Nghiên cứu về đường cong phẳng

Đ I H C THÁI NGUN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C PH M TRUNG KIÊN ĐƯ NG CONG PH NG LU N VĂN TH C SĨ TỐN H C Thái Ngun - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Đ I H C THÁI NGUN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C PH M TRUNG KIÊN Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ C P Mã s : 60 46 01 13 LU N VĂN TH C SĨ TỐN H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C PGS-TS: ĐÀM VĂN NH Thái Ngun - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ M cl c L i nói đ u 2 1 KI N TH C CHU N B 5 1.1 Nhóm 5 1.2 Vành đa th c và nghi m đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 K t th c và bi t th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 ĐƯ NG CONG PH NG 21 2.1 Khái ni m đư ng cong ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Tham s hóa đư ng cong ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Đi m h u t trên đư ng cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 C u trúc nhóm trên đư ng cong b c ba không có đi m kỳ d . . . 28 3 M TS NG D NG 31 3.1 M t vài bài hình sơ c p qua tham s hóa . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 M t vài phương trình nghi m nguyên qua tham s hóa . . . . . . 35 3.3 Phép bi n hình N ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 M t vài bài toán v đư ng cong b c 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 44 K t lu n 52 Tài li u tham kh o 53 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ L I NĨI Đ U Đã t lâu, ngư i ta r t quan tâm đ n nh ng phương trình ki u x 2 + y 2 = z 2 hay x 3 +y 3 = z 3 v i x, y, z ngun. Vi c gi i các bài tốn này khi z = 0 cũng chính là vi c tìm các đi m h u t trên đư ng cong ph ng x 2 + y 2 = 1 hay x 3 + y 3 = 1. Chính vì v y m t v n đ n y sinh là xác đ nh các đi m h u t trên đư ng cong ph ng. Đ có th xác đ nh đư c h u h t các đi m h u t , ngư i ta thư ng tham s hóa đư ng cong ph ng trong R 2 . M t v n đ n a cũng đư c nhi u ngư i quan tâm là: M t k t qu trong hình h c đúng cho đư ng tròn thì còn đúng cho đư ng elip, hypecbol, parabol khơng? Đ có đư c k t qu đúng cho đư ng conic thì các h th c ph i có các h s tương ng kèm theo. V n đ th ba là: Mơ t m t t p h p đi m trong hình h c ph ng khơng ph i c dùng thư c k và compa là d ng đư c. Khi đó mu n tìm qu tích các đi m trong m t ph ng ta có th mơ t qua đư ng cong ph ng. V i ba v n đ đ t ra trên lu n văn này t p trung nghiên c u v đư ng cong ph ng và m r ng m t vài k t qu đã bi t t lâu. Lu n văn đư c chia làm ba chương. Chương 1. Trình bày m t vài ki n th c chu n b v nhóm, vành đa th c, k t th c và bi t th c. Chương 2. T p trung trình bày v đư ng cong ph ng. M c 2.1 trình bày khái ni m đư ng cong ph ng. Chúng tơi đã ch ng minh đư c m nh đ 2.1.2. v giao h u h n đi m c a hai đư ng cong ph ng. M c 2.2 trình bày vi c tham s hóa các đư ng conic và m t vài đư ng cong ph ng khác. Chúng tơi tham s hóa theo 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ki u phân th c h u t đ áp d ng vào xác đ nh đi m h u t trên đư ng cong ph ng. C nh đó chúng tơi cũng tham s hóa hàm lư ng giác đ chuy n m t vài k t qu t đư ng tròn sang elip. M c 2.3 chúng tơi trình bày m t phương pháp xác đ nh đi m h u t trên đư ng conic. M c 2.4 trình bày c u trúc nhóm trên đư ng cong b c ba khơng có đi m kỳ d . . Chương 3. M t s ng d ng M c 3.1 trình bày m t vài bài hình sơ c p qua tham s hóa. Trong m c này tơi đã s d ng tham s hóa đ gi i quy t m t s bài tốn t p h p đi m mà qu tích c a chúng là m t đư ng cong ph ng b c ba. M c 3.2 đưa ra cách gi i m t vài phương trình nghi m ngun s d ng phương pháp tham s hóa. M c 3.3 trình bày v khái ni m và m t vài tính ch t c a phép bi n hình N ab . Trong m c này tơi trình bày đ nh lý Ptolemy và đ nh lý Newton đ i v i đư ng tròn. T k t qu này s d ng phép bi n hình N ab phát hi n ra m t s k t qu tương t cho elip. M c 3.4 tơi trình bày m t s bài tốn v đư ng cong ph ng b c ba đ c bi t là bài tốn đư ng cong ph ng 21- đi m K 3 . Đích cu i cùng lu n văn mu n đ t đư c là: 1. K t th c và phép kh v i nh ng tính ch t cơ b n và ng d ng. 2. Đư ng cong ph ng trong m t ph ng và m t vài tính ch t. 3. Tham s hóa đư ng cong ph ng và s d ng tham s hóa đư ng cong ph ng trong m t s bài tốn v phương trình nghi m ngun, đi m h u t và m t s bài hình sơ c p. 4. Phương pháp tìm đi m h u t trên đư ng conic và c u trúc nhóm trên đư ng cong ph ng b c ba khơng kỳ d . 5. Trình bày phép bi n hình N ab và m t vài tính ch t. 6. Bài tốn đư ng cong ph ng 21 - đi m K 3 . Dù đã r t c g ng, nhưng ch c ch n n i dung đư c trình bày trong lu n văn khơng tránh kh i nh ng thi u sót nh t đ nh, em r t mong nh n đư c s góp ý c a các th y cơ giáo và các b n. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Lu n văn đư c hồn thành dư i s hư ng d n khoa h c c a PGS.TS. Đàm Văn Nh . Em xin đư c t lòng c m ơn chân thành nh t t i th y. Em xin c m ơn chân thành t i Trư ng Đ i h c Khoa H c - Đ i h c Thái Ngun, nơi em đã nh n đư c m t h c v n căn b n sau đ i h c. Tác gi xin chân thành c m ơn gia đình, b n bè, đ ng nghi p đã c m thơng, ng h và giúp đ trong su t th i gian tác gi h c cao h c và vi t lu n văn. Thái Ngun, ngày 10 tháng 5 năm 2013 Ngư i vi t Ph m Trung Kiên 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 KI N TH C CHU N B 1.1 Nhóm Gi s X là m t t p khác r ng. Xét tích X ⋅ X = {(a, b) |a, b ∈ X } . M t ánh x ∗ : X ⋅ X → X đư c g i là m t phép tốn hai ngơi trên X. Gi thi t ∗ là m t phép tốn hai ngơi trên X. Phép tốn ∗ đư c g i là có tính ch t k t h p n u (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) th a mãn cho m i a, b, c ∈ X. Phép tốn ∗ đư c g i là có tính ch t giao hốn n u a ∗ b = b ∗ a th a mãn cho m i a, b ∈ X. Gi s A là m t t p con c a X. T p A đư c g i là n đ nh v i phép tốn ∗ n u a ∗ b ∈ A v i m i a, b ∈ A. Đ nh nghĩa 1.1.1. Gi s t p X = ∅ v i phép tốn hai ngơi ∗. Ph n t e ∈ X đư c g i là ph n t trung hòa n u a ∗ e = e ∗ a = a th a mãn cho m i a ∈ X. Đ nh nghĩa 1.1.2. Cho t p X = ∅ v i phép tốn hai ngơi ∗ và ph n t trung hòa e. Gi s ph n t a ∈ X. Ph n t b ∈ X đư c g i là ph n t ngư c c a a n u a ∗ b = b ∗ a = e. Đ nh nghĩa 1.1.3. Cho t p X = ∅ v i phép tốn hai ngơi ∗ và ph n t trung hòa e. Gi s ph n t a ∈ X. Ph n t b ∈ X đư c g i là ph n t ngư c c a a n u a ∗ b = b ∗ a = e và ta nói a có ph n t ngư c là b. D dàng ch ng minh đư c r ng, n u X = ∅ v i phép tốn hai ngơi k t h p ∗ mà có ph n t trung hòa e thì ph n t e là duy nh t và n u ph n t a ∈ X có ph n t ngư c b ∈ X thì b cũng là duy nh t. Đ nh nghĩa 1.1.4. Cho t p X = ∅ v i phép tốn hai ngơi ∗. X đư c g i là 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ m t nhóm n u X cùng phép tốn ∗ th a mãn các đi u ki n sau: (i) X có ph n t trung hòa e. (ii) Phép tốn ∗ có tính ch t k t h p, có nghĩa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) th a mãn cho m i a, b, c ∈ X. (iii) M i ph n t a ∈ X đ u có ph n t ngư c, có nghĩa: Có b ∈ X đ a ∗ b = b ∗ a = e. Nhóm X v i phép tốn ∗ đư c g i là nhóm giao hốn n u x ∗ y = y ∗ x th a mãn cho m i ph n t x, y ∈ X. N u phép tốn hai ngơi ∗ trên nhóm X đư c kí hi u b i phép c ng + thì thay cho vi c vi t a ∗ b ta vi t a + b và đư c g i là t ng c a a và b. Nhóm (X, +) g i là nhóm c ng. Ph n t trung hòa e c a nhóm này là ph n t khơng và đư c kí hi u là 0. Ph n t ngư c c a a đư c g i là ph n t đ i và kí hi u qua −a. Do v y a − a = a + (−a) = 0. N u phép tốn hai ngơi ∗ trên nhóm X đư c kí hi u b i phép nhân . thì thay cho vi c vi t a ∗ b ta vi t a.b ho c vi t đơn gi n ab và g i là tích c a a và b. Nhóm (X, .) đư c g i là nhóm nhân. Ph n t trung hòa e c a nhóm này đư c g i là ph n t đơn v và đư c kí hi u là e. Ph n t ngư c c a a đư c g i là ph n t ngh ch đ o và đư c kí hi u qua a − 1 . Do v y aa − 1 = e. 1.2 Vành đa th c và nghi m đa th c 1.2.1 Khái ni m vành đa th c Gi s R là vành giao hốn v i đơn v 1. Kí hi u P ⊂ R N là t p h p t t c các dãy f = (a 0 , a 1 , , a n , 0, 0 ) v i các a i ∈ R và ch có m t s h u h n thành ph n khác 0. Như v y ph n t thu c P ho c có d ng(0, 0, , 0, 0, ) ho c (a 0 , a 1 , , a n , 0, 0, ) v i thành ph n cu i cùng a n = 0. Ta đưa phép tốn vào P đ bi n P thành m t vành. V i f = (a 0 , , a n , 0, ), g = (b 0 , , b m , 0, ) ∈ P , đ nh nghĩa: f = g khi và ch khi a i = b i , i = 0, 1, 2, 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ f + g = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , , a k + b k , , 0, ) f.g = (a 0 b 0 , a 1 b 0 + a 0 b 1 , a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 , , 0, ) B đ 1.2.1. T p (P, +, .) là m t vành giao hốn v i đơn v (1, 0, 0, ) và ánh x φ : R → (P, +, .) , a → (a, 0, 0, ) là m t đơn c u. Ch ng minh: D dàng ki m tra các k t qu trên. Đ t x = x 1 = (0, 1, 0, 0, ) và quy ư c x 0 = (1, 0, 0, ). Ta có bi u di n x 0 = (1, 0, 0, ) x = (0, 1, 0, 0, ) x 2 = (0, 0, 1, 0, 0, ) x 3 = (0, 0, 0, 1, 0 ) = f = (a 0 , a 1 , , a n , 0, 0, ) = (a 0 , 0, 0, ) + (0, a 1 , 0, 0, ) + + (0, 0, , 0, a n , 0, ) = (a 0 , 0, ) x 0 + (a 1 , 0, ) x + + (a n , 0, 0, ) x n N u đ ng nh t a ∈ R v i nh φ (a) = (a, 0, 0, ) , x 0 = (1, 0, 0, ) = φ (1) ta có bi u di n f = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n . Lúc này vành (P, +, .) đư c kí hi u qua R[x] và ta có n R [ x ] = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n |a i ∈R = i=0 a i x i |a i ∈ R M i ph n t f ∈ R [x] đư c g i là m t đa th c c a x v i các h s a i thu c vành R. H s a n = 0 đư c g i là h s cao nh t, còn h s a 0 đư c g i là h s t do c a f, n đư c g i là b c c a đa th c f và kí hi u là degf(x). Riêng đa th c 0 đư c quy đ nh có b c là −∞ ho c −1. Vì tính ch t đ c bi t c a x nên đơi khi ta g i x là m t bi n trên R và đa th c f còn đư c vi t qua f(x). n m N u f (x) = a i x i , g (x) = b i x i ∈ K [x] thì i=1 i=1 f (x) = g(x) khi và ch khi m = n, a i = b i v i 0 ≤ i ≤ n i f ( x) + g ( x) = ( a i + b i ) x i , f ( x ) g ( x ) = (a i − j b j ) x i i=0 i=0 j=0 Ta có các k t qu sau đây: Đ nh lý 1.2.2. V i trư ng K, K[x] là m t vành giao hốn. Hơn n a, K[x] còn là m t mi n ngun. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 ĐƯ NG CONG PH NG 2.1 Khái ni m đư ng cong ph ng Xét m t đư ng cong ph ng quen bi t trong m t ph ng R 2 cho b i phương trình sau: (l) : y2 = x2 + x3 Đây là đư ng cong đi qua g c t a đ O(0, 0) Đ mơ t các đi m khác n a trên đư ng cong, ta th c hi n phép bi n đ i b ng cách đ t y = tx và thay nó vào phương trình đư ng cong Ta có t2x2 = x2 + x3 Khi x = 0 ta có đi m... đư ng cong ph ng Đ nh nghĩa 2.2.1 Đư ng cong ph ng V (f) đư c g i là đư ng cong ph ng h u t n u có hai hàm h u t ϕ (t) , ψ (t) ∈ R (t) c a bi n t và c hai khơng đ ng th i thu c R th a mãn f (ϕ (t) , ψ (t)) = 0 Đư ng cong ph ng h u t có quan h t i vi c tìm các nghi m (a, b) ∈ R2 c a phương trình f(x, y) = 0 ho c tìm các đi m thu c đư ng cong ph ng v i t a đ là nh ng s h u t Khi bi u di n đư ng cong. .. = 1 ho c t = −1.V y m i đi m trên đư ng cong (l) có t a đ (t2 − 1, t(t2 − 1)), t ∈ R M t đi u làm ta ph i chú ý là đi m O(0,0) s tương ng v i hai giá tr khác nhau c a t còn nh ng đi m khác ch tương ng v i m t giá tr c a t Đ nh Nghĩa 2.1.1 Cho đa th c f ∈ R [x, y]∴ R T p V (f) t t c nh ng đi m (a, b) ∈ R2 th a mãn phương trình f(x, y) = 0 đư c g i là m t đư ng cong ph ng ∗ Vì t t c nh ng đa th c f,... t t c nh ng đi m (a, b) ∈ R2 th a mãn phương trình f(x, y) = 0 đư c g i là m t đư ng cong ph ng ∗ Vì t t c nh ng đa th c f, g ∈ R[x, y] v i f = λg, λ ∈ R∴ {0} ho c fr, r ∈ N , xác đ nh cùng m t đư ng cong ph ng nên ta ch xét đa th c f = f1 fs v i các đa th c b t kh quy phân bi t fi thu c R[x, y] N u đa th c f là kh quy, ch ng h n f(x, y) = g(x, y)h(x, y) và c hai đa th c này có b c l n hơn 0, thì V... c tìm các đi m thu c đư ng cong ph ng v i t a đ là nh ng s h u t Khi bi u di n đư ng cong ph ng V (f) qua x = ϕ (t) , y = ψ (t) ∈ R (t) ta nói r ng đã tham s hóa đư c V (f) Vi c tham s hóa các đư ng cong ph ng qua các hàm h u t như sau: Ch n đi m P ∈ V và vi t phương trình tham s c a đư ng th ng (d) đi qua P sao cho (d) c t V t i đúng đi m th hai khác P Cho (l) : f(x, y) = 0 v i f(x, y) là đa th... M nh đ (l) v i t a đ thu c Q đư c g i là nh ng đi m h u t c a (l) 2.2.4 2 m : x 2 + y2 2 tham s hóa qua x(t) = 1 +tt , y(t) = 1 − t2 v i quy ư c x (∞) = tlim 1 = 1 là 2 b đư ng +tt = 2 1 + t →2 ∞ 2 2 cong 2 ph ng 0; y (∞) = tlim 1 − t2 + hut = −1 2 2 2 → a ∞ 1+ t b Ch ng minh: Đư ng th ng (d) đi qua đi m (0; 1) ∈ (C) v i h s góc −t có phương trình (d) : y = −tx + 1 c t (C) t i đi m (0; 1) và At 2t... (C) : x2 + y2 = 1 còn đư c tham s hóa qua x(t) = cost, y(t) = sint và Elip (E) x2 + y2 = 1 còn đư c tham s hóa qua x(t) = acost; y = 2 2 b bsint M nh đ 2.2.6 Đư ng Hypecbol (H) : x2 − y2 = 1 là đư ng cong ph ng h u 2 2 a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://l rc.tnu edu.vn / t đư c tham s hóa qua x (t) = a1+ ab2tt2 ; y (t) = 1 −bbtt2 V i quy ư c −b 22 22 2 x (∞) = tlim a1+ ab2tt2 = −a; y (∞) = tlim... và t s AAFd1 ) = e Tương t , ta cũng có AAFd2 ) = e d d t t ( t1 ( t2 Ta có AtF1 = ed (At, d1) và AtF2 = ed (At, d2) T đây nh n đư c hi u |AtF1 − AtF2| = e.2ac = 2a 2 Ví d 2.2.8 Trong m t ph ng, đư ng cong ph ng Lemniscat v i phương trình 2 . vài tính ch t c a phép bi n hình N ab . Trong m c này tơi trình bày đ nh lý Ptolemy và đ nh lý Newton đ i v i đư ng tròn. T k t qu này s d ng phép bi n hình N ab phát hi n ra m t s k t qu tương