Ví d 3.1.1. Gi s hai đư ng th ng xx và yy vuơng gĩc v i nhau t i O. L y đi m P = O c đ nh thu c xx' và đi m A ch y trên yy'. Qua A k đư ng th ng vuơng gĩc v i PA và đư ng này c t xx' t i B. D ng đư ng th ng Bb vuơng gĩc v i xx'. Đư ng th ng Bb c t PA M. Khi đĩ hãy
(i) Xác đ nh qu tích đi m M.
(ii) Gi i phương trình x3 + 29z(x2 + y2) = 0 trong Z. Bài gi i:
(i) D ng h t a đ Oxy. G i P (a, 0), a = 0. Phương trình đư ng th ng PA:
y = t(x − a) và t a đđi m A(0, −ta). Khi đĩ phương trình BA: y = −1x − ta.
t
T a đ đi m B(−t 2a, 0). T đây suy ra t a đ đi m M như sau: M (x = −t2a, y =
x = −t2a t(−t2a − a)). Qu tích đi m M cĩ phương trình tham s kh y = t −t2a − a x = −t2a t t h phương trình ta cĩ y = −t3a − ta 2 −ay2 = −t2a −at2 − a = x ( x − a) 2
Hay phương trình x3−2ax2+a2x+ay2 = 0. Th x−a qua x ta cĩ x2(x+a)+ay2 = 0
hay x3 + a(x2 + y2) = 0.
(ii) Ta cĩ ngay x = 0, z = 0, y tùy ý. N u z = 0 thì
x = −29t2, y = −29 t3 + t
z z
31
và t đĩ suy ra nghi m.
Ví d 3.1.2. Cho tam giác OBC vuơng t i B. T giao đi m D gi a m t đư ng th ng Cc thay đ i, nhưng luơn đi qua C, v i đư ng th ng OB ta k đư ng th ng Dd vuơng gĩc v i CD. T đ nh O h OM vuơng gĩc v i Dd. Khi đĩ hãy Xác đ nh qu tích đi m M khi D ch y trên đư ng th ng OB.
Bài gi i:
(i) D ng h t a đ Oxy v i O(0, 0), B(0, b), C(c, b). Gi s phương trình đư ng th ng CD: y
= t(x−c)+b. Khi đĩ t a đ đi m D(0, −tc+b). Phương trình Dd: y =
−1x−tc+b và OM: y = tx. D dàng suy ra t a đđi m M x = tb2− t1c, y = t tb2 − t1 c
t t+ 2 2 + 3
x = tb2− t1 2c
Qu tích đi m Mcĩ phương trình tham s như sau: này ta cĩ x(x2 + y2) − y(bx − cy) = 0.
t+
t2b − t3c kh t t h
y = t2 + 1
Ví d 3.1.3. Trong m t ph ng (P) cho hai đi m c đ nh A và B v i AB = 2a > 0. Khi đĩ hãy
(i) Xác đ nh qu tích đi m M thu c (P) sao cho MA.MB = a2.
(ii) Ch ng minh r ng, phương trình (x2 + y2)2 − 2(x2 − y2) = 0 cĩ nhi u vơ h n nghi m h u t .
Bài gi i:
(i) D ng h t a đ Oxy v i A(−a, 0), B(a, 0). Gi s M(x, y). Khi đĩ MA.MB =
a2 khi và ch khi [(x + a)2 + y2][(x − a)2 + y2] = a4 hay x4 + y4 + 2x2y2 − 2a2x2 +
2a2y2 = 0. V y qu tích các đi m M là đư ng cong ph ng b c 4 cĩ phương trình
(x2 + y2)2 − 2a2(x2 − y2) = 0.
(ii) Xét phương trình (x2 + y2)2 − 2a2(x2 − y2) = 0. N u x = 0
thì y = 0 và ngư c l i.
N u xy = 0. Đ t x2 + y2 = t(x − y) và thay vào phương trình đ u, ta cĩ
t2(x − y)2 = 2(x2 − y2). Vì x = y, nên t2(x − y) = 2(x + y). Ta cĩ y = t2 − 2x. V y 2 t +2 2−2 2 x2 + t2 + 2 x2 = xt 1 − t2 + 2 . 2−2 t t So á
2t t2 + 2 2t t2 − 2 m V ì 2 + 4 , y = 2 m n m 2 − 2 n 2 t
,y = . Đi u c n ch ng minh.
m 4 + 4 n4 m4 + 4n4
Ví d 3.1.4. Trong m t ph ng (P), cho 3 đư ng th ng d,d1 và d2 sao cho d1, d2
cùng vuơng gĩc v i d và d1 c t d t i O, cịn d2 c t d t i H.Trên d1 l y đi m C sao cho OC = OH. Khi đĩ hãy
(i) Tìm t p h p các đ nh A và B c a tam giác vuơng ABC v i ∠C =π
. Sao
2
cho trung đi m c a c nh huy n AB thu c d2 và đư ng th ng AB đi qua O. (ii) V n đ : T p nghi m h u t c a phương trình (x2 + y2)(y − 2) = y − 2x là h u h n hay vơ h n.
Bài gi i:
(i) D ng h t a đ Oxy và đ t a = OH sao cho C(a, 0). G i M là trung đi m c nh huy n AB và t a đ M(m, a).
√ √
N u m = 0 thì M(0, a) và ta cĩ ngay A 0, a 1 − 2 , B 0, a 1 + 2 . N u m = 0 thì phươn trình OM: y = ax. Gi s A(x, ax). Vì M là trung đi m
m m
c a c nh huy n AB c a tam giác vuơng ABC nên MA2 = MC2 hay
(x − m)2 + ax − a = (m − a)2 + a2 2
m
Kh m qua vi c thay m = ax, ta nh n đư c phương trình
y
(x2 + y2)(y − 2a) = a2(y − 2x).
V y A và B thu c đư ng cong ph ng (l) : (x2 + y2)(y − 2a) = a2(y − 2x).
√ √
Hai đi m 0, a 1 − 2 , 0, a 1 + 2 đ u thu c (l). Hi n nhiên (l) đi qua
O(0, 0). Gi s đi m A(x, y) ∈ (l).
N u y = 0 thì cĩ th ch n A(0, 0), B(a, 2a) ∈ (l), M a, a và ta cĩ tam giác ABC
2
vuơng C(a, 0) v i M là trung đi m c a c nh huy n AB.
N u y = 0, cĩ x2 + y2 (y − 2a) = a2 (y − 2x) hay x2 −2xax + ayx +y2 −2ya+a2 = 22 a2 x2 ax 2 2 ax y 2ax thu c đư ng y 2 −2a y +a +a . Đ t t = y . Khi đĩ đi m M (t, a) , A x, y = t
th ng MO: y = ax th a mãn phương trình (x − t)2 + (y − a)2 = (t − a)2 + a2 hay
t
33
M A2 = M C2. D dàng cĩ B(2t − x, 2a − y) thu c (l).
Ví d 3.1.5. Cho ba đi m c đ nh P,A,B sao cho PA = PB. Đư ng trịn thay đ i Ct luơn đi qua A và B, và P n m ngồi đư ng trịn (Ct). Khi đĩ hãy
(i) Tìm t p h p ti p đi m c a ti p tuy n đi qua P c a đư ng trịn (C t). (ii) V n đ : T p h p nghi m h u t c a phương trình x x2 + y2 − x2 − y2 + (x − 1) = 0 là h u h n hay vơ h n.
Bài gi i:
(i) D ng h t a đ Oxy v i P (a, 0), A(0, b), B(0, −b). Gi s phương trình đư ng trịn (Ct) : (x − t)2 + y2 = t2 + b2 . Gi s M(x0, y0) thu c (Ct). Ta cĩ (x0 − t)2 + y2 = t2 + b2. Đư ng th ng PM ti p xúc v i đư ng trịn (C t) khi và ch khi 0 (x0 − a)2 + y2 + t2 + b2 = (a − t)2. T x2 + y2 = 2x0t + b2 và x2 + y2 − 2ax0 + b2 = −2at 0 0 0 0 0 ax0 − b2 . Do v y x2 + y2 − 2x ax0 − b2 = b2 hay sy ra t = x + a 0 0 0 0 x0 + a x 0 x 2 + y 2 − a x 2 − y 2 + ( x 0 − a) b 2 = 0 0 0 0 0
T đây suy ra, t p h p ti p đi m c a ti p tuy n đi qua P c a đư ng trịn (Ct)
là đư ng cong ph ng b c ba
x x 2 + y 2 − a x 2 − y 2 + b 2 ( x − a) = 0 .
Ví d 3.1.6. Trong m t ph ng (P), cho đư ng th ng d và đi m A ∈ d c /
đ nh. Đư ng trịn (Ct) thay đ i đi qua A và c t d t i hai đi m M và N sao cho
∠MAN =α khơng đ i sao cho 0 < α <π
. Khi đĩ hãy
2
(i) Tìm t p h p các tâm đư ng trịn (Ct) và ch ra các đư ng trịn (Ct) luơn ti p xúc v i m t đư ng trịn c đ nh (C).
(ii) Gi sα bi n thiên t 0 đ nπ
. Hãy xác đ nh đi m D thu c đư ng th ng đi
2
qua A vuơng gĩc v i d sao cho phương tích c a D v i đư ng trịn (C) khơng ph thu c vàoα.
Bài gi i:
(i) G i I là tâm đư ng trịn (Ct). H AJ⊥d, IK⊥d. Khi đĩ IA = IM = cosα := 1
IK IK
e. Như v y, đi m I ch y trên m t nhánh c a hypecbol (H) v i m t tiêu đi m là
A và m t đư ng chu n là d. Gi s F là tiêu đi m th 2 c a (H). Đ t AJ = h > 0 và AF = 2c. Gi s A(−c, 0) và O(c, 0) và (d) : x = −ađ i v i h t a đ Oxy. Khi e đĩ cosα = e = c . vì h = AH = c − ac = c − ccos2α nên c = h2 . Như v y, đi m F 1 a 2 sinα sinα
trong tâm F bán kính R. Vì R = IF − IA = 2a nên R = 2c cos sα = 2h cosα
sin2α
(ii) Đ t AD = t. Khi đĩ phương tích c a D v i đư ng trong (C) b ng T =
℘ (D, (C)) = DF 2 − R2 = (2c − x)2 − R2. Do v y, ta cĩ T = 2h − x 2 −
sin2α
4h2cos2α = 4h (h − x) + x2 . T đây suy ra r ng, T đ c l p v iα khi và ch khi
sin4α sin2α
x = h hay D ≡ J và T = h2.
