Mð rëng cõa nhâm Qp

2 Nhâm Qp v mð rëng cõa nhâm n y

2.2 Mð rëng cõa nhâm Qp

÷ñc khæng t¦m th÷íng vîi q 6= p, n¶n Qp khæng câ nhâm con tèi ¤i (maximal subgroup), theo ngh¾a M l  nhâm con tèi ¤i cõa G n¸u M l  mët nhâm con thüc sü cõa G v  n¸u câ mët nhâm H thäa M ≤H ≤Gth¼ H = M ho°c H = G. Ngo i ra, nhâm Qp công ÷ñc biºu di¹n mët c¡ch t÷íng minh thæng qua tªp sinh v  c¡c çng nh§t thùc.

Nhªn x²t: N¸u x²t trong tr÷íng hñp p = 2 v  n thuëc tªp hñp sè tü nhi¶n th¼ ta ÷ñc nhâm c¡c sè húu t nhà nguy¶n vîi ph²p to¡n cëng.

Tø nhâm Qp ta câ thº x¥y düng ÷ñc nhâm th÷ìng cõa nhâm n y, nhâm p- Prufer, Z(p∞) = Qp/Z. ¥y l  mët v½ dö v· nhâm væ h¤n m  måi nhâm con thüc sü cõa nâ ·u húu h¤n, nhâm n y công câ vai trá quan trång èi vîi lîp c¡c nhâm aben chia ÷ñc.

Ngo i ra, º hiºu rã hìn v· c¡c t½nh ch§t cõa nhâm aben væ h¤n công nh÷ c¡c t½nh ch§t cõa nhâm Qp, trong luªn v«n n y chóng tæi s³ tr¼nh b y th¶m mð rëng cõa nhâm n y trong nhâm (Q×Q; + ).

2.2 Mð rëng cõa nhâm Qp

Gi£ sû p, q, r l  c¡c sè nguy¶n tè ríi nhau. GåiB =Qp× {0},C ={0} ×Qq v 

D = h1/r,1/ri. °t A = B + C + D. Khi â A, B, C l  c¡c nhâm con cõa nhâm Q×Q vîi ph²p to¡n cëng. Thªt vªy, A 6= ∅. Vîi (x, y) ∈ A v  (g, h) ∈ A th¼ (x, y) = (c1 pi,0) + (0,c2 qj) + c3(1 r, 1 r) v  (g, h) = (b1 pt,0) + (0,b2 qk) +b3(1 r, 1

r), vîi i, j, k, t ∈ Z. Khi â, (x, y)−

(g, h) = (c1 pi−b1 pt,0)+(0,c2 qj−b2 qk)+(c3−b3)(1 r, 1 r) = ( c1pt−b1pi pi+t ,0)+(0,c2q k−b2qj qj+k )+ (c3−b3)(1 r, 1 r)∈A.

Nhâm A l  mð rëng cõa nhâm Qp v  câ c¡c t½nh ch§t sau:

T½nh ch§t 22. Ta câ mèi quan h» giúa ph¦n tû thuëc nhâm A vîi ph¦n tû thuëc nhâm Qp nh÷ sau: a) N¸u (x,0)∈A th¼ x∈Qp. b) N¸u (0, y)∈A th¼ y∈Qq. Chùng minh Do (x,0)∈A n¶n (x,0) = (c1 pi,0) + (0,c2 qj) +c3(1 r, 1 r).

Do â, 0 = (c2/qj) + (c3/r)⇒c3qj =−c2r, hay r|c3qj d¨n ¸n r|c3 (do (q, r) = 1). Suy ra, c3 =rt, vîi t l  sè nguy¶n. Vªy x= c1

T÷ìng tü ta chùng minh ÷ñc n¸u (0, y)∈A th¼ y∈Qq.

ành ngh¾a 2.2.1. Nhâm G ÷ñc gåi l  câ sè mô n (exponent n) vîi n l  sè nguy¶n d÷ìng n¸u n thäa c¡c i·u ki»n sau:

a) xn= 1,∀x∈G.

b) N¸u m l  sè nguy¶n d÷ìng thäa xm = 1,∀x∈G th¼ n|m. T½nh ch§t 23. Ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

a) A l  nhâm khæng xo­n. b) A/B l  nhâm khæng xo­n. c) A/C l  nhâm khæng xo­n.

d) N¸u sè mô (exponent) cõa A/(B+C) b¬ng r th¼ A/(B+C) l  nhâm xo­n. Chùng minh

a) Gåi (x, y) l  ph¦n tû cõa A câ c§p n. Khi â, nx = ny = 0, dox, y ∈Q, n6= 0

v  Q l  nhâm khæng xo­n n¶n d¨n ¸n x = 0, y = 0, hay (x, y) = (0, 0). Vªy A l  nhâm khæng xo­n.

b) Gi£ sû B + (x, y) l  mët ph¦n tû cõa A/B câ c§p l  n. Khi â, (nx, ny)∈B

theo ành ngh¾a cõa B d¨n ¸n ny = 0 do â y = 0, v¼Ql  nhâm khæng xo­n. Theo T½nh ch§t 22 ta câ n¸u (x,0)∈A th¼ x∈Qp. Do â, (x,0)∈B suy ra, B + (x, y) = 0, suy ra A/B l  nhâm khæng xo­n.

c) Chùng minh t÷ìng tü câ A/C l  nhâm khæng xo­n. d) Ta c¦n chùng minhr(x, y)∈B +C,∀(x, y)∈A. Thªt vªy, do(x, y)∈A n¶n (x, y) = c1 pi,0 + 0,c2 qj +c3 1 r, 1 r . Do â, rx = r(c1 pi) + c3 ∈ Qp, v¼ Z ⊆ Qp. T÷ìng tü, ry ∈ Qq. Vªy (rx, ry) = (rx,0) + (0, ry)∈B+C. Suy ra, A/(B + C) l  nhâm xo­n.

Bê · 2.2.2. Gåi p l  mët sè nguy¶n tè, G l  nhâm aben p-chia ÷ñc v  H l  nhâm con cõa G. Khi â, G/H công l  nhâm p-chia ÷ñc.

Chùng minh

Ta c¦n chùng minh p(G/H) = G/H. Thªt vªy, gi£ sû H+x∈ G/H th¼ x∈G, suy ra x = py vîi y l  mët ph¦n tû cõa G, do G l  nhâm p-chia ÷ñc. Khi â,

H+x=H+py =p(H+y)∈pG/H. Vªy p(G/H) = G/H.

Bê · 2.2.3. N¸u A l  mët nhâm aben v  n l  sè nguy¶n d÷ìng, khi â c£ A[n] v  nA l  c¡c nhâm con b§t bi¸n cõa A v  A/A[n]∼=nA.

2.2. MÐ RËNG CÕA NHÂM QP 47 Gåi d :A→ A ành ngh¾a bði d(x) = nx. Khi â, d(x + y) = n(x +y) = nx + ny = d(x) + d(y). Suy ra d l  mët çng c§u. Theo ành lþ ¯ng c§u thù nh§t th¼

A/kerd ∼=Imd. Ta câ, x ∈ kerd khi v  ch¿ khi d(x) = 0 t÷ìng ÷ìng vîi nx = 0, do â kerd = A[n]. M°t kh¡c, x ∈ Imd khi v  ch¿ khi x = d(y) vîi mët gi¡ trà y n o â i·u n y ch¿ x£y ra khi v  ch¿ khi x = ny vîi mët gi¡ trà y n o â, vªy Imd = nA. A[n] v  nA l  c¡c nhâm con cõa A, çng thíi l  h¤t nh¥n v  £nh cõa mët çng c§u, suy ra A/A[n]∼=nA.

º chùng minh A[n] l  nhâm con b§t bi¸n cõa A, gåix∈A[n]v  f :A→A l  mët çng c§u. Khi â, nx = 0, suy ra nf(x) = f(nx) = f(0) = 0. Vªyf(x)∈A[n]. º chùng minh nA l  nhâm con b§t bi¸n ho n to n, gåi x∈ nAv  f : A→A l  mët çng c§u Khi â, x = ny vîi gi¡ trà y n o â, suy ra f(x) =f(ny) =nf(y)∈nA. T½nh ch§t 24. Ta câ c¡c k¸t qu£ sau:

a) B =∩{pnA|n ∈N} v  C =∩{qnA|n ∈N}.

b) B l  C l  c¡c nhâm con b§t bi¸n ho n to n cõa A (fully invariant subgroup of A).

Chùng minh

a) Kþ hi»u W =∩{pnA|n ∈N}. N¸u (x,0)∈B, th¼ vîi mët sè tü nhi¶n n, tçn t¤i y∈Qp sao cho x =pny, do Qp l  nhâm p-chia ÷ñc. Do â, (x,0) = (pny,0) =

pn(y,0)∈pnA. Suy ra,(x,0)∈W, hay B ⊆W.

Tr÷îc khi chùng minh chi·u ng÷ñc l¤i. °tH =B+h(1/r,0)i,K =C+h(0,1/r)i

v  F = H + K. Nhªn x²t r¬ng, H, K v  F khæng l  c¡c nhâm con cõa A. Tuy nhi¶n, chóng l  c¡c nhâm con cõa nhâm (Q×Q, + ).

Ta chùng minh r¬ng Hom (W, K) l  t¦m th÷íng. Gi£ sû f ∈ Hom(W, K). Gåi

d :K →K l  h m sè thäa d(x,y) = r(x,y) = (rx, ry), chùng minh ÷ñc d l  çng c§u. N¸u (x, y) ∈ K th¼ (x, y) = (0, a/qm) +i(0,1/r), vîi gi¡ trà a, m v  i n o â. Do â, d(x, y) = r(x, y) = (0, ar/qm) + (0, i). V¼ Z ⊆ Qp v  (0, i) ∈ C, n¶n

d(x, y)∈ C. Suy ra, Imd l  nhâm con cõa C, do â d◦f :W →C. K¸t luªn W l  p-chia ÷ñc bði n¸u t ∈W th¼ t∈ pA, suy ra, t = ps vîi s ∈A. Tuy nhi¶n, s ph£i thuëc W do vîi måi sè tü nhi¶n n, t ∈pn+1A d¨n ¸n, t=pn+1a, vîi a ∈A, do â

ps =pn+1a⇒s=pna. A l  nhâm khæng xo­n theo T½nh ch§t 23. Do â, s∈W v  t = ps suy ra W l  p-chia ÷ñc, n¶n Imd◦f l  p-chia ÷ñc.

Tuy nhi¶n, C ∼= Qq v  Qq khæng câ nhâm con p-chia ÷ñc khæng t¦m th÷íng vîi p 6= q. V¼ th¸ Imd◦f l  t¦m th÷íng. Suy ra f = 0, vîi (x, y) ∈ W. Do â,

d◦f(x, y) = 0, i·u n y suy ra rf(x, y) = 0, n¶n f(x,y) = 0 do C l  khæng xo­n. Vªy f = 0, hay Hom (W, K) l  t¦m th÷íng.

Nhªn th§y t§t c£ c¡c to¤ ë thù hai cõa c¡c ph¦n tû thuëc H l  b¬ng 0, v¼ chóng l  to¤ ë thù nh§t c¡c ph¦n tû cõa K. Do â H∩K ={(0,0)}, suy ra F =H⊕K. Gåi πk : F → K l  çng c§u nhóng, do (1/r,1/r) = (1/r,0) + (0,1/r) v  D ⊆ F. M°t kh¡c, B, C ⊆ F v¼ B ⊆ H v  C ⊆ K. Suy ra, A =B +C+D ⊆F. Gåi λ l  h¤n ch¸ cõa πk tr¶n W (doW ⊆F v¼ W ⊆A). Do â,λ∈Hom(W, K)n¶n λ= 0, v¼ Hom(W, K) = {0}.

º chùng minh W ⊆B. Ta gåi (x, y) ∈ W. Khi â, λ(x, y) = 0. V¼ (x, y)∈ A

v  y = 0 n¶n (x, y)∈B, hay W ⊆B.

Vªy B =∩{pnA|n ∈N}. Chùng minh t÷ìng tü ÷ñc, C =∩{qnA|n ∈N}. b) Suy ÷ñc trüc ti¸p tø (a), Bê · 2.2.3 v  nhªn x²t ph¦n giao cõa c¡c nhâm con b§t bi¸n ho n to n l  mët nhâm con b§t bi¸n.

Bê · 2.2.4. N¸u G=AB vîi A∩B = 1, A v  B l  c¡c nhâm con chu©n t­c cõa G, gi£ sû F l  mët nhâm con b§t bi¸n cõa G th¼ F = (F ∩A)(F ∩B).

Chùng minh

Do A l  nhâm con chu©n t­c cõa G, th¼ F ∩A l  nhâm con chu©n t­c cõa F. T÷ìng tü, F ∩B l  nhâm con chu©n t­c cõa F. Do A, B l  ríi nhau, n¶n F ∩A

v  F ∩B l  c¡c nhâm ríi nhau. Ta c¦n chùng minh F = (F ∩A)(F ∩B). Ta câ,

πA : G→A v  πB : G→B l  c¡c çng c§u. Do â, πA[F]⊆ F v  πB[F] ⊆F, do t½nh b§t bi¸n cõa F. Gåi x ∈ F th¼ x ∈ G n¶n x = ab vîi a ∈ A, b ∈ B. Do â,

a = πA(x). Tuy nhi¶n, πA(F) ⊆ F d¨n ¸n a ∈ F. Suy ra, a ∈ F ∩A, t÷ìng tü

b ∈F ∩B. M°t kh¡c do x = ab n¶n x∈(F ∩A)(F ∩B), hayF ⊆(F ∩A)(F ∩B), chi·u ng÷ñc l¤i hiºn nhi¶n. Vªy, F = (F ∩A)(F ∩B).

T½nh ch§t 25. A l  nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc. Chùng minh

Gi£ sûA=M L ta s³ chùng minh M ho°c L l  t¦m th÷íng. Theo T½nh ch§t 24 v  Bê · 2.2.4 th¼ B = (M ∩B)(L∩B) v  C = (M ∩C)(L∩C). Tuy nhi¶n, c£ B v  C ·u l  nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc (v¼B ∼=Qp,C =∼Qq trong â,Qp v  Qq l  c¡c nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc). Do â, ho°c B ⊆M ho°c B ⊆L, t÷ìng tü ho°c

C ⊆M ho°cC ⊆Ldo t½nh khæng ph¥n t½ch ÷ñc cõa B v  C. Trong 4 tr÷íng hñp n y, th¼ ta s³ ch¿ ra 2 tr÷íng hñp l  khæng thº x£y ra.

Thªt vªy, tr÷íng hñp 1, gi£ sû B ⊆M v  C ⊆L. Khi â, B+C ⊆B+L. Tø i·u n y v  A/(B+C) l  nhâm xo­n d¨n ¸n A/(B + L) l  nhâm xo­n. Hìn th¸,

B ⊆M∩(B+L). Ng÷ñc l¤i, n¸u câ t∈M∩(B+L), vîi t l  c°p s­p thù tü, th¼ t = b + e vîi b∈B, e ∈L. Do â,e=t−b∈M∩L, suy ra e = 0, n¶nt =b ∈B v 

M∩(B+L) =B. V¼ th¸,A/(B+L) = (M+L)/(B+L) = (M+(B+L))/(B+L)∼=

M/(M ∩(B+L)) = M/B. Suy ra, M/B l  nhâm xo­n. Tuy nhi¶n, M/B l  nhâm con cõa A/B theo T½nh ch§t 23 th¼ A/B l  nhâm khæng xo­n, d¨n ¸n M = B. T÷ìng tü L = C. Do â, A ⊂B+C (væ lþ), n¶n tr÷íng hñp n y khæng x£y ra.

Ð tr÷íng hñp 2, n¸u B ⊆ L v  C ⊆ M chùng minh t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hñp tr¶n ta công suy ra i·u væ lþ.

Tr÷íng hñp 3: N¸u B, C ⊆ M th¼ B +C ⊆ M. Tø i·u n y v  A/(B + C) l  nhâm xo­n d¨n ¸n A/M l  nhâm xo­n. Do A/M ∼= L, suy ra, L l  nhâm xo­n. Tuy nhi¶n, L l  nhâm khæng xo­n bði v¼ L l  nhâm con cõa A. Vªy L ph£i l  nhâm t¦m th÷íng.

2.2. MÐ RËNG CÕA NHÂM QP 49 Tr÷íng hñp cuèi còng, n¸u B, C ⊆L th¼ t÷ìng tü tr÷íng hñp 3 ta công suy ra ÷ñc M l  nhâm t¦m th÷íng.

Vªy A l  nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc.

T½nh ch§t 26. Nhâm A khæng thº nhóng v o nhâm c¡c sè húu t Q vîi ph²p to¡n cëng.

Chùng minh

Do B + C l  nhâm con cõa A, n¶n n¸u A câ thº nhóng v o Q th¼ B + C công câ thº nhóng v o Q. Tuy nhi¶n B ∩C = ∅ v  B +C = B ⊕C. Do â B + C l  nhâm ph¥n t½ch ÷ñc, nh÷ng Q v  c¡c nhâm con cõa nâ l  nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc. Vªy A khæng thº nhóng v o Q.

T½nh ch§t 27. A l  nhâm rót gån. Chùng minh

Gi£ sû H l  nhâm con chia ÷ñc cõa A, ta s³ chùng minh H l  nhâm t¦m th÷íng. Vîi måi sè tü nhi¶n n, H =pnH. Do t½nh chia ÷ñc cõa H ta câH ⊆pnA. Suy ra H ⊆ B (theo T½nh ch§t 24). T÷ìng tü chùng minh ÷ñc H ⊆ C. Do â,

H ⊆B ∩C ={0}. Vªy A l  nhâm rót gån.

Nhªn x²t: NhâmQpl  nhâm ph¥n t½ch ÷ñc v  câ thº nhóng v oQ. Tuy nhi¶n, nhâm A l  mët mð rëng cõa nhâm Qp l  mët v½ dö v· c¡c nhâm aben khæng ph¥n t½ch ÷ñc khæng xo­n v  khæng thº nhóng v o nhâm (Q, + ).

Mët nhâm aben khæng xo­n ÷ñc gåi l  câ h¤ng n n¸u nâ câ thº nhóng v o t½ch trüc ti¸p cõa n th nh ph¦n (copies) cõaQ, nh÷ng nâ khæng thº nhóng v o t½ch trüc ti¸p cõa n -1 th nh ph¦n cõa Q. Do A l  nhâm câ h¤ng l  2, A khæng thº nhóng v o nhâm (Q, + ).

Nhâm A cán l  mët v½ dö v· nhâm con cõa nhâm aben khæng ph¥n t½ch ÷ñc khæng nh§t thi¸t l  khæng ph¥n t½ch ÷ñc (nh÷ T½nh ch§t 26, ta câ B + C l  nhâm con khæng ph¥n t½ch ÷ñc cõa A).

T½nh ch§t 28. Nhâm A khæng l  nhâm ìn thu¦n tóy. Chùng minh

Nhªn th§y, B ≤ A, ta s³ chùng minh B l  nhâm con thu¦n tóy khæng t¦m th÷íng cõa A. Vîi (x, y)∈nA∩B ta c¦n chùng minh (x, y)∈nB.

Thªt vªy, n¸u (x, y) ∈ nA∩B th¼ (x, y) ∈ nA v  (x, y) ∈ B. Ta câ, (x, y) =

n[(c1/pi,0) + (0, c2/qj) + c3(1/r,1/r)] v  (x, y) ∈ B. Suy ra, (x, y) = n(c1/pi +

c3/r, c2/qj +c3/r) çng thíi x∈Qp, y = 0. Do â, c2/qj =−c3/r v  x=n(c1/pi+

c3/r). V¼ (r, qj) = 1 n¶n r|c3. Suy ra, x = n(c1/pi +c3/r) ∈ Qp, hay (x, y) ∈ nB, n¶n B l  nhâm con thu¦n tóy khæng t¦m th÷íng cõa A. Vªy A khæng l  nhâm ìn thu¦n tóy.

T½nh ch§t 29. A l  nhâm hopf. Chùng minh

Gi£ sû câ mët nhâm con K thªt sü khæng t¦m th÷íng cõa A m  A/K ∼= A. Khi â, A/K l  nhâm khæng xo­n (do A l  nhâm khæng xo­n). K câ thº xem nh÷ l  nhâm con cõa Q× Q. M°t kh¡c, Q× Q l  nhâm khæng xo­n. Thªt vªy, vîi

(x, y)∈Q×Q, gi£ sû (x, y) câ c§p n khi â (nx, ny) = (0, 0). Do x∈Qv  y ∈Q

v  Q l  nhâm khæng xo­n n¶n x = 0, y = 0. Suy ra, (x, y) = (0, 0). Vªy Q×Q l  nhâm khæng xo­n, n¶n K l  nhâm khæng xo­n.

M°t kh¡c,(Q×Q)/Kl  nhâm xo­n. Thªt vªy, gåi(m

n, k l)∈Kv  m n 6= 0,k l 6= 0. Do â, m 6= 0, k 6= 0 v  K + (x, y) ∈ (Q×Q)/K. M°t kh¡c do x, y ∈ Q n¶n x = m'/n' v  y = k'/l' vîi c¡c sè nguy¶n m'; n'; k'; l' thäa n0 6= 0, l0 6= 0. Suy ra,

m n, k l + (x, y) = m n, k l + m 0 n0,k 0 l0 = mn 0+m0n nn0 ,kl 0+k0l ll0 .

Do â, K + (x, y) câ c§p húu h¤n, v¼ (n0, l0)(K + (x, y)) = K+ (n0x, l0y) ∈K, vîi n0 6= 0, l0 = 06 . Suy ra, (Q×Q)/K l  nhâm xo­n n¶n A/K l  nhâm xo­n. Suy ra, A vøa l  nhâm xo­n vøa l  nhâm khæng xo­n suy ra A l  nhâm t¦m th÷íng (m¥u thu¨n). Vªy K ph£i l  nhâm t¦m th÷íng hay A l  nhâm hopf.

T½nh ch§t 30. Nhâm A khæng l  nhâm xyclic àa ph÷ìng tø â suy ra d n c¡c nhâm con L(A) khæng l  d n ph¥n phèi.

Chùng minh

Gåiu= (x, y)∈A v v = (g, h)∈A. Khi â,(x, y) = (c1

pi,0) + (0,c2 qj) +c3(1 r, 1 r) v  (g, h) = (b1 pt,0) + (0,b2 qr) +b3(1 r, 1

r). N¸u A l  nhâm xyclic àa ph÷ìng th¼ nhâm sinh bði {u, v}l  nhâm xyclic. Gi£ sû{u, v}=hαith¼ αph£i câ d¤ngα= ( 1

pk,0) + (0, 1

ql) + (1

r,

1

r), suy ra u=αm v  v =αn, vîi m, n l  c¡c sè nguy¶n. Tø â, ta câ c¡c h» thùc sau:

(c1 pi,0) + (0,c2 qj) +c3(1 r, 1 r) = (( 1 pk,0) + (0, 1 ql) + (1 r, 1 r)) m (1) (b1 pt,0) + (0,b2 qr) +b3(1 r, 1 r) = (( 1 pk,0) + (0, 1 ql) + (1 r, 1 r)) n(2)

2.2. MÐ RËNG CÕA NHÂM QP 51 °ta= (c1 pi,0),b= (0,c2 qj),c=c3(1 r, 1 r), g = ( 1 pk,0),h= (0, 1 ql)v  w= (1 r, 1 r). Tø (1) ¡p döng khai triºn h» thùc Newton v  çng nh§t theo m¨u sè luÿ thøa cõa c¡c sè nguy¶n tè p, q, r ta câ: a+b+c= (g+h+w)m =gm+hm+wm+Pmi=1−1Pis=0Cmi −1Cisgm−ihi−sws+ Pm−1 j=1 Cmj−1hm−jwj. Suy ra        a = gm b = hm c = wm Pm−1 i=1 Pi s=0gm−iCi m−1Cs ihi−sws = −Pmj=1−1Cmj−1hm−jwj .

Do p, q, r l  c¡c sè nguy¶n tè còng nhau v  ð dáng cuèi còng cõa h» tr¶n th¼ v¸ tr¡i câ chùa th nh ph¦n luÿ thøa cõa sè nguy¶n tè p, nh÷ng v¸ ph£i khæng chùa th nh ph¦n câ lôy thøa cõa sè nguy¶n tè p (m¥u thu¨n). Vªy (A, + ) khæng l  nhâm xyclic àa ph÷ìng.

Theo t¡c gi£ Ore ∅ystein. Structures and group theory. II. Duke Math. J. 4 (1938), no. 2, 247269. th¼ mët nhâm l  nhâm xyclic àa ph÷ìng khi v  ch¿ khi d n c¡c nhâm con cõa nâ l  d n ph¥n phèi. Do A khæng l  nhâm xyclic àa ph÷ìng n¶n