3 Vành chia hữu hạn địa phương yếu
3.3 Giả thuyết Herstein trên vành chia hữu hạn địa phương yếu
phương yếu
Định nghĩa 3.3.1. Cho K D là các vành chia. Phần tửx∈D được gọi làradical
trên K nếu tồn tại số nguyên dương n(x) phụ thuộc vào x sao cho xn(x) ∈ K. Tập con S của D được gọi là radical trên K nếu mọi phần tử của S đều là radical trên K.
Trong [7], I.N. Herstein đã đưa ra giả thuyết: Cho N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu N là radical trên tâm F của D thì N chứa trong F . Chính ông cũng đã chứng minh cho trường hợp đặc biệt khi N là một nhóm xoắn. Vấn đề cũng đã được kiểm nghiệm trong trường hợp hữu hạn chiều. Trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết đối với vành chia hữu hạn địa phương yếu.
Để làm rõ các giả thiết của Hertein đối với vành chia hữu hạn địa phương yếu, trước hết ta xây dựng bổ đề
Bổ đề 3.3.2. Nếu D là vành hữu hạn địa phương yếu thì Z(D0) là nhóm xoắn.
Chứng minh. Lấy x bất kỳ trong Z(D0), ta chứng minh tồn tại n để xn = 1. Thậy vậy, theo Mệnh đề 1.2.10 (trang 13), với D0 = [D, D] là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ nên Z(D0) = D0 ∩F. Vì x ∈Z(D0) = D0 ∩F nên tồn tại số nguyên dương n và các ai, bi ∈D∗(1 ≤ i ≤n) sao cho:
x= a1b1a−11b−11a2b2a2−1b−21. . . anbna−n1b−n1
Đặt S = {ai, bi : 1 ≤i ≤ n} và gọi L là vành con của D sinh bởi tập hữu hạn S. Do D là hữu hạn địa phương yếu nên L là hữu hạn tâm. Đặt n = [L :Z(L)]. Bởi
x ∈ F nên x giao hoán với các phần tử của S, tức x cũng sẽ giao hoán với các phần tử của L, suy ra x ∈ Z(L). Vậy thì sử dụng Định nghĩa 1.4.8 (trang 19) và Mệnh đề 1.4.9 (trang 19) ta có:
xn = NL/Z(L)(x) = N(a1b1a1−1b−11. . . anbna−n1b−n1)
=N(a1)N(a−11)N(b1)N(b−11). . . N(an)N(a−n1)N(bn)N(b−n1) = 1
(với N là viết tắt của NL/Z(L)).
Trong [7], Herstein đã đề cập đến hai định lý:
Định lí 1: Nếu mỗi giao hoán tử nhân aba−1b−1 của vành chia D đều là phần tử xoắn thì D giao hoán.
Định lý 2: Nếu D là không gian vector hữu hạn chiều trên tâm F của nó mà mỗi giao hoán tử nhân là radical trên F thì D cũng giao hoán.
Điều này cũng đúng cho vành chia hữu hạn địa phương yếu thông qua các định lý sau
Định lý 3.3.3. Cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F. Nếu mỗi giao hoán tử nhân trong D là radical trên F thì D giao hoán.
Chứng minh. Vận dụng giả thuyết của Hertein, ta chứng minh cho mỗi giao hoán tử nhân trong D là xoắn. Giả sử với bất kì a, b∈ D∗, từ giả thiết ta có aba−1b−1
là radical trên F, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n = nab phụ thuộc vào a và b
sao cho (aba−1b−1)n ∈F, theo Bổ đề 3.3.2 (trang 39) ta có aba−1b−1 là xoắn. Tiếp theo, định lý sau là khẳng định về giả thuyết của Hertein trong [7] đối với vành chia hữu hạn địa phương yếu.
Định lý 3.3.4. Với D là vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F, N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Khi đó, nếu N là radical trên F thì N chứa trong F.
Chứng minh. Xét nhóm con của D0 là N0 = [N, N]và lấy x ∈N0. VìN là radical trên F nên x là radical trên F, thế thì tồn tại số nguyên dương n phụ thuộc x
sao cho xn ∈ F. Do đó xn ∈ F ∩ D0. Theo Mệnh đề 1.2.10 (trang 13) ta có
Z(D0) = F ∩D0, nên xn ∈ Z(D0). Mặt khác Z(D0) là xoắn (theo Bổ đề 3.3.2), suy ra xn là xoắn, vậy hiển nhiên x là xoắn (xem định nghĩa nhóm xoắn và phần tử xoắn, chương 1). Mặt khác, Do N á chuẩn tắc trong D∗ nên N0 cũng á chuẩn tắc trong D∗. Do đó, theo [7], Định lý 8 ta có N0 ⊆F. Từ đây suy ra N giải được. Kết hợp với Định lý 1.2.12 (trang 14) cho ta N ⊆ F.
Trong giả thuyết của Hertein, nhóm con N phải thỏa mãn yêu cầu là radical trên tâm F của vành chia D. Điều này đặt ra vấn đề: Nếu N là radical trên một vành chia con thực sự K của D (mà không nhất thiết trên tâm F) thì kết quả sẽ như thế nào? Xét cho vành chia hữu hạn địa phương yếu, ta có kết quả thú vị. Tuy nhiên, trước hết ta cần bổ đề sau
Bổ đề 3.3.5. Cho D là một vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu với mỗi phần tử x, y ∈ N, tồn tại số nguyên dương nxy (phụ thuộc x, y) sao cho xnxyy =yxnxy thì N ⊆ F.
Chứng minh. Do N á chuẩn tắc trong D∗ nên tồn tại dãy các nhóm con
N = N1 C N2 C . . . CNr =D∗.
Giả sử x, y ∈N và gọi K là vành chia con của D sinh bởi x và y. Vì D là hữu hạn địa phương yếu nênK là hữu hạn tâm. ĐặtMi = K∩Ni với mọii ∈ {1,2, . . . , r}
(để ý Mi ≤ Ni và Mr = K ∩Nr = K ∩D∗ =K∗) ta thu được dãy các nhóm con
M1 C M2 C . . . CMr = K∗.
Điều này cho thấyM1 là á chuẩn tắc của K∗. Lấy bất kỳ a∈ M1 ≤N1 =N, từ giả thiết ta có thể giả sử rằng có hai số tự nhiênnax vànay sao cho anaxx= xanax và
anay = yanay. Thế nênanax =xanaxx−1 vàanay = yanayy−1 . Đặtn :=naxnay. Khi đó
an = (anax)nay = (xanaxx−1)nay =xanaxnayx−1 =xanx−1,
và
an = (anay)nax = (yanayy−1)nax = yanaynaxy−1 =yany−1
Vì thế anx = xan và any = yan, suy ra an ∈ Z(K), nghĩa là a là radical trên
tâm, tức M1 ∈Z(K). Trong trường hợp đặc biệt x, y ∈M1 nên chúng giao hoán với nhau. Điều này cho thấy N là nhóm Aben. Kết hợp với Định lý 1.2.12 (trang 14) ta được N ⊆ F.
Định lý 3.3.6. Giả sửD là vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F, K là vành con thực sự của D và N là nhóm con chuẩn tắc của D∗. Khi đó, nếuN là radical trên K thì N ⊆F.
Chứng minh. Dùng phản chứng. Giả sử N không nằm trong tâm F. Theo Định lý 1.2.8 (trang 13) ta có hoặc K ⊆F hoặc K =D. Vì K là nhóm con thực sự của
D nên phải có K ⊆ F. Mặt khác, nếu N\K = ∅, thì vì N là radical trên K nên
N ⊆ K. Khi đó N ⊆ F. Điều này trái với giả thiết. Vậy, ta có N\K 6= ∅. Tiếp theo, dùng Bổ đề 3.3.5, ta sẽ chứng minh rằng, N thỏa mãn giả thiết của Bổ đề này. Thật vậy, giả sử a, b∈ N. Xét các trường hợp sau:
F Trường hợp 1: Xét a ∈K. Có hai khả năng xảy ra:
- Khả năng 1: b /∈K.
Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho anb = ban. Dùng phản chứng, giả sử anb 6= ban với mọi số nguyên dương n. Từ đây phải có
a+b6= 0, a 6= ±1, b6= ±1. Vậy thì
x= (a+b)a(a+b)−1 ∈Nvày = (b+ 1)a(b+ 1)−1 ∈N
Vì N là radical trên K nên x và y cũng vậy. Do đó, tồn tại các số nguyên dương
mx và my sao cho xmx = (a+b)amx(a+b)−1, ymy = (b+ 1)amy(b+ 1)−1 ∈K Đặt m= mxmy, ta có xm = (a+b)am(a+b)−1, ym = (b+ 1)am(b+ 1)−1 ∈ K Mặt khác,ta có (xm−ym)b+xma−ym =xm(a+b)−ym(b+1) = (a+b)am−(b+1)am = am(a−1). Suy ra (xm−ym)b =am(a−1) +ym−xma.
Nếuxm−ym 6= 0thì b= (xm−ym)−1[am(a−1)+ym−xma] ∈K. Điều này mâu thuẫn với trường hợp đang xét là b /∈K. Do đó xm−ym = 0, tức xm = ym. Khi
đó 0 =am(a−1) +ym−yma, hiển nhiên ta được am(a−1) =ym(a−1). Nhưng vì a 6= 1 nên am = ym = (b+ 1)am(b+ 1)−1. Do vậy, am(b+ 1) = (b+ 1)am, suy ra amb= bam. Đây là một mâu thuẫn.
- Khả năng 2: b ∈K.
Vì N\K 6= ∅ nên có x ∈ N\K. Do đó x, xb /∈ K. Áp dụng Khả năng 1, suy ra tồn tại các số nguyên dương r, s sao cho ar(xb) = (xb)ar và asx =xas. Hai đẳng thức này cho ta ar = (xb)−1ar(xb) và as = x−1asx. Vậy thì
ars = (xb)−1ars(xb) =b−1(x−1arsx)b = b−1arsb
Nghĩa là arsb = bars. Điều này cũng mâu thuẫn.
F Trường hợp 2: Xét a /∈K.
Do N là radical trên K nên tồn tại số nguyên dương m sao cho am ∈ K. Theo Trường hợp 1, tồn tại số nguyên dương n sao cho (am)nb= b(am)n. Mâu thuẫn!
Tóm lại, luôn tồn tại số nguyên dương n để anb = ban, nghĩa là N thỏa các điều kiện của Bổ đề 3.3.5.
Kết luận
Luận văn đã làm rõ phương pháp xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neumann. Đồng thời, đưa ra ví dụ cụ thể về vành chia theo Mal'cev- Neumann khi xét vành chia
D = K((G,Φ)) trong đó G = Lni=1Z là tổng trược tiếp của vô hạn nhóm cộng các số nguyên Z và K = Q(√
p1,√
p2, . . .) là trường con của trường số thực R sinh bởi trường số hữu tỉ Q và {√p1,√
p2, . . .}, với p1, p2, . . . là các số nguyên tố. Trong luận văn cũng đã bước đầu nghiên cứu về vành chia hữu hạn địa phương yếu và chỉ ra tồn tại vành chia hữu hạn địa phương yếu mà nó không đại số thông qua xét vành chia D = K((G,Φ)). Hơn nữa, luận văn đã đưa ra một số kết luận về Giả thuyết Herstein đối với vành chia hữu hạn địa phương yếu. Hướng phát triển tiếp theo của luận văn trước hết là nghiên cứu giả thuyết Herstein thể hiện trong Định lý 3.3.6 với điều kiện khi N là á chuẩn tắc trong D∗, sau đó là tập trung vào phân tích thêm các tính chất của vành chia hữu hạn địa phương yếu và xét một vài nhóm cổ điển trên vành này.
A =R((G, ω)), 26 CG(X), 8 D∗, 11 NG(H), 9 NF /K(a), 19 R((G)), 27 R((G, ω)), 25 R[G, ω], 27 R∗G, 27 [H, K], 9 [r] <[s], 21 kG = X σ∈G kσ, 14 k((x;σ)), 16 k[[x;σ]], 15 k[x;σ], 15 (G, <), 20 Ác-si-mét, 20
bất biến dưới nhóm con, 13 Bậc của u trên K, 19 bậc của mở rộng, 16 Chuẩn của phần tử a, 19 chuẩn hóa tử, 9 chuẩn tắc, 8 giao hoán tử , 9 giao hoán tử cộng, 11 giao hoán tử nhân, 11 giá (supp), 31
hữu hạn sinh, 8 hữu hạn tâm, 32
hữu hạn địa phương, 32 hữu hạn địa phương yếu, 33 khả nghịch trong A, 28 Lie ideal, 12 lớp Ác-si-mét, 21 mở rộng hữu hạn, 16 mở rộng hữu hạn sinh, 16 mở rộng siêu việt, 18 mở rộng trường, 16 mở rộng vô hạn, 16 mở rộng đại số, 18 mở rộng đơn, 16 nhóm con á chuẩn tắc, 9 nhóm con chuẩn tắc, 8 nhóm con hoán tử, 9 nhóm con thực sự, 8 nhóm giải được, 9 nhóm không xoắn, 9
nhóm xoắn, 9 nhóm đơn, 8 nội dẫn xuất, 12 phần tử xoắn, 9 radical, 38 siêu việt, 18 tâm, 8 Tâm hóa tử, 8 tập sắp thứ tự tốt (WO), 22 Tháp nguyên dương, 9 thứ tự toàn phần, 20 tổng hình thức, 25 vành chia, 11
vành chia hữu hạn địa phương yếu, 32 vành nhóm, 14 vành nhóm , 14 vành theo Mal'cev-Neumann, 26 Định lý Cartan-Brauer-Hua, 11 Định lý Wedderburn, 11 đa thức bất khả quy, 19 đa thức trái, 15
đa thức đơn khởi, 18 đại số, 18
đại số trên F, 32 đạo nhóm thứ i, 9 điều kiện DCC, 22
[1] Bùi Xuân Hải, Trường và lý thuyết Galois (2010), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh.
[2] Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo, Đại số hiện đại (2002), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh.
[3] Bui Xuan Hai and Le Khac Huynh, On subgroups of the multiplicative group of a division ring, Vietnam Journal of Mathematics 32:1 (2004), 21-24.
[4] Bui Xuan Hai, Mai Hoang Bien, Trinh Thanh Deo, On linear groups over weakly locally finite division rings, Algebra Colloquium (accepted).
[5] N. Blackburn, B. Huppert, Finite groups II, GMW 242 (1982), Springer-Verlag. [6] P. Draxl, Skew fields, London Math. Soc., Lecture Note Series 81 (1983),
Cambridge
[7] I. N. Herstein, Multiplicative commutators in division rings, Israel Journal of Math. Vol. 31, No. 2 (1978), 180-188.
[8] T.Y. Lam, A First course in non-commutative rings, GTM 131 (1991), Springer-Verlag.
[9] Derek Robinson , A course in the Theory of Groups, 2nd Edition, GMT 80 (1996), Springer.