2.3.1. Phương pháp t ng quát đ tìm đi m h u t trên đư ng conic Cho đư ng conic (C) cĩ phương trình ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 v n đ
đ t ra là cĩ t n t i đi m h u t trên đư ng conic khơng và n u cĩ thì tìm b ng cách nào? Gi s t n t i đi m h u t O trên đư ng cơnic này, ta s th c hi n phép chi u các đi m trên đư ng cơnic là m t đư ng th ng. Ta đã bi t t p h p các đi m h u t trên đư ng th ng (d) vì v y ta l y đi m h u t E b t kì trên đư ng th ng (d), đư ng th ng OE c t cơnic (C) t i F. Ta cĩ F là m t đi m h u t trên (C). Th t v y đư ng th ng OE đi qua hai đi m h u t nên nĩ là đư ng th ng h u t .
Ta s rút m t n t phương trình c a đư ng th ng này th vào phương trình
25
Hình 2.1:
Phép chi u lên đư ng th ng.
c a đư ng conic ta đư c phương trình b c hai v i h s h u t . Vì v y nghi m
th hai s là nghi m h u t (nghi m kép đư c tính hai l n). Vì v y F s là đi m h u t . Ngư c l i, khi cho m t đi m h u t F trên (C). N u OF song song v i (d) thì khơng t n t i giao đi m. N u OF khơng song song v i (d) thì đư ng th ng OF c t (d) t i đi m E và E là m t đi m h u t trên (d). Như v y tr đi đi m F mà OF song song v i (d) thì ta cĩ s tương ng 1 − 1 gi a các đi m h u t trên đư ng cơnic (C) và trên đư ng th ng (d).
Ví d 2.3.1: Tìm các đi m h u t trên đư ng trịn (C) : x2 + y2 = 2. Bài gi i: Ta d dàng tìm đư c m t đi m h u t trên (C) là A(1,1). Ta s ch n đư ng th ng (d) là tr c Ox cĩ phương trình y = 0. L y m t đi m h u t b t kì trên (d) là B(t,0), v i t ∈ Q.
Phương trình đư ng th ng AB :
x = (t − 1)(1 − y) + 1.
Thay x vào phương trình c a đư ng (C) ta đư c
((1 − y)(t − 1) + 1)2 + y2 = 2
⇔ (1 − y)2(t − 1)2 + 2 (1 − y) (t − 1) + y2 − 1 = 0
26
Hình 2.2:
Phép chi u đư ng trịn lên đư ng th ng.
N u y = 1, suy ra x = ±1 ta cĩ ngay hai đi m h u t trên (C) là A(1, 1), C(−1, 1)
N u y = 1 khi đĩ ta cĩ
(1 − y)2(t − 1)2 + 2 (1 − y) (t − 1) + y2 − 1 = 0
⇔ (1 − y) (t − 1)2 + 2 (t − 1) − y − 1 = 0⇔ y = −t−t +t 2 2 2
2+2 −
Suy ra x = −t2− 42t+ 2
2 Thay t = 2 vào cơng th c bi u di n x, y trên ta đư c
t2 t
+−
đi m A(1, 1). B ng cách lo i đi m C(−1, 1), ta cĩ s tương ng 1 − 1 gi a các đi m h u t trên đư ng th ng và đư ng trịn như sau
(t, 0) ↔
t2 − 4t + 2 , −t2 + 2
−t2 + 2t − 2 −t2 + 2t − 2
Chú ý: Đ i v i đư ng cơnic cĩ d ng phương trình t ng quát ta s th c hi n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
phép bi n đ i đđưa nĩ v phương trình đơn gi n hơn trư c khi tìm các đi m h u t c a nĩ.
Ví d 2.3.2. Cho đư ng cơnic (C) cĩ phương trình x2 + 2xy + 2y2 + 2y − 7 = 0. Bài gi i: Ta s th c hi n phép bi n đ i đ đưa nĩ v d ng đơn gi n hơn như
sau
x2 + 2xy + 2y2 + 2y − 7 = 0
⇔ x+y + y+1 =2
27
X = x+y
Đ t y + 1 Khi đĩ phương trình tr thành X + Y = 2 Như v y b ng
Y= 2
2
2 2
vi c tìm đư c các đi m h u t trên đư ng conic cĩ phương trình X2 + Y 2 = 2, ta s tìm đư c các đi m h u t t phương trình ban đ u.
Ta nh n th y đư ng conic t n t i m t đi m h u t thì cĩ vơ s đi m h u t . V y v n đ đ t ra là khi nào đư ng conic t n t i đi m h u t .
2.3.2. Đi u ki n đ đư ng conic t n t i đi m h u t
Gi s m, n là nh ng s nguyên dương, ta nĩi r ng m là m t th ng dư b c hai mudulo n
và ta vi t mRn n u cĩ m t s x nguyên đ x2 ≡ m (mod n).
Đ nh lí Legendre. V i các s nguyên a, b, c, phương trình ax2 + by2 + cz2 = 0 cĩ nghi m nguyên (x, y, z) khác (0, 0, 0) khi và ch khi (−ab)Rc, (−bc)Ra, (−ca)Rb.
T đ nh lí này ta suy ra k t qu dư i đây:
Phương trình ax2 + by2 = cz2, v i a, b, c nguyên, cĩ nghi m nguyên (x, y, z) khác (0, 0,
0) thì phương trình đ ng dư ax2 +by2 ≡ cz2 ( mod m) cũng cĩ nghi m nguyên (x, y, z) v i x, y, z nguyên t v i m.
Ví d 2.3.3: Ki m tra s t n t i c a đi m h u t trên đư ng trịn cĩ phương trình x2 +
y2 = 6.
Bài gi i: Ta xét phương trình đ ng dư x2 + y2 ≡ 6z2 trong mudulo 3. Ta s ch ra phương trình này khơng cĩ nghi m (x, y, z) mà c x, y, z nguyên t v i 3. Th t v y, gi s phương trình cĩ nghi m (x, y, z) mà c x, y, z đ u nguyên t v i 3. Khi đĩ x ≡ ±1(mod 3), y ≡ ±1(mod 3). Suy ra 2 ≡ x2 + y2 ≡ 6z2 ≡ 0 (vơ lí). V y khơng t n t i đi m h u t trên đư ng trịn này.