Công thức biến đổi :a... Một vài cảm nghĩ:Để việc học được dễ dàng nên phần trình bày các công thức có bổ sung một số câu thơ.. Các thầy cô giáo hoặc các em học sinh có những câu thơ hay
Trang 1CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1.Công thức cộng:
tga tgb
tg a b
tga tgb
+ + =
−
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cos(a-b) = cosacosb +
sinasinb sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa
tga tgb
tg a b
tga tgb
−
− =
+
Nhớ :
cos thời cos cos, sin sin
sin thời sin cos, cos sin là cùng
tg tổng thì tổng tg ta phép chia của một trừ thừa tg ra
Cụ thể : VT và VP ngược dấu
VT và VP cùng dấu
( )
1
tg tg tg
tg tg
+ + =
−
tg hiệu là hiệu tg ngươi phép chia của một cộng thừa tg vô ( ) 1
tg tg tg
tg tg
−
− =
+
Trang 2cotg tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A A’
B’
M
P Q
sin
K
α
N
E
Vận dụng kiến thức đã học :
( )
u vr r = u vr r u vr r
.
u r = p i q j r + r
1
i = = j
( ON OMuuur uuuur; ) = − + α β k2 π
j
r
i
r
y
1
( )1;0
i
r
( ) 0;1
j
r
( ; )
ur = p q
ur = p + q
( ) ;
v r = a b
u v r r = p a q b +
Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :
x y
( cos ;sin )
OMuuuur = β β
( cos ;sin )
ONuuur = α β
OM ONuuuur uuur = OM ONuuuur uuur OM ONuuuur uuur
Trang 3( )
cos cos α β + sin sin α β = 1 1.cos α β − + k2 π
cos cos α β + sin sin α β = cos 2 α + sin 2 α cos 2 β + sin 2 β cos(α β − + k2 π )
cos cos α β + sin sin α β = cos α β − ( )
cos α β + = cos α − −( )β =
cos α β + = cos cos α β cos cos − sin sin α α ( )− + β β sin sin α ( )− β
( ) cossin( ( ) ) sin coscos cos sin cossin sin
α β
sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos
+
=
−
sin sin cos cos sin sin
cos cos
+
=
tg tg
tg tg
α β
+
=
−
tg
tg tg
α β
α β
+ + =
−
tg α β − = tg α + − β = ( )
( )
1
tg tg
=
tg tg
tg tg
α β
− +
Trang 4Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tg
Ví dụ : Tính cos150 và cotg2150
0
cos15 = cos 45( 0 −300 ) = cos 45 cos300 0 + sin 45 sin 300 0
sin 15 = − 1 cos 15
2
− +
sin 15
4
−
= sin150 = 2 −4 2 = 2 −2 2
1
sin 15
4
Giải
Trang 5Ví dụ : Tính sin
8 π
= − ÷−
2
4 sin
π
sin
Giải
0
π π
< <
Trang 62 Công thức nhân đôi :
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α – sin2α
= 2cos2α – 1
= 1 – 2sin2α
2
2 2
1
tg tg
tg
α α
α
=
−
Nhớ :
sin cặp thì cặp sin cô
cos hai lấy hiệu bình cô sin bình
thêm hai cos bình trừ duy nhất
duy nhất trừ đi hai sin bình
tg nhị là nhị tg anh phép chia của một trừ bình tg thôi
Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β)
và tg(α+β) Cụ thể :
cos 2α = cos(α α+ ) = cos cosα α −sin sinα α = cos2 α −sin2 α sin 2α = sin( α α + ) = sin cos α α + sin cos α α = 2sin cosα α
2
2 2
tg
α
+
Trang 7a Hệ quả 1:
2
2
2
1 cos 2 cos
2
1 cos 2 sin
2
1 cos 2
1 cos 2
tg
α α
α α
α α
α
+
=
−
=
−
=
+
Các công thức sau đây cho phép tính cosα, sinα và tgα
2
t tg= α α π ≠ + k π
2 2 2
2
2 sin
1 1 cos
1 2 1
t t t t t tg
t
α α α
=
+
−
=
+
=
−
Chứng minh :
Chứng minh :
Vận dụng các công thức nhân
đôi ta được hệ qủa một
b Hệ quả 2:
cos bình không biết bằng chi ?
mẫu hai, tử tổng một và cos hai
Nhớ :
Trang 8sin 2sin cos
2 2
α α
2sin cos
sin cos
α + α =
2
2 2
2 2
2sin cos
cos
2 sin cos
cos cos
α
α + α
2 2
2sin cos
2 2 sin cos
α + α =
2
2
2
sin
1
2
tg tg
α
2 sin
1
t t
α =
+
2
2
1
2
cos
1
2
tg tg
α
+
cos sin
cos sin cos sin cos cos
cos cos sin
cos cos
−
+
+
2 2
1 cos
1
t t
α = −
+
Ta có :
Trang 9Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :
2
5 cos
2 7sin
x M
x
−
=
+
1
x
5 1 sin 4 sin
2 7sin 2 7sin
M
2 2
1 2
sin
1
2
t x
t
+ ÷
2 4 4
58
5
2 7
5
M
+ ÷
+
Giải
x
t tg = =
Trang 103 Công thức biến đổi :
a Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác thành tổng :
1
2 1
2 1
2
= − + − −
= + + −
= + + −
Nhớ :
tích sin là tích nửa âm
cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ
hoặc trừ vế theo vế
Trang 11Ví dụ : Tính cos cos 2
3 2sin cos cos
5
M
π
=
3 2sin cos 2sin cos
5
π
4sin
5
4 sin sin
5 5
4sin 4sin
π
−
Giải
sin 1
5
4 4sin
5
M
π π
Trang 12b Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác
thành tích :
cos cos 2cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2cos sin
− = −
sin cos cos sin
cos cos
α β
α β
+
−
Nhớ : cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos
cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos
sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin
Cụ thể :
Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng, xuống giọng VT là hiệu
Ở VP đọc trước là tổng chia đôi, đọc sau là hiệu chia đôi
Trang 13Chứng minh :
sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb
{
Đặt :
α = a + b
β = a – b
2 2
a b
α β
α β
+
=
−
=
α β α β + − α β α β + − α β + α β −
sin sin 2sin cos
Áp dụng tương tự với các hàm khác
Trang 14Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau
M = sinx – sin2x + sin3x
x x+ x x−
=
Giải
M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx)
3 4sin cos cos
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150
Giải
( 0 0 ) 0
sin 75 15 sin 60 cos 75 cos15 cos 75 cos15
Trang 15Mở rộng cho các công thức sau :
α + α = α + ÷= α − ÷
i
ii
iii sin3α = 3sinα – 4sin3α
iv cos3α = 4cos3α – 3cosα
2
α β = α β + + α β −
Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả :
0
sin 60 1
2
0
2sin 60 cos 90 cos 60
=
+
0
0 0
2sin 60
cos 60
Trang 16Chứng minh :
sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α
= 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α sin3α = 3sinα – 4sin3α
Tương tự cho cos3α
VT = 2 2
2 ( sinα + cosα ) = 2 2 sin 2 cos
+
VT = π α + π α
π α
π α
Tương tự cho sinα - cosα
i
ii
iii
[
iv
Trang 17Bài tập củng cố :
1 Tính: A = sin100sin300sin500sin700
A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300
.cos10 sin 20 cos 20 cos 40
2
A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200)
A = sin100sin300 cos400cos200
.cos10 sin 40 cos 40
4
.cos10 sin 80
8
8
8
8
Giải :
Trang 182 Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800
B = (cos20 0 + cos160 0 ) + (cos40 0 + cos140 0 ) + (cos60 0 + cos120 0 ) + (cos80 0 + cos100 0 ) + cos180 0
B = [cos20 0 + cos(180 0 - 20 )] + [cos40 0 + cos(180 0 - 40 0 )] + [cos60 0 + cos(180 0 - 60 0 )] + [cos80 0 + cos(180 0 - 80 0 )] +cos180 0
B = (cos20 0 – cos20 0 ) + (cos40 0 – cos40 0 ) + (cos60 0 – cos60 0 ) +
(cos80 0 – cos80 0 ) + cos180 0
B = cos180 0 = cos(180 0 – 0 0 ) = – cos0 0 = -1
3.Ví dụ :CMR :
tgA tgB tgC tgA tgB tgC+ + =
Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:
tg(A + B) = tg(π – C)
Giải :
Giải :
Trang 19( )
tgA tgB+ = −tgC − tgA tgB
tgA tgB+ = −tgC tgC tgA tgB+
tgA tgB tgC tgA tgB tgC+ + =
tgA tgB
tgC tgA tgB
−
(đpcm)
4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi:
sin
2cos sin
B
A
C =
sin B = 2sin cosC A 2.1 sin ( ) sin ( )
sin C A+ = sin π − B = sin B
µA C= µ
(1)
Giải :
(1)
sin B = sin B + sin C A−
Do đó :
Tam giác ABC cân tại B
Trang 20Một vài cảm nghĩ:
Để việc học được dễ dàng nên phần trình bày các công thức có bổ sung một số câu thơ
Các thầy cô giáo hoặc các em học sinh có những câu thơ hay về nội dung công thức trong bài xin góp ý giùm
Mong nhận được góp ý !
Thầy Tuấn, KP5 -F Trung Mỹ Tây – Q.12 – TPHCM , Tel : 0939.889.444