TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊ

TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊ TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊTIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊTIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊTIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊTIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊTIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊTIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm A. Tóm tắt lý thuyết Cho   y f x    C . 1. Ti ếp tuyế n t ại một điểm Tiếp tuyến với   C tại     0 0 ; M x f x là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc   0 ' f x . Như vậy, phương trình tiếp tuyến với   C tại M là       0 0 0 : '    y f x x x f x . Ta cũng nói rằng:  tiếp xúc với   C hay   C tiếp xúc  hoặc  và   C tiếp xúc nhau. Δ O y x M x 0 ;f x 0 ( )( ) C( ) Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của   C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc   C và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc. 2. Tiếp tuyến qua một điểm Tiếp tuyến qua M của   C là tiếp tuyến với   C tại một điểm N nào đó. Chú ý rằng điểm M có thể thuộc   C hoặc không, trong trường hợp thuộc   C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không (xem các hình vẽ ở dưới). N M (C) M N (C) M≡N (C) BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho 2 2 1 3 1 x x y x       C . Viết phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm M có hoành độ bằng 1 . Giải. Ta có   2 2 2 3 4 1 ' 3 1 x x y x     . Lần lượt thay 1 x  vào các biểu thức của y và ' y , ta được   1 ' 1 8 y   và   1 1 4 y  . Suy ra phương trình tiếp tuyến với   C tại M là:   1 1 : 1 8 4 y x       1 3 : 8 8 y x     . Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu y và ' y thay cho f và ' f trong trường hợp bài toán chỉ đề cập đến một hàm số. Ví dụ 2. Cho 3 2 4 5 2 y x x x       C . Viết phương trình các tiếp tuyến của   C tại những giao điểm của   C với trục hoành. Giải. Từ phương trình của   C , cho 0 y  ta được: 3 2 4 5 2 0 x x x         2 2 1 0 x x     2 1 x x        . Suy ra   C có hai giao điểm với trục hoành là   1 2;0 M  và   2 1;0 M  . Từ 2 ' 3 8 5 y x x    suy ra   ' 2 1 y   ,   ' 1 0 y   . Do đó phương trình tiếp tuyến với   C tại các điểm 1 M , 2 M lần lượt là:   1 : 1. 2 0 y x      1 : 2 y x    ,   2 : 0. 1 0 y x      2 : 0 y   . Ví dụ 3. Cho 3 2 2 2 2 3 y x x x       C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của   C . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Giải. Ta có   0 ' 2 y x   2 0 0 2 2 2 2 x x     2 0 0 2 0 x x     0 0 1 2 x x       . Ta có   7 1 3 y   ,   2 2 3 y   . Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:   1 7 : 2 1 3 y x      1 13 : 2 3 y x    ,   2 2 : 2 2 3 y x      2 14 : 2 3 y x    . Ví dụ 4. Cho 3 2 3 12 5 y x x x       C . Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của   C . Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 x của   C là:     2 2 0 0 0 0 ' 3 6 12 3 1 15 15 k f x x x x           15 k   . Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi 0 1 x  . Do đó k nhỏ nhất bằng 15  , đạt được khi và chỉ khi 0 1 x  . Ta có   1 9 f   , suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của   C là:   : 15 1 9 y x       : 15 6 y x     . Ví dụ 5. [ĐHB08] Cho   3 2 4 6 1 y x x C    . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm   1; 9 M   của   C . Giải. Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ 0 x là:       0 0 0 : ' y y x x x f x          2 3 2 0 0 0 0 0 : 12 12 4 6 1 y x x x x x x        . Điều kiện  đi qua   1; 9 M   tương đương với     2 3 2 0 0 0 0 0 9 12 12 1 4 6 1 x x x x x          3 2 0 0 0 8 6 12 10 0 x x x      0 0 5 4 1 x x        . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4  0 5 4 x       0 0 15 ' 4 9 16 y x y x            15 5 9 : 4 4 16 y x            15 21 : 4 4 y x    .  0 1 x        0 0 ' 24 9 y x y x            : 24 1 9 y x      : 24 15 y x    . Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của   C là 15 21 : 4 4 y x    , : 24 15 y x    . Ví dụ 6. Cho   1 1 x y x x      C . Chứng minh qua điểm   1; 1 I   không tồn tại tiếp tuyến của   C . Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 x của   C       0 0 0 : ' y f x x x f x          0 0 2 0 0 1 2 : 1 1 x y x x x x         . Điều kiện  đi qua   1; 1 I   nghĩa là     0 0 2 0 0 1 2 1 1 1 1 x x x x           0 0 0 1 2 1 1 1 x x x        0 0 3 1 1 x x        0 0 0 1 3 1 0 x x x             0 x  . Vậy không tồn tại 0 x để  đi qua I . Nói cách khác qua I không tồn tại tiếp tuyến của   C . Ví dụ 7. Cho 2 4 3 6 y x mx      C . Tìm m để   C có tiếp tuyến đi qua   1; 2 A  . Giải. Phương trình tiếp tuyến với   C tại điểm có hoành độ 0 x là:       0 0 0 : ' y y x x x y x          2 0 0 0 0 : 8 3 4 3 6 y x m x x x mx        .   C có tiếp tuyến đi qua   1; 2 A  khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với 0 x :     2 0 0 0 0 2 8 3 1 4 3 6 x m x x mx        .   * BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 Ta có   *  2 0 0 4 8 3 8 0 x x m     ( ' 12 48 m    ). Do đó   * có nghiệm khi và chỉ khi ' 0    12 48 0 m    4 m   . Vậy   C có tiếp tuyến đi qua   1; 2 A  khi và chỉ khi 4 m   . Ví dụ 8. Cho 2 1 2 x y x      C . Tìm trên đường thẳng 3 x  các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của   C . Giải. Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ 0 x ( 0 2 x  ) là:       0 0 0 : ' y y x x x y x          0 0 2 0 0 2 1 5 : 2 2 x y x x x x         . Điểm A nằm trên đường thẳng 3 x   tọa độ A có dạng   3; A a . Qua A có tiếp tuyến tới   C khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với 0 x :     0 0 2 0 0 2 1 5 : 3 2 2 x a x x x         .   1 Ta thấy   1           2 0 0 0 0 0 0 2 5 3 2 1 2 2 0 2 0 a x x x x x x                          2 0 0 0 0 2 5 3 2 1 2 a x x x x             2 0 0 2 2 2 1 4 17 0 a x a x a       .   2 Trường hợp 1. 2 0 a    2 a  . Khi đó   2 trở thành BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 0 10 21 0 x     0 21 10 x  . Trong trường hợp này   2 có nghiệm    1 có nghiệm. Trường hợp 2. 2 0 a    2 a  . Khi đó   2 là phương trình bậc hai có 5 35 a      . Do đó, trong trường hợp này   1 có nghiệm khi và chỉ khi   2 có nghiệm, tức là 0     5 35 0 a     7 a  . Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là     3; 7 A a a  . Ví dụ 9. [ĐHD02] Cho     2 2 1 1 m x m y x x       C và : d y x  . Tìm m để   C tiếp xúc với d . Giải. Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ 0 x ( 0 1 x  ) là:       0 0 0 : ' y y x x x y x          2 2 0 0 0 0 2 1 1 : 1 1 m x m m y x x x x                   2 2 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 : 1 1 1 m x m m m y x x x x x                        .   C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại 0 x sao cho hai đường thẳng  và d trùng nhau. Tức là hệ sau đây có nghiệm đối với 0 x   2 0 2 2 0 0 0 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 m x m x m m x x x                              .   * Ta có BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7   *        2 0 2 0 0 0 1 1 1 1 2 1 0 2 1 m x m x m x x                       .   1  0 0 0 1 1 1 1 1 x x m x m                 0 0 0 1 2 x x m x m             .  1 m   2 1 m m       1 vô nghiệm    * vô nghiệm.  1 m  :   1  0 0 2 x m x m       . Thay 0 x m  vào vế trái của   2 ta có     2 2 1 2 0 1 m m m VT m m         0 x m  là một nghiệm của   *    * có nghiệm. Vậy   C tiếp xúc với d khi và chỉ khi 1 m  . Ví dụ 10. Cho 4 2 8 7 y x x      C . Tìm m để đường thẳng : 60 d y x m   tiếp xúc với   C . Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và   C . Giải Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ 0 x là:       0 0 0 : ' y y x x x y x            0 0 0 0 : ' ' y y x x x y x y x     .   C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại 0 x sao cho  và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ sau đây có nghiệm đối với 0 x       0 0 0 0 ' 60 ' y x x y x y x m                  0 0 0 ' 60 1 60 2 y x m x y x         . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8   1  3 0 0 4 16 60 x x    0 3 x  . Thay 0 3 x  vào   2 ta có 164 m   . Vậy d tiếp xúc với   C khi và chỉ khi 164 m   . Khi đó hoành độ tiếp điểm là 0 3 x  . C. Bài tập Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của   C biết rằng 1)   C là đồ thị hàm số 4 2 2 3 y x x    và hoành độ tiếp điểm bằng 2 . 2)   C là đồ thị hàm số 2 3 4 1 x x y x     và tiếp điểm là giao điểm của   C với trục tung. 3)   C là đồ thị hàm số 3 2 2 3 5 y x x    và tiếp tuyến đi qua 19 ;4 12 A       . Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của   C biết 1)   C là đồ thị hàm số 3 2 3 5 1 y x x x     , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 2)   C là đồ thị hàm số 3 2 1 5 2 3 y x x x      , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. 3)   C là đồ thị hàm số 5 4 5 y x x   , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 4)   C là đồ thị hàm số 5 2 10 y x x    , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. Bài 3. Cho 3 2 1 1 3 y x mx x m        C . Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là 10  . Viết phương trình các tiếp tuyến đó. Bài 4. Cho 3 2 2 3 12 1 y x x x       C . Tìm những điểm thuộc   C mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ. Bài 5. Cho 1 x y x     C . Chứng minh rằng qua   1;1 I của   C , không tồn tại tiếp tuyến nào của   C . Bài 6. Tìm m sao cho đồ thị hàm số 1 x m y x m     có tiếp tuyến đi qua điểm   0; 2 A  . D. Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 1) 24 43 y x   . 2) 7 4 y x   . 3) 12 15 y x   , 645 21 32 128 y x    , 4 y  . Bài 2. 1) 2 2 y x   . 2) 7 3 6 y x   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 3) Hướng dẫn:     4 3 3 0 0 0 0 0 ' 5 20 5 4 f x x x x x     .   0 ' f x min  0 4 0 x    . Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương 0 x  , 0 x  , 0 x  , 0 3 12 x  ta có:              4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 12 3 12 81 4 x x x x x x x x                       0 ' 135 f x   , dấu “  ” xảy ra  0 3 x   .  phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của   C là : 135 243 d y x    . 4) : 15 6 d y x   . Bài 3. Hướng dẫn: ta có   2 2 2 2 ' 2 1 1 1 y x mx x m m m           . Dấu “  ” xảy ra  x m  . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng m và hệ số góc của tiếp tuyến này là 2 1 m   . Ta có 2 1 10 m      3 m   . Với 3 m  , tiếp tuyến cần tìm là 1 : 10 11 d y x    . Với 3 m   , tiếp tuyến cần tìm là 2 : 10 13 d y x    . Bài 4.   1;12 M  . Bài 6. 2 1 3 m   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến A. Tóm tắt lý thuyết Phần này sử dụng một số kiến thức sau: 1. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc Cho 1 1 1 : y k x m    và 2 2 2 : y k x m    . Ta có:  1 2     1 2 1 2 k k m m      ;  1 2     1 2 1 2 k k m m      ;  1 2     1 2 1 k k   ;  Cho   0 ;90     , ta có 1  tạo với 2  góc   1 2 1 2 tan 1 k k k k     ; Đặc biệt nếu 2 0 k  thì: 1  tạo với 2  góc   1 tan k   . 2. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Cho điểm   0 0 ; M x y và đường thẳng : 0 ax by c     ( 2 2 0 a b   ). Ta có công thức tính khoảng cách từ M đến  :   0 0 2 2 ; ax by c d M a b      . 3. Giao điểm của hai đường thẳng Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng. [...]... Bài 7 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là y   x  2 3 5 Bài 8 Các tiếp tuyến thõa mãn u cầu bài tốn là y   x  , y   x  2 2 Bài 9 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là y   x  4 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC Loại 3 Điều kiện tiếp xúc A... Cho y  f  x   C  và  C '  C  và y  g  x  C ' tiếp xúc với nhau tại điểm M  x0 ; y0  nếu cả hai điều kiện sau đây thỏa mãn: y0  M là một điểm chung của  C  và  C '  ;  Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau M O x0 Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho 2 Điều kiện tiếp xúc Để xét sự tiếp xúc của hai ĐTHS y  f  x  x Hình 1 C  và y  g  x   C '... THI VÀO ĐẠI HỌC Bài 9 Cho f  x   2x x 2  C  Viết PTTT của  C  TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB  OA 2 D Hướng dẫn và đáp số Bài 1 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là y   x  2 2  5 , y   x  2 2  5 2) Chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là: y  4 x  7 3) Có bốn tiếp tuyến. .. 1x2x và tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4 x  y  1  0 2 1 1 3)  C  là ĐTHS y  1 x3  2 x 2  2 x  1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x  3 y  1  0 góc 2 45 2 Bài 2 Tìm tất cả các điểm trên đồ thị  C  của hàm số y  1 x3  x  3 mà tiếp tuyến tại đó vng 3 góc với đường thẳng d : y   1 x  2 3 3 Bài 3 Cho y  mx 4   1  2m  x 2  3 2  Cm  Tìm m để tiếp tuyến của ... 27 3 3 8 Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của  C  là: y  x ,  : y  x  64 , y   x , y   x  27 27 1 Ví dụ 4 Cho f  x   mx 4   3m  24  x 2  2  Cm  Gọi A và B lần lượt là các điểm có hồnh độ bằng 1 và 2 của  Cm  Tìm m để các tiếp tuyến của  Cm  tại A và B vng góc với nhau 1 Giải Ta có f '  x   4mx 3   6m  12  x  hệ số góc các tiếp tuyến của  Cm  tại A và B lần lượt... Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là: y  3x  1 , y  3 x  5 , y   1 x  1 , 3 3 5 y  1 x 3 3 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC Ví dụ 6 Cho f  x   3 2 x x 1 TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC  C  Viết PTTT của  C  biết tiếp tuyến cách đều các điểm A  7; 6  và B  3;10  Giải PTTT của  C ... phương trình các tiếp tuyến cách đều A và B của  C  là: y   5 x  7 , y  5 x  17 4 4 Ví dụ 7 Cho f  x   2 x 1 x 1  C  Tìm tọa độ điểm M   C  sao cho khoảng cách từ điểm I 1; 2  tới tiếp tuyến của  C  tại M đạt giá trị lớn nhất THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC Giải Giả...    f ' x  g ' x   * Ta có:   C  và  C '  tiếp xúc nhau  hệ  * có nghiệm đối với x ;  Nghiệm của  * chính là hồnh độ tiếp điểm;  x0 là hồnh độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung của  C  và  C '  tại điểm có hồnh độ x0 là: y  f '  x0  x  x0   f  x0  Hệ quả Đường thẳng y  kx  m là tiếp tuyến của ĐTHS y  f  x  C  khi và chỉ khi hệ  f  x   kx  m  có nghiệm đối... Vậy tiếp tuyến tại M của  Cm  song song với đường thẳng d  m  4 Ví dụ 3 Cho y  2 x3  4 x 2  x  C  Viết phương trình các tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 Giải Hệ số góc của tiếp tuyến  tại điểm có hồnh độ x0 của C  là: 2 k  f '  x0   6 x0  8 x0  1 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO... HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC Ví dụ 1 [SGKNC] Cho y  x3  5 x  2  C  và y  x 2  x  2  C '  Chứng minh  C  và  C '  4 tiếp xúc nhau và viết PTTT chung Giải Ký hiệu f  x   x 3  5 x  2 và g  x   x 2  x  2 Xét hệ: 4  f  x  g  x    f ' x  g ' x  Ta có  I  I  . GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC Loại 1. Tiếp tuyến tại. Khi nói đến tiếp tuyến của   C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc   C và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc. 2. Tiếp tuyến qua một điểm Tiếp tuyến qua M của   C là tiếp tuyến với. Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng m và hệ số góc của tiếp tuyến này là 2 1 m   . Ta có 2 1 10 m      3 m   . Với 3 m  , tiếp