ành ngh¾a 1.11.1. Nhâm ìn l nhâm khæng chùa c¡c nhâm con chu©n tc thüc sü.
ành lþ 1.11.2. Nhâm aben A l nhâm ìn n¸u v ch¿ n¸u nâ l nhâm húu h¤n v câ c§p l sè nguy¶n tè.
Chùng minh
N¸u A câ c§p nguy¶n tè p th¼ theo ành lþ Lagrange b§t ký nhâm con H cõa A th¼ c§p cõa H ph£i l ÷îc cõa c§p cõa A, suy ra c§p cõa H ph£i b¬ng 1 ho°c b¬ng p. Do â, H ph£i l {0}, hay H = A. Ta câ {0} v A l hai nhâm con chu©n tc t¦m th÷íng cõa A. Vªy A tho£ ành ngh¾a nhâm ìn.
Ng÷ñc l¤i gi£ sû A l nhâm ìn, suy ra A khæng chùa c¡c nhâm con chu©n tc thüc sü. N¸u H l nhâm con chu©n tc cõa A th¼ H = {0}, ho°c H = A. Do â
A ∼=H⊕A/H. Vªy A húu h¤n v câ c§p nguy¶n tè.
ành ngh¾a 1.11.3. Nhâm aben A ÷ñc gåi l ìn thu¦n tuþ (pure simple group) n¸u A ch¿ câ duy nh§t hai nhâm con thu¦n tóy l {0} v A.
1.12. TCH TRÜC TIP 31 1.12 T½ch trüc ti¸p
Möc n y s³ tr¼nh b y tâm tt c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t v· t½ch trüc ti¸p cõa mët hå nhâm (Theo Micheal Weinstein. Trang 18 - 20).
ành ngh¾a 1.12.1. X²t tªp {Ai}i∈I, khi â Q
i∈IAi ÷ñc gåi l t½ch trüc ti¸p cõa
{Ai}i∈I. Khi â,πi :Q
i∈IAi −→Akl ph²p chi¸u to¤ ë thù k khi v ch¿ khiπk(a1, a2, ..., ak, ...) =
ak, vîi ak∈Ak. Hìn núa, πk l to n c§u. ành lþ 1.12.2. X²t tªp {Ai}i∈I khi â:
- N¸u {Ai}i∈I l hå c¡c nhâm aben, th¼ t½ch trüc ti¸p Q
i∈IAi l nhâm aben. - N¸u {Ai}i∈I l hå c¡c nhâm aben rót gån, th¼ t½ch trüc ti¸p Q
i∈IAi l nhâm rót gån.
- N¸u {Ai}i∈I l hå c¡c nhâm chia ÷ñc, th¼ t½ch trüc ti¸p Q
i∈IAi l nhâm chia ÷ñc.
- N¸u {Ai}i∈I l hå c¡c nhâm khæng xon, th¼ t½ch trüc ti¸p Q
i∈IAi l nhâm khæng xon.
- N¸u {Ai}i∈I l mët hå nhâm v n l sè tü nhi¶n. Khi â, (Q
i∈IAi)(n) ⊆Q i∈IAni. Gi£ sûG=Q i∈IAi v J ⊆I. Kþ hi»u: DG(J) = {f ∈G|f(i) = 1,∀i∈I\J}. ành lþ 1.12.3. Gi£ sû G=Q i∈IAi v J ⊆I. Khi â: a) DG(J)G. b) DG(J) ¯ng c§u vîi Q j∈JAj. c) G = DG(J)⊕DG(I\J).
Bê · 1.12.4. N¸u {Ai}i∈I l hå c¡c nhâm v G=Q
i∈IAi, gåi j ∈J, khi â: a) DG(I \ {j}) =kerπj.
b) Aj ∼=D
G(I\ {j}).
c) Aj ¯ng c§u vîi h¤ng tû trüc ti¸p cõa G.
ành lþ 1.12.5. Cho G l mët nhâm, n¸u σ l mët hå c¡c nhâm con chu©n tc cõa G, th¼ G/∩σ câ thº nhóng v o Q
E∈σG/E. 1.13 Nhâm th°ng d÷ húu h¤n
ành ngh¾a 1.13.1. Cho H l mët lîp c¡c nhâm v gåi A l mët nhâm. Khi â, A ÷ñc gåi l th°ng d÷ (residue) cõa H n¸u v ch¿ n¸u A câ thº ÷ñc nhóng v o t½ch trüc ti¸p Q (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
i∈IBi vîi méi Bi ∈ H, vîi i∈I.
Theo lþ thuy¸t nhâm, nhâm G ÷ñc gåi l th°ng d÷ húu h¤n (residually finite) n¸u méi ph¦n tû khæng t¦m th÷íng g ∈Gcâ mët çng c§u h tø G ¸n mët nhâm húu h¤n, tho£ h(g)6= 1.
Câ nhúng ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng sau:
- Mët nhâm l nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n n¸u vîi méi ph¦n tû kh¡c ìn và trong nhâm tçn t¤i mët nhâm con chu©n tc c§p húu h¤n khæng chùa ph¦n tû n y. - Mët nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n n¸u v ch¿ n¸u ph¦n giao cõa t§t c£ c¡c nhâm con c§p húu h¤n l khæng t¦m th÷íng.
- Mët nhâm ÷ñc gåi l câ th°ng d÷ húu h¤n n¸u nâ câ thº nhóng v o mët t½ch trüc ti¸p cõa mët hå nhâm húu h¤n.
- Mët nhâm l th°ng d÷ húu h¤n n¸u v ch¿ n¸u ph¦n giao cõa t§t c£ c¡c nhâm con chu©n tc cõa nâ câ ch¿ sè húu h¤n l t¦m th÷íng.
V½ dö:
Nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n l : nhâm húu h¤n, nhâm tü do.
Nhâm (Q, + ) khæng l nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n v¼ nhâm (Q, + ) khæng l nhâm rót gån.
T½nh ch§t
- Nhâm con cõa nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n l nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n. - T½ch trüc ti¸p cõa c¡c nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n l nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n.
ành ngh¾a 1.13.2. Lîp H l lîp nhâm âng theo c¡c nhâm con (subgroup - closed class) n¸u A∈ H v B l mët nhâm con cõa A th¼ suy ra B ∈ H.
ành lþ 1.13.3. N¸u H l lîp nhâm âng theo c¡c nhâm con v G l mët nhâm th¼ c¡c i·u sau l t÷ìng ÷ìng:
a) G l th°ng d÷ cõa H.
b) Vîi måi x∈G\{1} tçn t¤i B m x khæng thuëc B, vîi B G v G/B ∈ H. c) G câ mët hå c¡c nhâm con chu©n tc Ω tho£ ∩Ω = {1} v G/E ∈ H, vîi måi
E ∈Ω.
Chùng minh
Tr÷îc h¸t gi£ sû G tho£ i·u ki»n (b) th¼ c¡c nhâm con cõa G công thäa i·u ki»n b). Thªt vªy, gåi H l mët nhâm con cõa G. Khi â, x ∈ H \ {1}, suy ra
x∈G\ {1}. Do â, tçn t¤i mët nhâm con chu©n tc B cõa G m x khæng thuëc B v G/B ∈ H. °t F =H∩B, khi â F l nhâm con chu©n tc cõa H v x khæng thuëc F, do x khæng thuëc B. Cuèi còng, H/F =H/(H∩B)∼=HB/B. Tuy nhi¶n, HB/B l nhâm con cõa G/B n¶n thuëc H do H l lîp nhâm âng theo c¡c nhâm con. Suy ra, H/F ∈ H. Vªy H tho£ i·u ki»n (b).
1.14. NHÂM HOPF - NHÂM COHOPF 33Ta chùng minh tø i·u ki»n (a) suy ra (b). Theo chùng minh tr¶n suy ra i·u ki»n Ta chùng minh tø i·u ki»n (a) suy ra (b). Theo chùng minh tr¶n suy ra i·u ki»n (b) óng cho nhúng t½ch trüc ti¸p cõa nhúng nhâm thuëc v o H. Gåi C =Q
i∈IAi
vîi méi Ai ∈ H. º chùng minh C tho£ i·u ki»n (b), gåi f ∈ C, f 6= 1. Khi â tçn t¤i i ∈ I v f(i) 6= 1. Do â, f khæng thuëc B vîi B = Dc(I \ {i}) (theo Bê · 1.12.3), nh÷ng C = Dc(i)⊕B n¶n C/B ∼= Dc(i) ∼= Ai v Ai ∈ H (theo Bê · 1.12.4). Vªy C thäa i·u ki»n (b).
(b) suy ra (c). Gi£ sû vîi x6= 1, tçn t¤i B(x) thäa x khæng thuëc tªpB(x)G
v G/B(x)∈ H. Gåi Ω = {B(x)|x 6= 1}, khi â ∩Ω = 1 bði v¼ n¸u câ t ∈ ∩Ω, v
t 6= 1 th¼ t ∈B(t) (væ lþ). Do â câ (c).
Cuèi còng º chùng minh (c) suy ra (a). Gåi G l nhâm thäa i·u ki»n (c), tø t½nh t¦m th÷íng cõa∩Ωd¨n ¸nG/∩Ω∼=Gv G/∩Ωcâ thº nhóng v oQ
E∈ΩG/E
(theo ành lþ 1.12.5). Do â G l th°ng d÷ cõa H v¼ méi ph¦n tû G/E ∈ H. ành ngh¾a 1.13.4. N¸u A l mët nhâm aben th¼ U(A) = ∩{nA|n ∈ N, n 6= 0}
÷ñc gåi l nhâm con Ulm (Ulm subgroup) cõa A.
ành lþ 1.13.5. N¸u A l nhâm aben câ th°ng d÷ húu h¤n. Khi â: a) U(A) ={0}. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) A l nhâm rót gån. Chùng minh
a) Gåi x ∈ U(A) gi£ sû x 6= 0 ta s³ suy ra i·u væ lþ. Thªt vªy, theo ành lþ 1.13.3 th¼ tçn t¤i B tho£ x ∈B v A/B húu h¤n, câ c§p b¬ng n. Khi â, x∈ nA, v¼ x∈U(A), n¶n x = ny vîi gi¡ trà y n o â, suy ra B + x = B + ny = n(B + y) = 0. Do c§p cõa (A/B) l n, n¶n x∈B (m¥u thu¨n). Vªy U(A) ={0}.
Gi£ sû D l nhâm con chia ÷ñc cõa A. Suy ra,D⊆U(A)theo c¥u (a) th¼ D =
{0}. Vªy A l nhâm rót gån.
Nhªn x²t: Nhâm aben A l nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n khi v ch¿ khi nhâm con Ulm cõa nâ l nhâm t¦m th÷íng.
1.14 Nhâm hopf - Nhâm cohopf
ành ngh¾a 1.14.1. Nhâm hopf. (hopfian group) l nhâm G m méi to n c§u
f :G→Gl mët ¯ng c§u. Nâi c¡ch kh¡c, nhâm hopf l nhâm m nâ khæng ¯ng c§u vîi b§t ký nhâm th÷ìng thüc sü n o cõa nâ.
Måi nhâm húu h¤n v måi nhâm ìn ·u l nhâm hopf.
Chùng minh
Gi£ sû câ to n c§uθ :G→Gkhæng l mët ¯ng c§u, gåi16=x∈kerθ. Do t½nh th°ng d÷ húu h¤n, n¶n tçn t¤i nhâm con chu©n tc M vîi ch¿ sè húu h¤n khæng chùa x. V¼ G l húu h¤n sinh n¶n tçn t¤i ch¿ húu h¤n n ¡nh x¤ çng c§u tø G v o Q = G/M. Gi£ sû: ν :G →G/kerθ l mët çng c§u tü nhi¶n v θ : G/kerθ → G
l ¯ng c§u g(kerθ)7→ gθ. N¸u ϕ1, ϕ2, ..., ϕn l t§t c£ n çng c§u tø G v o Q, c¡c
νθϕi ri¶ng bi»t, tø â câ thº c§u th nh c¡c çng c§u tø G v o Q, trong méi tr÷íng hñp x ÷ñc bi¸n th nh c¡c ph¦n tû ìn và. Tuy nhi¶n, çng c§u tü nhi¶nν :G7→Q
th¼ ph¦n tû x khæng chuyºn th nh ph¦n tû ìn và. Do â, câ n+1 çng c§u tø G v o Q (m¥u thu¨n). Vªy måi to n c§u θ :G7→G l ¯ng c§u, hay nhâm húu h¤n sinh câ th°ng d÷ húu h¤n l nhâm hopf.
ành lþ 1.14.3. Gi£ sû G l mët nhâm b§t ký (khæng nh§t thi¸t l nhâm aben), H l mët nhâm con b§t bi¸n cõa G tho£ i·u ki»n H v G/H l c¡c nhâm hopf. Khi â, G l nhâm hopf.
Chùng minh
Gåi s : G → G l mët to n c§u, ta s³ chùng minh s công l mët ìn c§u. Do t½nh b§t bi¸n ho n to n cõa H n¶n s[H]⊆H, khi âs0 :G/H →G/H công l mët to n c§u. Tuy nhi¶n s' công l mët ìn c§u v¼ G/H l nhâm hopf. °t r :H →H
l h¤n ch¸ cõa s tr¶n tªp H. Khi â, r l mët to n c§u. Thªt vªy, n¸u câ c∈H th¼ c = s(y) vîi gi¡ trà y n o â, v¼ s l to n c§u. Do â, H = Hs(y) = s'(Hy).
M°t kh¡c, Hy = H do t½nh ìn c§u cõa s' n¶ny∈H v r(y) = c, hay r l to n c§u. Tø k¸t qu£ n y v gi£ thuy¸t H l nhâm hopf n¶n r l mët ìn c§u. Cuèi còng, ta c¦n chùng minh s l mët ìn c§u. Gi£ sû s(x) = 1, th¼ s'(Hx) = H n¶n Hx = H do t½nh ìn c§u cõa s'. V¼ vªy, x∈H do â 1 = s(x) = r(x). Khi â, x = 1 do t½nh ìn c§u cõa r, suy ra s công l ìn c§u. Vªy G l nhâm hopf.
ành ngh¾a 1.14.4. Nhâm G l nhâm cohopf (cohopfian group) n¸u nâ khæng ¯ng c§u vîi nhâm con thüc sü cõa nâ. i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi t½nh ch§t måi ìn c§u
f :G7→Gcông l to n c§u.
T½nh ch§t: Måi nhâm húu h¤n vøa l nhâm hopf vøa l nhâm cohopf.
Nhâm (Q, + ) l nhâm hopf v công l nhâm cohopf. Thªt vªy, gi£ sû tçn t¤i B l mët nhâm con cõa Q m B ∼= Q. Khi â do Q l nhâm chia ÷ñc n¶n B l nhâm chia ÷ñc. M°t kh¡c måi nhâm con thªt sü cõa Q l nhâm rót gån, n¶n Q = B. Do â (Q, + ) l nhâm cohopf. Ngo i ra, (Q, + ) v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm hopf (theo T½nh ch§t 8)
Nhâm c¡c sè nguy¶n vîi ph²p to¡n cëng (Z, +) l nhâm hopf nh÷ng khæng ph£i l nhâm cohopf. Ngo i ra, måi nhâm aben húu h¤n sinh l nhâm hopf khæng ph£i nhâm cohopf trø khi nhâm â húu h¤n. Thªt vªy, do (Q, + ) v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm hopf, suy ra (Z, + ) l nhâm hopf. Tuy nhi¶n, (Z, +) khæng l nhâm cohopf, v¼ h2i ∼=Z.
Ch֓ng 2
Nhâm Qp v mð rëng cõa nhâm n y Nhâm c¡c sè húu t vîi ph²p to¡n cëng (Q, + ) l mët v½ dö iºn h¼nh v quen thuëc cõa lîp nhâm aben væ h¤n. Nhâm (Q, + ) câ nhi·u nhâm con trong â câ ba lo¤i: Lo¤i thù nh§t l tªp hñp c¡c sè húu t câ m¨u sè khæng ch½nh ph÷ìng (squarefree denominators); Lo¤i thù hai l tªp hñp c¡c sè húu t nhà nguy¶n (dyadic rationals), tùc l nhúng sè húu t câ d¤ng a
2k vîi a l sè nguy¶n v k l sè tü nhi¶n; Lo¤i thù ba l tªp hñp c¡c sè húu t câ khai triºn d÷îi d¤ng thªp ph¥n húu h¤n.
Tø thíi Ai Cªp cê ¤i ng÷íi ta ¢ bi¸t sû döng c¡c sè húu t nhà nguy¶n trong vi»c o ¤c vîi m¨u sè l¶n tîi 1/64. Tªp hñp c¡c sè húu t nhà nguy¶n l nhâm con (theo ph²p to¡n cëng) cõa nhâm ( Q, + ), hìn th¸ ¥y cán l mët v nh con giao ho¡n cõa tr÷íng sè húu t Q. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët v½ dö v· nhâm con cõa nhâm (Q, +), â l nhâm Qp gçm c¡c sè húu t câ d¤ng a
pn vîi a l sè nguy¶n, p l mët sè nguy¶n tè v n ∈Z. Qua vi»c kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t cõa nhâm Qp ta s³ suy ra ÷ñc c¡c t½nh ch§t cõa nhâm c¡c sè húu t nhà nguy¶n nh÷ l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa nhâm n y ùng vîi gi¡ trà p = 2 v n ∈N.
Sau ¥y, chóng tæi tr¼nh b y cö thº c¡c t½nh ch§t cõa nhâm Qp. 2.1 Nhâm Qp (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ành ngh¾a 2.1.1. Cho p l mët sè nguy¶n tè, khi â nhâm Qp ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: Qp ={ a
pn|a/pn∈Q, n ∈Z}. Ð ¥y ta hiºu a
pn l ph¥n sè rót gån v a s³ thuëc tªp hñp sè nguy¶n Z, do â nhâm Qp s³ x¡c ành t÷ìng ùng vîi sè nguy¶n tè p.
¥y l nhâm ÷ñc ành ngh¾a vîi ph²p to¡n trong nhâm l ph²p cëng hai ph¦n tû thuëc Qp.
Thªt vªy, Qp 6=∅ do1∈Qp. Vîi a/pn v b/pm l hai ph¦n tû thuëc v o Qp th¼
a/pn+b/pm = ap
m+bpn
pm+n ∈ Qp. M°t kh¡c, −a/pn ∈ Qp v ph¦n tû 0 l ph¦n tû ìn và cõa nhâm.
Ngo i ra, nhâm Qp cán câ mët sè t½nh ch§t sau: T½nh ch§t 1. Qp l nhâm con cõa nhâm (Q, + ).
Chùng minh
Choa/pn,c/pm ∈Qp. Khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sûn ≤m. Khi â,(a/pn)−
(c/pm) = (a(pm−n)−c)/pm ∈Qp. Vªy Qp l nhâm con cõaQ. T½nh ch§t 2. Qp l nhâm khæng xon.
Chùng minh
Ta s³ chùng minh Q l nhâm khæng xon v tø i·u ki»n Qp l nhâm con cõa Q suy ra Qp l nhâm khæng xon.
Thªt vªy, choa/b ∈Q, gi£ sû c§p cõa a/b l n. Khi â, na/b= 0 don 6= 0 n¶n a = 0. Suy ra a/b = 0. Vªy Q tho£ ành ngh¾a nhâm khæng xon. V¼ Qp l nhâm con cõa Q, n¶n Qp l nhâm khæng xon.
T½nh ch§t 3. Qp l nhâm p-chia ÷ñc. Chùng minh
Vîi måi ph¦n tûa/pn∈Qp th¼ tçn t¤i ph¦n tûa/pn+1 ∈Qpv a/pn=p(a/pn+1). Vªy Qp l nhâm p-chia ÷ñc.
T½nh ch§t 4. Cho q l sè nguy¶n tè, q 6=p. Khi â, Qp khæng câ nhâm con q-chia ÷ñc khæng t¦m th÷íng.
Chùng minh
Gi£ sû F l mët nhâm con q-chia ÷ñc, ta c¦n chùng minh F l nhâm con t¦m th÷íng.
Thªt vªy, gi£ sû a/pn∈F, º chùng minh a/pn = 0 th¼ c¦n chùng minh a = 0, º thüc hi»n ÷ñc i·u n y th¼ c¦n qk|a, vîi måi sè tü nhi¶n k. Do t½nh ch§t q-chia ÷ñc cõa F, n¶n câ ph¦n tûb/pm ∈F sao choa/pn =qk(b/pm). Suy raqkpnb=pma, d¨n ¸n qk|pma. Do q v p l hai sè nguy¶n tè kh¡c nhau, n¶n pm v qk l hai sè nguy¶n tè còng nhau. Suy ra qk|a, do â, a = 0 v a/pn = 0. Vªy F l mët nhâm con t¦m th÷íng.
T½nh ch§t 5. Z⊆Qp. Chùng minh
2.1. NHÂMQP 37 Do 1 = 1/p0,1 ∈ Qp. Do nhâm c¡c sè nguy¶n Z vîi ph²p to¡n cëng l nhâm xyclic sinh bði ph¦n tû 1 n¶n Z⊆Qp.
T½nh ch§t 6. Qp l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc. Chùng minh
Ta chùng minh nhâm c¡c sè húu t Qvîi ph²p to¡n cëng v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc.
Thªt vªy, gåi H l nhâm con cõaQ, gi£ sûH =A×C vîi A v C l c¡c nhâm con khæng t¦m th÷íng ta s³ suy ra sü m¥u thu¨n. Gi£ sû câ c¡c ph¦n tû kh¡c khæng
a/b ∈ A v j/k ∈ C. Do c£ A v C ·u l nhâm con cõa Q, n¶n n(a/b) ∈ A v
n(j/k)∈C vîi måi sè nguy¶n n. Tr÷íng hñp °c bi»t khi n=jb, jb(a/b) = ja∈A
v khi n=ak, ak(j/k) = aj ∈C. Do â ja∈A v aj ∈C. V¼ th¸, ja∈A∩C. Do
H =A×C, suy ra A∩C l nhâm con t¦m th÷íng. Suy ra, ja = 0, n¶n j = 0 ho°c a = 0. Do â, A l nhâm con t¦m th÷íng hay C l nhâm con t¦m th÷íng. Vªy H l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do Qp l nhâm con cõa nhâm (Q, + ) n¶n Qp l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc.