả nên không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp của các đồng nghiệp và bạn đọc nhằm giúp tác giả xây dựng giáo trình ngày càng hoàn thiện. Mọi ý kiến xin gởi về: Bộ môn Cơ Kỹ thuật - Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh - 268 Lý Thường Kiệt, F14, Q10. Tác giả Thạc só VŨ DUY CƯỜNG 5 PHẦN I TĨNH HỌC VẬT RẮN Tónh học là phần đầu của cơ học lý thuyết khảo sát sự cân bằng của vật thể chòu tác dụng của lực Hai vấn đề chính được giải quyết trong tónh học là thu gọn hệ lực và điều kiện cân bằng của hệ lực. Nhờ phương pháp trừu tượng hóa và mô hình hóa chúng ta xây dựng các khái niệm cơ bản và những tiên đề làm cơ sở để giải quyết các vấn đề đặt ra. Những khái niệm cơ bản nêu ra những mô hình cơ bản nhất của các đối tượng khảo sát. Những tiên đề nêu lên những chân lý khách quan dễ nhận thấy, và những quan hệ đầu tiên giữa các mô hình cơ bản. Tất cả các đánh giá, kết luận có được sau này đều phải được chứng minh chặt chẽ từ hệ tiên đề. 6 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Nội dung - Các mô hình cơ bản và hệ tiên đề - Khái niệm về liên kết, phản lực liên kết - Các mô hình phản lực liên kết Yêu cầu - Hiểu và nhớ các khái niệm cơ bản, hệ tiên đề tónh học - Nắm vững các mô hình phản lực liên kết, nguyên tắc chung để biểu diễn các phản lực liên kết. 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối là vật thể không bò biến dạng trong mọi trường hợp chòu lực. Vật rắn tuyệt đối chính là vật thể đàn hồi được lý tưởng hóa bỏ qua biến dạng. Trong thực tế nếu biến dạng của vật có ảnh hưởng không đáng kể trong tính toán, vật khảo sát được xem là vật rắn tuyệt đối. Chất điểm là vật rắn tuyệt đối đặc biệt. Từ đây về sau, nếu không có lưu ý gì, vật khảo sát được hiểu là vật rắn tuyệt đối. 2. Trạng thái cân bằng Vật rắn được gọi là cân bằng đối với một hệ quy chiếu nếu nó đứng yên hay chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu đó. Hệ quy chiếu là một vật rắn được chọn làm chuẩn để quan sát, đánh giá vò trí của vật khảo sát. Trong giáo trình này, hệ quy chiếu được chọn là hệ quy chiếu quán tính. 3. Lực Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng cơ học của vật thể này lên vật thể khác. Lực được biểu diễn bằng vector buộc hoặc có thể qua các hình chiếu: )F,F,F(F zyx = . )F A ( 7 d A F / / F F O I (Δ) H ình 1.2 Lực tập trung là lực biểu diễn cho tương tác cơ học thông qua một vùng rất bé, xem như một điểm (A). Người ta nói lực F đặt tại A. Lực phân bố biểu diễn cho tác động cơ học thông qua một miền. 4. Một số đònh nghóa khác 1- Mômen của lực đối với tâm Mômen của lực F đặt tại A đối với tâm O là đại lượng vector đặt tại O: FrFOA)F(m o ×=×= r r (1.1) Biểu diễn: cho )z,y,x(rr rr = ; )Z,Y,X( FF = (1.1) k )y.Xx.Y(j)x.Zz.X( i )z.Yy.Z()F(m o r r r r −+−+−=⇔ (1.2) )F(m o r - vuông góc với mặt phẳng chứa O và F , )F( m o r = d.F )F(m o r = 0 khi giá của F qua O (và tất nhiên cả khi F = 0) 2- Mômen của lực đối với trục ( Δ ) Phân tích // FFF += ⊥ ( ⊥ F r vuông góc trục Δ, // F song song trục Δ) Mômen của F r đối với trục Δ là lượng đại số ⊥ ±= Δ dF)F(m (1.3) d- là khoảng cách từ trục A đến giá của ⊥ F - Lấy dấu cộng nếu nhìn từ đỉnh trục Δ thấy ⊥ F có xu thế quay - Lấy dấu trừ nếu có xu thế quay ngược lại 0)F(m = Δ khi F song song trục Δ hay giá F cắt trục Δ Trong tài liệu này chúng ta quy ước các đại lượng mômen qua các chữ M, M, m. Đònh lý liên hệ Hình chiếu mômen của lực F đối với tâm O ∈ ( Δ ) bằng mômen của F với trục ( Δ ): [] )F(m)F(mhc o ΔΔ∈Δ = r (1.4) Chứng minh. Theo H.1.2 ta có: [ ] [ ] [ ] ⊥ Δ ⊥ Δ∈ΔΔ∈Δ +== F)IAOI(hc)F(mhc)F(mhc Aoo r r theo (1.3), ta có điều phải chứng minh. + _ d r A m(F) o O H ình 1.1 8 3- Hệ lực Hệ lực )F, ,F,F()F( n21k ≡ϕ : là các lực cùng tác động vào một vật khảo sát. Hai hệ lực tương đương: là hệ lực )F( k ϕ tương đương với (Ψ P ’ e ) (ký hiệu ))P()F( ek ψ≡ϕ nếu chúng có cùng tác dụng cơ học. Hợp lực của hệ lực: là hợp lực R của hệ lực )F( k ϕ , là một lực duy nhất tương đương với hệ lực: R )F( k ϕ≡ . Hệ lực cân bằng: là hệ lực )F( k ϕ cân bằng hay còn gọi là tương đương không )F( ( k ϕ ≡ )0 nếu hệ lực tác dụng vào vật không làm thay đổi trạng thái chuyển động của vật. 1.2. HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1. Tiên đề 1 (cặp lực cân bằng) Hệ hai lực cân bằng khi và chỉ khi chúng cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, cùng cường độ. ,F ( 'F ) ≡ 0 ⇔ 2. Tiên đề 2 Thêm hay bớt cặp lực cân bằng ,F ( 'F ) ≡ 0 không làm thay đổi tác dụng của hệ lực ( ) n21n21 , F, ,F,F F, F,F,F,F ≡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3. Tiên đề hình bình hành lực Hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đó được biểu diễn bằng vector đường chéo hình bình hành có hai cạnh là hai lực thành phần. ( ) A A 'F,F A R≡ 4. Tiên đề lực tương tác Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực lần lượt đặt lên mỗi vật tương tác chúng cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, cùng cường độ. 5. Tiên đề hóa rắn Vật biến dạng đang cân bằng hóa rắn lại vẫn cân bằng (điều ngược lại không đúng). S F F’ S Hình 1 .3 F F’ H ình 1. 4 F R F’ 9 6. Tiên đề giải phóng liên kết, vật gây liên kết, vật chòu liên kết 1- Vật không tự do, vật tự do - Vật không tự do là vật không thể di chuyển tùy ý trong lân cận bé từ vò trí đang xét. - Vật tự do là vật có thể dòch chuyển tùy ý về mọi hướng trong lân cận bé từ vò trí đang xét. 2- Vật chòu liên kết, vật gây liên kết Vật khảo sát (S) được quy ước là vật chòu liên kết, các vật thể khác tương tác cơ học với S được gọi là các vật gây liên kết, chúng có vai trò cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động của S là vật không tự do. 3- Tiên đề giải phóng liên kết Vật không tự do có thể xem là tự do nếu ta thay thế các vật gây liên kết bằng các phản lực liên kết. 7. Một số hệ quả và mô hình phản lực liên kết Hệ quả trượt lực: Với vật rắn tuyệt đối lực là đại lượng vector trượt Chứng minh. Cho ),F( A tại điểm B tùy ý trên giá của A F chúng ta đặt hệ lực cân bằng 0)F,F ( B , B ≡ có tính chất B F chính là A F trượt về điểm B. )F( A = BB 0 BA F)F,F,F( r r 43421 r v r ≡ ≡ : điều phải chứng minh. 1.3. MỘT SỐ MÔ HÌNH PHẢN LỰC LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP • Tính chất của phản lực liên kết Theo tiên đề 6, phản lực liên kết phải thay thế được vai trò cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động của vật gây liên kết đặt vào vật khảo sát S, do đó chúng phụ thuộc hai yếu tố: - Khả năng chuyển động của vật khảo sát (do lực hoạt động tác động vào S) được biểu hiện qua cường độ của phản lực (luôn luôn là ẩn số). - Tính chất cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động của vật gây liên kết (đặt vào vật khảo sát) được biểu hiện qua phương (chiều) của phản lực. Dựa vào các đánh giá này chúng ta sẽ biểu diễn các thành phần phản lực của một số mô hình liên kết thường gặp trong kỹ thuật. • Các mô hình phản lực liên kết F B S S , F A H ình 1. 5 B 10 1- Phản lực liên kết tựa một chiều (không ma sát) Vật khảo sát tựa trên bề mặt của vật gây liên kết, mặt tựa chỉ có khả năng cản trở chuyển động và xu hướng chuyển động của vật khảo sát theo phương pháp tuyến chúng tại điểm tiếp xúc. Phản lực đặt vào vật tại tiếp điểm hướng theo pháp tuyến ngoài của mặt tựa. i N - trong H.1.6a; A N - trong H.1.6b - Phản lực có phương chiều xác đònh, cần tìm cường độ. - Một số mô hình liên kết tựa trong kỹ thuật: 2- Liên kết bản lề trụ (khớp bản lề) Loại liên kết gồm hai ống trụ lồng vào nhau, vật khảo sát không có xu hướng quay quanh trục vuông góc với trục bản lề. Để đơn giản, chúng ta xem mô hình phẳng, hình tròn trong và vòng tròn ngoài tựa lên nhau, không cho đi ra khỏi nhau. Phản lực luôn luôn đi qua tâm O (chung) nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục bản lề, trượt về O, phản lực được biểu diễn qua hai thành phần vuông góc () .R,R yx . Chiều của chúng được chọn một cách chủ quan, có thể không đúng như thực tế. Hình 1.6 a) S A S A N b) Hình 1.7 A N A S a) A N C C N A N B S B b) B N B N A A c) H ình 1.8 ) A R R y R x b) [...]... Tại C không có phản lực ⇒ có thể bỏ gối C Ví dụ 2.10 Cho cơ cấu 4 thanh ABCD (C, D cố đònh), xác đònh độ lớn của R để cơ cấu cân bằng ở vò trí đang xét Xác đònh ứng lực trong các thanh Biết Q = 10 KN, tại A, B, C, D đều là các khớp bản lề A 45 o 30 o 60 S2 A o C y1 y B 45 C D S1 S2’ 30 x1 o 60 Q R x a) B o o D S3 b) Hình 2.21 Giải Đây là loại cơ cấu đặc biệt, các thanh đều chòu liên kết thanh (trừ CD)... 3R Cx = Nhận xét: Khi Q = M M 3 −Q = ; R 3 3R Cy = − M R 8M cơ cấu cân bằng, các thành phần phản lực có 3 3R giá trò như đã đònh (với Ox và Cy đổi chiều) Ví dụ 2.12 Cho cơ cấu chòu lực và có liên kết như H.2.23a, các bán kính tương ứng R1 = 2.r1 = 2.R; OA = a = 1,5R Hai bánh răng ăn khớp tại I có độ lớn góc răng là 2 ϕ Tìm điều kiện của P để cơ cấu cân bằng, xác đònh phản lực tại O, O1 và lực ăn khớp... phương trình (6) ⇒ M' = rM ' = r 'M ⇔ Đấy chính là điều kiện cân bằng Ví dụ 2.9 Cơ hệ có liên kết và chòu lực như H.2.20a Biết: P1 = 10 KN; P2 = 20 KN; M = 35 KNm; q = 2 KN/m AB = 2BC= 2CE = ED = 2m Tính phản lực tại A, B, C P2 P2 o α = 30 Ay M q A C B E Q Ax A MA By M Bx’ Bx I α = 30 C B By’ a) P1 By Hình 2.20 o E b) Giải Cơ hệ hai vật rắn phẳng cân bằng Chúng ta dùng phương pháp tách vật Vật I: • Khảo... PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC Nội dung Chương này đưa ra các dạng thu gọn tương đương của hệ lực, những điều kiện cân bằng của hệ lực làm cơ sở để đánh giá tác dụng của chúng và giải bài toán cân bằng của vật rắn, hệ vật rắn Yêu cầu Nắm vững điều kiện tương đương cơ bản của hai hệ lực, các điều kiện cân bằng của hệ lực Biết cách áp dụng giải bài toán cân bằng của vật rắn, hệ vật rắn 2.1 HAI ĐẠI LƯNG... Ngẫu M đặt vào tay quay OA quay được quanh O, con chạy A có ) thể trượt dọc CB Cho biết góc C = 30o; CB = 3R; OA = R, tìm Q để cơ cấu cân bằng tại vò trí đang xét (H.2.22a) Xác đònh phản lực tại O,C? x Q B M O A A 30 Q Oy M O Cy o B Ox x 30 A o NA o 30 Cx a) b) Hình 2.22 Giải Cơ cấu gồm ba vật rắn: tay quay OA, con chạy A, thanh CB Do không cần tính phản lực giữa chốt bản lề tại A của tay quay và con... tác động vào bánh xe O lực R nghiêng với phương CO góc α và mặt phẳng chứa ( R , O’A = a CO ) nghiêng với mặt phẳng chứa bánh xe O (Cyz) góc β Cho Xác đònh liên hệ giữa M, M’ để cơ hệ cân bằng? Tìm phản lực tại A Giải Đây là cơ hệ hai vật rắn cân bằng chòu lực tác động của hệ lực không gian, số phương trình cân bằng được thiết lập là 12 = 6 × 2 Xem xét mô hình tại các liên kết B, C, D đã có sáu ẩn,... hệ lực phẳng (F k ∈ Oxy) dùng (2.12) lập phương trình cân bằng ngẫu lực 3 Đánh giá bài toán 1- Nếu số phương trình cân bằng độc lập được (r) bằng ẩn số (s) (số thành phần phản lực), bài toán có nghiệm duy nhất (được gọi là bài toán tónh đònh) 2- Nếu r > s có khả năng xảy ra: 23 - Sẽ dư ra một số phương trình (= r – s) không chứa ẩn số (phản lực) Đây chính là các điều kiện ràng buộc các lực hoạt động... Mo F12 A r r r r = m o (F1 ) + m o (F 2 ) + m o (F 3 ) + … + m o (F n ) r r r = m o (F12 ) + m o (F 3 ) + … + m o (F n ) F2 Hình 2.1 ⇒ M o bất biến trong phép biến đổi tiên đề 3 2.2 ĐỊNH LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BẢN ⎧ R' = R' ⎪ 1 2 Đònh lý 2.2 ϕ1 (F k ) ≡ ϕ 2 (P i ) ⇔ ⎨ ⎪ M1 0 = M 2 0 ⎩ Chứng minh Trước hết ta chứng minh: 1) , ⎧ , ⎪R 1 = R 2 ϕ1 (F k ) ≡ ϕ 2 (P i ) ⇒ ⎨ ⎪M 1 0 = M 2 0 ⎩ Chúng ta thừa nhận hai... Tìm điều kiện của P để cơ cấu cân bằng, xác đònh phản lực tại O, O1 và lực ăn khớp răng F O1 O1y O ϕ O1 A I y N1 P x a) I O1x Q1 Q1 P ϕ c) F N1 ϕ Oy Q O Ox I b) Q A ϕ O1 O d) Hình 2.23 Hình 2.23 Giải Cơ cấu hai vật rắn cân bằng (tách vật) Vật I: • Xét bánh răng O cân bằng Do xu thế quay của bánh xe O và O1, phản lực tựa tại mặt răng I có xu thế cản trở sự quay của các bánh răng ⇒ hai răng tiếp xúc . tương tự ta có: )F,P()P,P,P()P( H * OBAOi 2 ≡≡ϕ (H thuộc giao tuyến OG, có thể khác OE). Cuối cùng, lấy điểm L thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng )F,O( I và ).P,O( H Phân tích. nhận được: ;oF)F( kO 1 ≡ϕ ;F)F( AkA 2 ≡ϕ BkB 3 F)F( ≡ϕ ⇒ )F,F,F()F( BAOk 1 ≡ϕ Gọi OE là giao tuyến của hai mặt phẳng )F,O( A và )F,O( B . Trên OE lấy điểm I và phân tích các lực A F. )A,F,F( 21 đồng phẳng. Do A tùy ý nên suy ra )F,F,F( 321 phải thuộc cùng một mặt phẳng. Gọi giao điểm của 21 F,F là I, để chứng minh ba lực đồng quy chúng ta sử dụng: )F(m)F(mM 2 1 1 1 1 r r +=