CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁCCÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁCCÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁCCÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁCCÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁCCÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

http://kinhhoa.violet.vn CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1.Công thức cộng: ( ) 1 . tga tgb tg a b tga tgb + + = − cos(a+b) = cosacosb - sinasinb cos(a-b) = cosacosb + sinasinb sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa ( ) 1 . tga tgb tg a b tga tgb − − = + Nhớ : cos thời cos cos, sin sin sin thời sin cos, cos sin là cùng tg tổng thì tổng tg ta phép chia của một trừ thừa tg ra Cụ thể : VT và VP ngược dấu VT và VP cùng dấu ( ) 1 . tg tg tg tg tg + + = − tg hiệu là hiệu tg ngươi phép chia của một cộng thừa tg vô ( ) 1 . tg tg tg tg tg − − = + http://k inhhoa.violet.vn http://kinhhoa.violet.vn cos cotg tg O + -1 -1 1 1 B AA’ B’ M P Q sin K α N E F β Vận dụng kiến thức đã học : ( ) . . .cos ;u v u v u v= r r r r r r . .u p i q j= + r r r 1i j= = r r ( ) ; 2ON OM k α β π = − + uuur uuuur j r i r 0 1 x y 1 ( ) 1;0i r ( ) 0;1j r ( ; )u p q= r 2 2 u p q= + r ( ) ;v a b= r . . .u v p a q b= + r r Xét M , N trên mp tọa độ Oxy : x y ( ) cos ;sinOM β β = uuuur ( ) cos ;sinON α β = uuur ( ) . . .cos ;OM ON OM ON OM ON= uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur http://kinhhoa.violet.vn ( ) cos cos sin sin 1. 1.cos 2k α β α β α β π + = − +     cos cos sin sin α β α β + = 2 2 2 2 cos sin . cos sin . α α β β + + ( ) cos 2k α β π − + ( ) cos cos sin sin cos α β α β α β + = − ( ) cos α β + = ( ) cos α β − − =    ( ) cos cos cos sin sin α β α β α β + = − ( ) ( ) cos cos sin sin α β α β − + − ( ) ( ) ( ) sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin tg α β α β β α α β α β α β α β + + + = = + − sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos α β β α α β α β α β α β α β α β + = − sin sin cos cos sin sin 1 . cos cos α β α β α β α β + = − 1 tg tg tg tg α β α β + = − ( ) 1 tg tg tg tg tg α β α β α β + + = − ( ) ( ) tg tg α β α β − = + − =    ( ) ( ) 1 tg tg tg tg α β α β + − = − − 1 tg tg tg tg α β α β − + http://kinhhoa.violet.vn Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tg Ví dụ : Tính cos15 0 và cotg 2 15 0 0 cos15 = ( ) 0 0 cos 45 30− = 0 0 0 0 cos45 cos30 sin 45 sin 30+ 2 0 2 0 sin 15 1 cos 15= − ( ) 2 4 2 2 6 2 8 4 2 2 2 1 1 1 4 16 4 4 − +   + + + = − = − = − =  ÷  ÷   2 0 2 2 sin 15 4 − = 0 2 2 2 2 sin15 4 2 − − = = 2 0 2 0 1 15 1 sin 15 cotg = − ( ) 4 2 2 1 4 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 − − + + = − = − = = = − − − − − Giải http://kinhhoa.violet.vn Ví dụ : Tính sin 8 π 2 2 cos cos sin 4 8 8 π π π = − 2 2 1 sin sin 8 8 π π   = − −  ÷   2 cos 1 2sin 4 8 π π = − 2 1 cos 2 2 4 sin 8 2 4 π π − − = = 2 2 sin 8 2 π − = cos cos cos sin sin 8 8 8 8 8 8 π π π π π π   + = −  ÷   Giải 0 8 2 π π   < <  ÷   http://kinhhoa.violet.vn 2. Công thức nhân đôi : sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos 2 α – sin 2 α = 2cos 2 α – 1 = 1 – 2sin 2 α 2 2 2 1 tg tg tg α α α = − Nhớ : sin cặp thì cặp sin cô cos hai lấy hiệu bình cô sin bình thêm hai cos bình trừ duy nhất duy nhất trừ đi hai sin bình tg nhị là nhị tg anh phép chia của một trừ bình tg thôi Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β) và tg(α+β). Cụ thể : cos 2 α = cos( ) α α + = cos cos sin sin α α α α − = 2 2 cos sin α α − sin 2 α = sin( ) α α + = sin cos sin cos α α α α + = 2sin cos α α 2 2 2 1 1 tg tg tg tg tg tg tg α α α α α α α + = = − − http://kinhhoa.violet.vn a. Hệ quả 1: 2 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 1 cos2 tg α α α α α α α + = − = − = + Các công thức sau đây cho phép tính cosα, sinα và tgα theo , 2 2 t tg k α α π π = ≠ + 2 2 2 2 2 sin 1 1 cos 1 2 1 t t t t t tg t α α α = + − = + = − Chứng minh : Chứng minh : Vận dụng các công thức nhân đôi ta được hệ qủa một. b. Hệ quả 2: cos bình không biết bằng chi ? mẫu hai, tử tổng một và cos hai Nhớ : http://kinhhoa.violet.vn sin 2sin cos 2 2 α α α = = 2 2 2sin cos 2 2 sin cos 2 2 α α α α = + 2 2 2 2 2 2sin cos 2 2 cos 2 sin cos 2 2 cos cos 2 2 α α α α α α α + 2 2 2sin cos 2 2 sin cos 2 2 α α α α = + 2 2 2 sin 1 2 tg tg α α α = + 2 2 sin 1 t t α = + 2 2 1 2 cos 1 2 tg tg α α α − = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin cos sin cos cos 2 2 2 2 2 2 cos cos sin 2 2 1 cos sin cos sin 2 2 2 2 cos cos 2 2 α α α α α α α α α α α α α α α α α − − − = − = = = + + 2 2 1 cos 1 t t α − = + Ta có : http://kinhhoa.violet.vn Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau : 2 5 cos 2 7sin x M x − = + 1 2 2 x tg = ( ) 2 2 5 1 sin 4 sin 2 7sin 2 7sin x x M x x − − + = = + + 2 2 1 2. 2 4 2 sin 1 5 1 1 2 t x t = = = +   +  ÷   2 4 4 58 5 4 95 2 7. 5 M   +  ÷   = = + Giải Áp dụng hệ qủa 2 : đặt 1 2 2 x t tg= = http://kinhhoa.violet.vn 3. Công thức biến đổi : a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác thành tổng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin sin cos cos 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β = − + − −     = + + −    = + + −     Nhớ : tích sin là tích nửa âm cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ Chứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng hoặc trừ vế theo vế. [...]...   5   5   π  4π sin  π − ÷ sin 1  4π 2π 2π  5  5 = = M = − sin + sin  sin ÷ π π  5 5 5  4 sin π 4 sin 4sin π 5 5 5 sin http://kinhhoa.violet.vn 5 =1 M= π 4 4sin 5 b Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác thành tích : Nhớ : cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos α +β α −β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin sin cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin 2 2 α +β α −β sin α +... khác http://kinhhoa.violet.vn ÷ = 2sin  2 α −β cos 2 Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau M = sinx – sin2x + sin3x Giải 3x + x 3x − x M = sin3x + sinx – sin2x = 2sin – sin2x cos 2 2 M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx) 2x + x 2x − x   M = 2 cos x  2 cos sin ÷ 2 2   x 3x M = 4sin cos x cos 2 2 Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150 Giải sin ( 750 − 150 ) sin 600 N=... = 0 0 cos 75 cos15 cos 750 cos150 http://kinhhoa.violet.vn 1 Vận dụng công thức : cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β )   2 Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả : 2sin 600 sin 600 = N= 1 0 0 0 0 cos 900 + cos 600 cos 75 + 15 + cos 75 − 15  2 ( ) ( ) 2sin 600 N= = 2tg 600 = 2 3 cos 600 Mở rộng cho các công thức sau : π π   i sin α + cos α = 2 sin  α + ÷ = 2 cos  α − ÷ 4... :CMR : Giải : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có: A+B+C=π A+B=π–C http://kinhhoa.violet.vn tg(A + B) = tg(π – C) tgA + tgB = −tgC 1 − tgA.tgB tgA + tgB = −tgC ( 1 − tgA.tgB ) tgA + tgB = −tgC + tgC tgA.tgB tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm) 4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi: sin B = 2 cos A (1) sin C Giải : (1) 1 sin B = 2sin C.cos A = 2 sin... = 2 sin ( C + A ) + sin ( C − A )   2 Mà : A + B + C = π C+A=π–B sin ( C + A ) = sin ( π − B ) = sin B sin ( C − A ) = 0 Do đó : sin B = sin B + sin ( C − A ) µ =C http://kinhhoa.violet.vn A µ Tam giác ABC cân tại B . dụng hệ qủa 2 : đặt 1 2 2 x t tg= = http://kinhhoa.violet.vn 3. Công thức biến đổi : a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác thành tổng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin sin cos cos 2 1 cos. http://kinhhoa.violet.vn CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 .Công thức cộng: ( ) 1 . tga tgb tg a b tga tgb + + = − cos(a+b) = cosacosb - sinasinb cos(a-b).  −  ÷   = = Giải sin 1 5 4 4sin 5 M π π = = http://kinhhoa.violet.vn b. Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác thành tích : cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2