NHÓM QP

Nhóm aben là hợp chất có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học và kĩ thuật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHẠM MỸ HẠNH NHÓM Q P LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI THÀNH PHỐ CẦN THƠ 11/2009 ợ t ỗ ố ừ ỵ tt õ tr ởt t rt t ồ õ ự t tr số trữợ ỵ tt õ r ớ t s s r sỷ ử õ t tự õ tr ự ữỡ tr số ừ r r r rr ss s r rst s ỳ tt ỳ tr ỵ tt õ t r ỵ tt õ ụ ữủ t tứ ồ ỳ t tứ ỵ tt số ố t ỵ tt õ ữủ t ữ ởt ở ừ số ỳ ữớ õ ổ tr ỹ r r rs rr t ừ số ữủ ỹ tứ õ õ t q ợ õ õ sỹ t tr ừ ởt q trồ tr t ồ ỵ tt õ ởt t tr tr số õ ự ử tr t ồ ỵ tt t ồ ỡ ồ ữủ tỷ ồ ỡ t ỡ ừ ỵ tt õ t tt tố õ ợ sỹ ởt ự ờ tr õ r tỹ t t t tố õ ổ t t ỵ tt õ t tử ữủ ự t tr t ố ợ ợ õ ổ ừ ữủ t ồ tr t ợ ự t ú tổ ồ t õ Q p ởt ử õ ổ t ởt số t t q trồ ừ ợ õ r ú tổ tr ữỡ s ữỡ r ữỡ ú tổ tr ởt số t t ừ ởt số õ q tở ữ õ ữỡ õ õ ổ õ ữủ õ t tỵ ỡ t tỵ ỡ s ữỡ ữỡ ố ợ ữỡ ú tổ t trồ t ự t t ừ õ Q p ởt ử õ ổ ỗ tớ ợ t sỡ ữủ ử rở ừ õ õ õ ữủ ữ s ợ B = Q p ì {0} C = {0} ì Q q D = 1/r, 1/r tớ õ ú tổ ổ s ỡ t t ừ rở ừ õ Q p ụ ữ ữ tr ữủ ự ử ừ õ tr ởt số ỹ ồ tt ũ t õ ố ữ ợ sỹ t tự õ ỏ s sõt ữủ sỹ tổ ỳ ỵ qỵ ừ qỵ t ổ ữủ ỡ t ỡ ỡ t P ớ t tr trồ ỡ ũ t t tổ tr sốt tớ q t tr q tr tỹ tr trồ ỷ ớ ỡ qỵ ổ tở ồ rữớ ồ ồ ỹ P ỗ ũ ợ qỵ ổ ở ổ ồ rữớ ồ ỡ t t tr ỳ tự qỵ tổ tr sốt tớ ồ t tr trồ ỡ qỵ ổ ồ õ õ ỵ ờ tr trồ ỡ Pỏ t ồ rữớ ồ ỡ t ồ t ủ tổ tt ữỡ tr ồ t ũ tr trồ ỡ ỗ ở ộ trủ tổ tr sốt tớ tổ t ồ ữỡ tr ồ rữớ ồ ỡ P ử ử tự õ õ tỹ õ tỹ õ ữợ t s ỗ t tự õ õ ổ õ õ õ ữỡ õ ổ t ữủ õ ữủ õ t tú õ ỡ t tú trỹ t õ t ữ ỳ õ õ õ Q p rở ừ õ õ Q p rở ừ õ Q p ệ ệ ị N Z Q R ủ số tỹ số số ỳ t số tỹ H A õ t ừ õ Kerf ừ ỗ Imf ừ ỗ G = H õ ợ õ S õ s t ừ õ H G õ ừ P số tố P tỷ ữợ ừ t õ ừ A ì B trỹ t ừ õ A B ờ trỹ t ừ õ G[p] {x G|p m x = 0, m N} Z(p ) õ Prr Q p { a p n | a p n Q, n Z} ợ ởt số tố trữợ Q p { a b | a b Q, (b, p) = 1, p P } ữỡ tự õ õ ợ õ õ ự ử tr ồ tt ởt số õ tữớ ữ õ số ợ t ở Z õ số ỳ t ợ t ở Q õ số ỳ t ổ ợ t Q õ số tỹ ợ t ở R õ ở tr số tỹ (M n (R), +) õ õ t ữủ t t ợ ợ tự t ợ õ trs r tự ồ tỷ ừ õ õ ỳ ử (Z(2), +) õ ợ tự ợ õ ổ trs r rs õ õ ổ õ tỷ ừ õ trứ tỷ ỡ õ ỳ ử õ ở số Z õ ở số ỳ t Q ố ũ ợ ỗ õ õ ỳ tỷ ổ t tữớ õ ỳ ỳ tỷ õ ổ ỳ õ ồ õ ộ ủ r ử õ Z 2 Z õ số tỹ ổ ồ tỷ tỷ ừ õ õ ổ ố ợ õ tở ợ tự t ợ tự õ t t ữ s õ ừ tỷ trỹ t ừ õ t ợ õ ộ ủ t ợ õ ữ s ởt õ ộ ủ õ t õ t t õ t ữủ stt õ ổ t ữủ stt r tý tở õ ừ õ tỷ trỹ t ừ ổ ố ợ ợ õ t ữủ r t t t t ừ t t t ừ t t s t ữủ t t ừ A = t(A) ì (A/t(A)) ợ t õ ự tt tỷ ừ õ ổ õ t t ỡ s ợ t t ừ t t õ ổ t ữủ t ổ tỷ trỹ t ừ õ õ s õ t t ỡ s ợ t t ừ t t ố ợ ợ ừ õ tr ự ữớ t ú ỵ õ õ ổ õ ổ t ữủ ì t ộ õ t ữủ t ữủ õ t ữủ ữợ A = t(A) F õ t ỗ ừ A/t(A) = F t t õ t ú tr A/t(A) = F õ ổ t õ ổ õ ởt tỷ trỹ t ổ ổ t tữớ ởt õ t ụ ữủ ồ ởt õ sỡ ởt õ ỳ ợ ộ ữợ tố ừ t G p = {x G|p m x = 0, m N}. õ G p ởt õ ừ ỡ ỳ õ G p ữ tr ữủ ồ t sỡ ừ r ồ õ ỳ ữủ ồ õ sỡ ử õ ở Z 9 số õ sỡ ừ tỷ ừ Z 9 tứ ừ số tố ồ õ ỳ tờ trỹ t ừ t sỡ tự G = p G p ỵ ởt õ t ý õ t t ởt t t tờ trỹ t ừ õ sỡ t số tố ự sỷ ởt õ t ý ỵ t tt tỷ ừ õ tứ ởt số tố q A p õ tt õ A p ừ t số tố t t ởt tờ trỹ t tr õ t ởt tỷ tý ỵ ừ õ n = p 1 1 p 2 2 p k k t x = x 1 x 2 x r , x i A p õ ộ tỷ ừ ữủ ự tr tờ trỹ t ừ tt õ sỡ tr A = p A p ờ õ A G õ s tữỡ ữỡ tỷ trỹ t ừ ỗ t õ B G A B = 0 A + B = G ỗ t õ B G ộ tỷ g G õ t ữợ ợ a A, b B ỗ t ỗ s : G/A G t s = 1 G/A ợ : G G/A ỗ tỹ ỗ t : G A tọ (a) = a, a A ĩ ự s r s r ữủ t s ự s r tỷ trỹ t ừ t t tỗ t õ ừ õ A B = 0, A + B = G s r ợ ồ ộ tỷ g G õ ữợ ợ a A b B s ự sỹ t ợ a A, b B õ a a = b b A B = 0 r sỹ ừ t s r t ộ tỷ g G õ t ữợ ợ a A b B t : G A t (a) = a, a A tr ữủ ởt ỗ s r tỗ t õ B G ộ tỷ g G õ t ữợ ợ a A, b B t ỗ : G G/A ỗ tỹ t g G, (g) = g + A = a + b + A = b + A ợ a A, b B r tỗ t ỗ s : G/A G t s õ s = 1 G/A s r t tỗ t ỗ s : G/A G t s = 1 G/A ợ : G G/A ỗ tỹ t õ t ừ ỡ t ỏ tỷ trỹ t ừ s r t ỗ : G G tọ (a) = a, a A (x) = 0 ổ tở õ G = A ker | A = ỗ tớ t ker = ker tỷ trỹ t ừ õ tỹ ởt õ ữủ ồ õ tỹ r r õ tờ trỹ t ừ õ ổ tỗ t t X F tỷ õ ổ ữủ ồ ỡ s ừ ợ F = xX x F = Z ởt ỡ s ừ ởt õ tỹ t ợ ộ u F tỗ t t ởt u = hh m x x ợ x X, m x Z X = t F = {0} õ {0} ụ ữủ ồ õ tỹ ợ ỡ s t rộ r ỡ s ừ ởt õ tỹ ởt t ở t t ử õ ở số Z õ tỹ õ G = Z Z õ tỹ G = {(a, b)|a, b Z} ì t ồ õ tỹ õ ổ ồ õ ổ ỳ s õ tỹ õ Q ổ õ tỹ Q ổ ợ õ Z ỵ ồ ởt õ tỹ ợ ỡ s ởt õ t ý sỷ f : X G ởt tũ ỵ õ tỗ t t ởt ỗ : F G rở ừ t (x) = f(x), x X ự u F ởt ỡ s ừ õ tỹ ợ ộ u F õ t ữợ u = m x x tứ õ : u m x f(u) ởt ữủ tốt tr ữủ ởt ỗ rở ừ t = f t ừ ữủ ỗ tr ũ ởt t tỷ s ố õ tỗ t t ỗ : F G rở ừ f : X G tọ (x) = f(x), x X ờ ộ õ õ tữỡ ừ ởt õ tỹ ởt õ t ý ổ ợ õ tữỡ ừ ởt õ tỹ ự ồ tờ trỹ t ừ t Z F = |G| Z ồ x g tỷ s ừ t tự ừ Z tr tờ trỹ t ợ g G õ õ tỹ ợ ỡ s X = {x g |g G} f : X G f(x g ) = g ợ ồ g G ỵ tỗ t ỗ : F G rở ừ ừ t ởt t t õ G = F/ker t ỵ tự t t ợ ởt t ủ t ý trữợ ổ ỹ ữủ ởt õ tỹ ỡ s sỷ õ tỹ ợ ỡ s tữỡ ự õ F = F |X| = |X | õ tỹ ởt t ủ rộ ồ t tọ X Y = õ tỗ t s : X Y, x X t x 1 = (x) õ Y = (X) = {x 1 |x X} : X 1 ộ tỷ ừ X X 1 ữủ ồ ởt ỳ tr ỳ ởt tứ tr ỳ ởt ỳ õ w = x 1 1 .x 2 2 .x n n , x i X, i {1, 1} ĩ r t ủ tứ t q ổ w u õ t ữủ tứ q ởt số ỳ ữợ tỹ t ợt tứ x x ợ x X, {1, 1} tr q tữỡ ữỡ tr t tt tứ ồ ợ tữỡ ữỡ ự tứ ởt tứ ữủ ồ rút ồ ữủ õ ự tứ x x ợ x X, {1, 1} ứ ổ rút ồ ữủ ồ tứ rút ồ ồ tứ tữỡ ữỡ ợ tứ rút ồ [w] r rút ồ ừ ồ t ủ tt tứ rút ồ tứ ổ ự ỳ e = [] r tỷ ỡ ừ w = x 1 1 .x 2 2 .x n n , x i X, i {1, 1} t w 1 = x 1 1 .x 2 2 .x n n , x i X, i {1, 1} [w] 1 r = [w 1 ] r õ ởt õ ợ t ữủ [w] r [u] r = [wu] r t ủ rộ õ õ ữủ ồ õ tỹ r r ợ ỡ s ử õ số ợ t ở õ tỹ t õ tỹ ổ õ tỹ trứ trữớ ủ õ t tữớ õ ổ õ ổ õ tỹ õ tỹ ợ õ tỹ ợ tỷ ừ ỡ s sỷ w = x 1 1 .x 2 2 .x n n , x i X, i {1, 1} tứ rút ồ õ tứ rút ồ t x n = x 1 x n = x 1 = a t n = 1 ờ ồ tứ rút ồ õ t t ữợ w = uvu 1 tr õ tứ rút ồ t q tứ rút ồ õ w = e t w n = e, n 1 w = u t w m = u m , m 1 ự ờ t ồ tứ rút ồ õ t t ữợ w = uvu 1 tr õ tứ rút ồ t v = e õ n 1 t w n = (uvu 1 ) n = uv n u 1 t v = e w n = e tt r w = e u = e t w = rvr 1 u = sts 1 ợ t tứ rút ồ t w m = rv m r 1 u m = st m s 1 r = s t w m = u m r s t v = t w = u s r v m = t m õ w m = u m , m 1 [...]... (R, + ) Vẵ dử: Nhõm Qp = {a/b|a/b Q, (b, p) = 1} l nhõm q-chia ữủc vợi mồi số nguyản tố q = p Thêt vêy, ta s chựng minh qQp = Qp , tứ õ suy ra Qp l nhõm q-chia ữủc Gồi a/b Qp Suy ra, (b, p) = 1, những p v q l hai số nguyản tố cũng nhau, nản p phÊi nguyản tố cũng nhau vợi bq Do õ, a/bq Qp Vẳ q(a/bq) = a/b a/b qQp , nản Qp qQp Chiãu ngữủc lÔi hin nhiản Do õ Qp = qQp Vêy Qp l nhõm q-chia ữủc... õ l nhõm Qp gỗm cĂc số hỳu t cõ dÔng n vợi a p l số nguyản, p l mởt số nguyản tố v n Z Qua viằc khÊo sĂt cĂc tẵnh chĐt cừa nhõm Qp ta s suy ra ữủc cĂc tẵnh chĐt cừa nhõm cĂc số hỳu t nh nguyản nhữ l mởt trữớng hủp riảng cừa nhõm ny ựng vợi giĂ tr p = 2 v n N Sau Ơy, chúng tổi trẳnh by cử th cĂc tẵnh chĐt cừa nhõm Qp 2.1 Nhõm Qp nh nghắa 2.1.1 Cho p l mởt số nguyản tố, khi õ nhõm Qp ữủc nh... hiu n l phƠn số rút gồn v a s pn p p thuởc têp hủp số nguyản Z, do õ nhõm Q s xĂc nh tữỡng ựng vợi số nguyản tố p Ơy l nhõm ữủc nh nghắa vợi php toĂn trong nhõm l php cởng hai phƯn tỷ thuởc Qp nhữ sau: Qp = { 35 ... nhõm hopf khổng phÊi nhõm cohopf trứ khi nhõm õ hỳu hÔn Thêt vêy, do (Q, + ) v cĂc nhõm con cừa nõ l nhõm hopf, suy ra (Z, + ) l nhõm hopf Tuy nhiản, (Z, +) khổng l nhõm cohopf, vẳ 2 Z = Chữỡng 2 Nhõm Qp v m rởng cừa nhõm ny Nhõm cĂc số hỳu t vợi php toĂn cởng (Q, + ) l mởt vẵ dử in hẳnh v quen thuởc cừa lợp nhõm aben vổ hÔn Nhõm (Q, + ) cõ nhiãu nhõm con trong õ cõ ba loÔi: LoÔi thự nhĐt l têp hủp