XÂY DỰNG VÀNH CHIA THEO MALCEVNEUMANN, VÀNH CHIA HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ NHƯ THUẬN XÂY DỰNG VÀNH CHIA THEO MAL'CEV-NEUMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ NHƯ THUẬN XÂY DỰNG VÀNH CHIA THEO MAL'CEV-NEUMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. BÙI XUÂN HẢI Tp. Hồ Chí Minh - 2012 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán - Tin học, trường đại học Khoa học tự nhiên TP. Hồ Chí Minh, đặc biệt là các thầy trong bộ môn Đại số đã giảng dạy tận tình cho tôi trong suốt thời gian học cao học. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS BÙI XUÂN HẢI. Thầy luôn là người chỉ dạy nhiệt tình và chu đáo trong quá trình thực hiện luận văn. Nhân đây, cho phép em gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy. Và cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp. Những người đã mang tới nguồn động viên to lớn để tôi có thêm nghò lực vượt mọi khó khăn hoàn thành luận văn này. Tp.HCM, ngày 01 tháng 01 năm 2012 Lê Như Thuận Mục lục Lời nói đầu 6 1 Kiến thức chuẩn bò 8 1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Vành chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Vành nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Trường và lý thuyết Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Vành chia theo Mal'cev-Neumann 20 2.1 Nhóm sắp thứ tự toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Tập sắp thứ tự tốt WO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Vành chia theo Mal'cev-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Ví dụ về vành chia theo Mal'cev-Neumann . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu 32 3.1 Một vài khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Xây dựng vành chia hữu hạn đòa phương yếu . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Giả thuyết Herstein trên vành chia hữu hạn đòa phương yếu . . . . 38 4 Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số. Kết luận 43 Chỉ mục 44 Tài liệu tham khảo 46 5 Lời nói đầu Vành chia là một nội dung toán học có rất nhiều ứng dụng trong nội tại toán học và nhiều ngành khoa học khác. Việc xây dựng và phát triển các lớp vành chia mới hiện là chủ đề được nhiều nhà toán học quan tâm. Ta biết rằng, với một vành có đơn vò R, R ∗ là tập các phần tử khả nghòch của R, khi đó ta nói R là vành chia nếu R ∗ = R\{0}. Dựa vào đònh nghóa này, các nhà toán học đã xây dựng ra nhiều phương pháp hữu hiệu để xác đònh vành chia. Trong luận văn này ta sẽ nói rõ cách thức xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neumann trên lớp chuỗi Laurent thông qua vành nhóm. Tiếp đến, ta sẽ xây dựng lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu và nghiên cứu giả thiết Herstein trên vành chia hữu hạn đòa phương yếu. Nội dung luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1: Trình bày nội dung về vành nhóm kG, R((G, ω)), vành nhóm xoắn R[G, ω], vành tự do Rx i : i ∈ I. Đồng thời nêu rõ các tính chất về mở rộng trường-mở rộng Galois, nhóm xoắn, nhóm con á chuẩn tắc, nhóm giải được làm cơ sở cho chương 3 . Chương 2: Trong chương này, ta làm rõ nội dung về nhóm sắp thứ tự toàn phần, tập sắp thứ tự tốt WO, đònh lý về vành chia theo Mal'cev-Neumann A = R((G, ω)) và các hệ quả là các phép nhúng R[G, ω], Rx i : i ∈ I trong R((G, ω)) và ví dụ về vành chia theo Mal'cev-Neumann. Chương 3: Trên cơ sở về việc xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neumann đã xây dựng ở chương 2, chương này sẽ trình bày nội dung về vành chia hữu hạn đòa phương yếu với giả thuyết Herstein trên đó. 6 Các kí hiệu trong luận văn Kí hiệu Ý nghóa A/B Nhóm thương hoặc vành thương ,  Nhóm con chuẩn tắc thực sự, nhóm con chuẩn tắc Cen(A), Z(A) Tâm của nhóm (hoặc của vành) A C A (B) Tâm hóa tử của B trong A [h, k] Giao hoán tử nhân của h và k [G, G] Nhóm con hoán tử (đạo nhóm) của G G (i) Đạo nhóm thứ i của G [G : H] Chỉ số của nhóm con H trong nhóm G [K : F ] Bậc của mở rộng trường |u| Cấp của phần tử u Aut(R) Tập các tự đẳng cấu của R kG Vành nhóm của nhóm G trên vành k  i A i Tổng trực tiếp của các vành A i k{x i : i ∈ I} Vành các đa thức trên k kx i : i ∈ I Vành tự do trên trường k sinh bởi {x i : i ∈ I} degf Bậc của đa thức f supp(α) Giá của phần tử α ACC Điều kiện dây chuyền giảm DCC Điều kiện dây chuyền tăng W O Thứ tự tốt CharF Đặc trưng của vành (trường) F dim K F Số chiều của K−không gian vector F Kerϕ Nhân của đồng cấu ϕ 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bò Trong chương này sẽ trình bày một số nội dung kiến thức cơ bản quan trọng nhằm phục vụ cho nội dung của các chương sau. Đây là các nội dung đã được làm rõ trong các giáo trình mà tác giả sẽ đề cập cụ thể. Vì vậy, chỉ xin phép trình bày ngắn gọn các nội dung này. 1.1 Nhóm Ta nhắc lại một số khái niệm về nhóm. Cho G là một nhóm nhân với đơn vò 1 và H là một nhóm con của G. Nhóm con H gọi là nhóm con thực sự của G nếu H = G. H được gọi là chuẩn tắc trong G hay H là nhóm con chuẩn tắc của G nếu gHg −1 ⊆ H, ∀g ∈ G, kí hiệu là H  G. Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G không có nhóm con chuẩn tắc thực sự nào khác 1. Gọi X là tập con khác rỗng của G thì nhóm con của G sinh ra bởi X kí hiệu là X. Khi X hữu hạn và G = X thì ta nói G là hữu hạn sinh. Giả sử X là nhóm con khác rỗng của G. Tâm hóa tử của X trong G là tập hợp {g ∈ G : gx = xg, ∀x ∈ X}, kí hiệu là C G (X). Tâm hóa tử của G trong G được gọi là tâm của G kí hiệu là CenG hay Z(G). Nếu H là một nhóm con của G thì tập hợp {g ∈ G : gHg −1 = H} được gọi 8 Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số. là chuẩn hóa tử của H trong G, kí hiệu là N G (H). Hiển nhiên H  N G (H) ≤ G Với H và K là hai nhóm con của G thì [h, k] = hkh −1 k −1 với h ∈ H, k ∈ K được gọi là giao hoán tử của h và k. Nhóm con sinh bởi các giao hoán tử này kí hiệu là [H, K]. Do [h, k] = [k, h] −1 nên ta có [H, K] = [K , H]. Nhóm [G, G] được gọi là nhóm con hoán tử của G kí hiệu là G  . Rõ ràng G là nhóm Aben (giao hoán) nếu và chỉ nếu G  = 1. Đặt G (1) := G  , với i ≥ 1, ta đònh nghóa G (i) bởi quy nạp G (i) = (G (i−1) )  . Khi đó G (i) được gọi là đạo nhóm thứ i của G. Từ đây cho ta dãy các nhóm con của G: G > G (1) > G (2) . . . . Ta có G (i) là nhóm con chuẩn tắc của G. Đònh nghóa 1.1.1 (Nhóm giải được). Nhóm G gọi là nhóm giải được nếu G (n) = 1 với n là một số nguyên dương nào đó. Dễ nhận thấy mỗi nhóm Aben đều là nhóm giải được. Nhóm lũy linh cũng là một nhóm giải được. Đònh nghóa 1.1.2 (Nhóm xoắn). Cho G là một nhóm. Phần tử u ∈ G được gọi là phần tử xoắn nếu nó có cấp hữu hạn. Nếu mọi phần tử của G đều là phần tử xoắn thì G được gọi là nhóm xoắn. Trong trường hợp G có một phần tử xoắn duy nhất là phần tử đơn vò thì ta nói G là nhóm không xoắn. Đònh nghóa 1.1.3 (Nhóm con á chuẩn tắc). Cho G là nhóm với đơn vò 1. Nhóm con H của G được gọi là nhóm con á chuẩn tắc trong G nếu tồn tại một dãy sắp thứ tự tốt các nhóm con của G H = G 1 < G 2 < . . . < G n = G sao cho G i  G i+1 với i ∈ {1, 2, . . . , n −1}. ở đây, n là một số nguyên dương nào đó. Đònh nghóa 1.1.4 (Tháp nguyên dương). Cho G là nhóm nhân với quan hệ thứ tự “ < ”. Tháp nguyên dương P của G được đònh nghóa là tập các phần tử x ∈ G với x > 1 sao cho P có các thuộc tính: i) P.P ⊆ P. ii) G\{1} là hợp rời của P và P −1 = {x −1 : x ∈ P }. iii) z −1 P z ⊆ P, ∀z ∈ G. 9 Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số. Rõ ràng, cho P ⊆ G thỏa mãn ba thuộc tính trên thì ta có thể đònh nghóa quan hệ thứ tự “ < ” trên đó bởi: x < y ⇔ x −1 y ∈ P ⇔ yx −1 ∈ P. Và ta thấy rằng, quan hệ “ < ” này làm cho G tạo thành nhóm thứ tự với tháp nguyên dương P , ta viết (G, P ). Vì thế, sẽ thuận tiện hơn để ta đònh nghóa quan hệ thứ tự trên nhóm thông qua xác đònh tháp nguyên dương của chúng. Từ việc xây dựng này, ta đi đến đònh lý quan trọng về nhóm thứ tự khi xét trên lớp các nhóm tự do. Tuy nhiên, trước hết ta cần đònh lý sau Đònh lý 1.1.5 (Magnus-Witt). Cho G là một nhóm tự do và xét dãy giảm các nhóm con sau: G ⊇ G (1) ⊇ G (2) ⊇ . . . ở đây G (1) = [G, G] và G (n+1) = [G (n) , G (n) ], ∀n ≥ 1. Khi đó  n≥1 G (n) = {1} và G (n) /G (n+1) là nhóm Aben tự do. Chứng minh. Nội dung chứng minh của đònh lý này khá rõ trong [5] trang 380-383. Vì vậy, xin phép không trình bày lại ở đây. Đònh lý 1.1.6. Mọi nhóm Aben không xoắn hay nhóm tự do đều là nhóm thứ tự. Chứng minh. Khi G là nhóm Aben không xoắn được đề cập khá rõ trong [8] trang 102, mục 6.31. Ta tập trung vào làm rõ trường hợp khi G là nhóm tự do. Trong trường hợp này, ta sẽ xây dựng trên G tháp nguyên dương P . Theo Đònh lý 1.1.5 (Magnus-Witt) (trang 10), ta có G (n) /G (n+1) là nhóm aben tự do nên theo trường hợp như đã xét lúc đầu, thì tồn tại tháp nguyên dương P n mà trên đó nó xác đònh một nhóm Aben thứ tự. Trên cơ sở đó, ta sẽ xây dựng trên G tháp nguyên dương P như sau: Đặt P là tập con của G gồm tất cả các phần tử g = 1 thỏa mãn tính chất: Nếu n là số nguyên dương (duy nhất) sao cho g ∈ G (n) \G (n+1) thì lớp ghép trái gG (n+1) nằm trong P n . Dùng phản chứng, ta có thể kiểm tra được G\{1} là hợp rời của P và P −1 . Bây giờ, ta sẽ kiểm tra hai thuộc tính còn lại của P . Trước hết, P.P ⊆ P . Thật vậy, giả sử g, h là các phần tử của P , tức ta có g ∈ G (n) \G (n+1) , g G (n+1) ∈ P n , h ∈ G (m) \G (m+1) , hG (m+1) ∈ P m 10 [...]... còn lại i i i i Với D được xây dựng cùng với phép toán (+) và (.) thì theo Đònh lý 2.3.4 (trang 28) ta có D = K((G, Φ)) là một vành chia 31 Chương 3 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu Trong phần này, trên cơ sở của việc xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neuman, ta sẽ đưa ra một nội dung mới liên quan đến tính chất hữu hạn tâm của một vành chia Đó chính là vành chia hữu hạn đòa phương yếu Đây là nội dung... không đúng Một vành chia hữu hạn đòa phương yếu không nhất thiết là đại số trên tâm của nó Vì vậy, nội dung tiếp theo sau đây xin chỉ ra rằng, tồn tại vành hữu hạn đòa phương yếu mà không đại số Từø đó ta sẽ có lớp các vành hữu hạn đòa phương yếu mà ta sẽ làm rõ một số tính chất của chúng 3.2 Xây dựng vành chia hữu hạn đòa phương yếu Đònh lý 3.2.1 Tồn tại vành chia hữu hạn đòa phương yếu mà nó không... đại số trên F Vành chia D được gọi là đại số trên tâm F nếu mọi phần tử của D đều đại số trên F 32 Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số Đònh nghóa 3.1.4 Vành chia D được gọi là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mỗi tập con hữu hạn S của D, vành chia con sinh bởi S trong D là hữu hạn tâm Nhận xét 3.1.5 Dễ thấy rằng, một vành chia hữu hạn đòa phương là một vành chia hữu hạn đòa phương yếu Ngược... thể nhúng vào một vành chia Chứng minh Ta thấy vành tự do R xi : i ∈ I là vành con của vành nhóm R[G], ở đây G là nhóm tự do sinh bởi {xi } Theo Đònh lý 1.1.5 (Magnus-Witt) và Đònh lý 1.1.6 trang 10 thì G là nhóm thứ tự Do đó, theo Hệ quả 2.3.5 với ω là đồng cấu tầm thường ta thu được kết quả như mong muốn 28 Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số 2.4 Ví dụ về vành chia theo Mal'cev-Neumann n... Cho K là một vành chia Nếu H là một vành chia con của K bất biến dưới nhóm con G (tức G ⊂ NK (H)), với G là nhóm con á chuẩn tắc trong K ∗ và G Z(K) thì H ⊆ Z(K) hoặc H = K Đònh lý 1.2.9 Cho D là một vành chia và G là một nhóm con á chuẩn tắc của D∗ Khi đó, nếu G Z(D) thì CD (G) = Z(D) Chứng minh Vì vành chia con CD (G) bất biến dưới nhóm con G và G Z(D), hơn nữa CD (G) = D nên theo Đònh lý 1.2.8... (a)NF/K (b), ∀a, b ∈ F ii) NF/K (a) = an , ∀a ∈ F Chứng minh Điều này dễ dàng được suy ra từ đònh nghóa kết hợp với tính chất của đònh thức của toán tử tuyến tính 19 Chương 2 Vành chia theo Mal'cev-Neumann Để xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neumann, chúng ta cần kiến thức liên quan đến nhóm sắp thứ tự toàn phần (totally ordered) và luật W O (well-ordered) trên nhóm thứ tự Vì vậy, để tiện cho việc nghiên... α)g0 khả nghòch trong A Suy ra A = R((G, ω)) là vành chia Hệ quả 2.3.5 Cho R là một vành chia Với (G,