Ta chùng minh tø i·u ki»n (a) suy ra (b). Theo chùng minh tr¶n suy ra i·u ki»n (b) óng cho nhúng t½ch trüc ti¸p cõa nhúng nhâm thuëc v o H. Gåi C =Q
i∈IAi
vîi méi Ai ∈ H. º chùng minh C tho£ i·u ki»n (b), gåi f ∈ C, f 6= 1. Khi â tçn t¤i i ∈ I v f(i) 6= 1. Do â, f khæng thuëc B vîi B = Dc(I \ {i}) (theo Bê · 1.12.3), nh÷ng C = Dc(i)⊕B n¶n C/B ∼= Dc(i) ∼= Ai v Ai ∈ H (theo Bê · 1.12.4). Vªy C thäa i·u ki»n (b).
(b) suy ra (c). Gi£ sû vîi x6= 1, tçn t¤i B(x) thäa x khæng thuëc tªpB(x)G
v G/B(x)∈ H. Gåi Ω = {B(x)|x 6= 1}, khi â ∩Ω = 1 bði v¼ n¸u câ t ∈ ∩Ω, v
t 6= 1 th¼ t ∈B(t) (væ lþ). Do â câ (c).
Cuèi còng º chùng minh (c) suy ra (a). Gåi G l nhâm thäa i·u ki»n (c), tø t½nh t¦m th÷íng cõa∩Ωd¨n ¸nG/∩Ω∼=Gv G/∩Ωcâ thº nhóng v oQ
E∈ΩG/E
(theo ành lþ 1.12.5). Do â G l th°ng d÷ cõa H v¼ méi ph¦n tû G/E ∈ H. ành ngh¾a 1.13.4. N¸u A l mët nhâm aben th¼ U(A) = ∩{nA|n ∈ N, n 6= 0}
÷ñc gåi l nhâm con Ulm (Ulm subgroup) cõa A.
ành lþ 1.13.5. N¸u A l nhâm aben câ th°ng d÷ húu h¤n. Khi â: a) U(A) ={0}.
b) A l nhâm rót gån. Chùng minh
a) Gåi x ∈ U(A) gi£ sû x 6= 0 ta s³ suy ra i·u væ lþ. Thªt vªy, theo ành lþ 1.13.3 th¼ tçn t¤i B tho£ x ∈B v A/B húu h¤n, câ c§p b¬ng n. Khi â, x∈ nA, v¼ x∈U(A), n¶n x = ny vîi gi¡ trà y n o â, suy ra B + x = B + ny = n(B + y) = 0. Do c§p cõa (A/B) l n, n¶n x∈B (m¥u thu¨n). Vªy U(A) ={0}.
Gi£ sû D l nhâm con chia ÷ñc cõa A. Suy ra,D⊆U(A)theo c¥u (a) th¼ D =
{0}. Vªy A l nhâm rót gån.
Nhªn x²t: Nhâm aben A l nhâm câ th°ng d÷ húu h¤n khi v ch¿ khi nhâm con Ulm cõa nâ l nhâm t¦m th÷íng.
1.14 Nhâm hopf - Nhâm cohopf
ành ngh¾a 1.14.1. Nhâm hopf. (hopfian group) l nhâm G m méi to n c§u
f :G→Gl mët ¯ng c§u. Nâi c¡ch kh¡c, nhâm hopf l nhâm m nâ khæng ¯ng c§u vîi b§t ký nhâm th÷ìng thüc sü n o cõa nâ.
Måi nhâm húu h¤n v måi nhâm ìn ·u l nhâm hopf.
Chùng minh
Gi£ sû câ to n c§uθ :G→Gkhæng l mët ¯ng c§u, gåi16=x∈kerθ. Do t½nh th°ng d÷ húu h¤n, n¶n tçn t¤i nhâm con chu©n tc M vîi ch¿ sè húu h¤n khæng chùa x. V¼ G l húu h¤n sinh n¶n tçn t¤i ch¿ húu h¤n n ¡nh x¤ çng c§u tø G v o Q = G/M. Gi£ sû: ν :G →G/kerθ l mët çng c§u tü nhi¶n v θ : G/kerθ → G
l ¯ng c§u g(kerθ)7→ gθ. N¸u ϕ1, ϕ2, ..., ϕn l t§t c£ n çng c§u tø G v o Q, c¡c
νθϕi ri¶ng bi»t, tø â câ thº c§u th nh c¡c çng c§u tø G v o Q, trong méi tr÷íng hñp x ÷ñc bi¸n th nh c¡c ph¦n tû ìn và. Tuy nhi¶n, çng c§u tü nhi¶nν :G7→Q
th¼ ph¦n tû x khæng chuyºn th nh ph¦n tû ìn và. Do â, câ n+1 çng c§u tø G v o Q (m¥u thu¨n). Vªy måi to n c§u θ :G7→G l ¯ng c§u, hay nhâm húu h¤n sinh câ th°ng d÷ húu h¤n l nhâm hopf.
ành lþ 1.14.3. Gi£ sû G l mët nhâm b§t ký (khæng nh§t thi¸t l nhâm aben), H l mët nhâm con b§t bi¸n cõa G tho£ i·u ki»n H v G/H l c¡c nhâm hopf. Khi â, G l nhâm hopf.
Chùng minh
Gåi s : G → G l mët to n c§u, ta s³ chùng minh s công l mët ìn c§u. Do t½nh b§t bi¸n ho n to n cõa H n¶n s[H]⊆H, khi âs0 :G/H →G/H công l mët to n c§u. Tuy nhi¶n s' công l mët ìn c§u v¼ G/H l nhâm hopf. °t r :H →H
l h¤n ch¸ cõa s tr¶n tªp H. Khi â, r l mët to n c§u. Thªt vªy, n¸u câ c∈H th¼ c = s(y) vîi gi¡ trà y n o â, v¼ s l to n c§u. Do â, H = Hs(y) = s'(Hy).
M°t kh¡c, Hy = H do t½nh ìn c§u cõa s' n¶ny∈H v r(y) = c, hay r l to n c§u. Tø k¸t qu£ n y v gi£ thuy¸t H l nhâm hopf n¶n r l mët ìn c§u. Cuèi còng, ta c¦n chùng minh s l mët ìn c§u. Gi£ sû s(x) = 1, th¼ s'(Hx) = H n¶n Hx = H do t½nh ìn c§u cõa s'. V¼ vªy, x∈H do â 1 = s(x) = r(x). Khi â, x = 1 do t½nh ìn c§u cõa r, suy ra s công l ìn c§u. Vªy G l nhâm hopf.
ành ngh¾a 1.14.4. Nhâm G l nhâm cohopf (cohopfian group) n¸u nâ khæng ¯ng c§u vîi nhâm con thüc sü cõa nâ. i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi t½nh ch§t måi ìn c§u (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
f :G7→Gcông l to n c§u.
T½nh ch§t: Måi nhâm húu h¤n vøa l nhâm hopf vøa l nhâm cohopf.
Nhâm (Q, + ) l nhâm hopf v công l nhâm cohopf. Thªt vªy, gi£ sû tçn t¤i B l mët nhâm con cõa Q m B ∼= Q. Khi â do Q l nhâm chia ÷ñc n¶n B l nhâm chia ÷ñc. M°t kh¡c måi nhâm con thªt sü cõa Q l nhâm rót gån, n¶n Q = B. Do â (Q, + ) l nhâm cohopf. Ngo i ra, (Q, + ) v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm hopf (theo T½nh ch§t 8)
Nhâm c¡c sè nguy¶n vîi ph²p to¡n cëng (Z, +) l nhâm hopf nh÷ng khæng ph£i l nhâm cohopf. Ngo i ra, måi nhâm aben húu h¤n sinh l nhâm hopf khæng ph£i nhâm cohopf trø khi nhâm â húu h¤n. Thªt vªy, do (Q, + ) v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm hopf, suy ra (Z, + ) l nhâm hopf. Tuy nhi¶n, (Z, +) khæng l nhâm cohopf, v¼ h2i ∼=Z.
Ch֓ng 2
Nhâm Qp v mð rëng cõa nhâm n y Nhâm c¡c sè húu t vîi ph²p to¡n cëng (Q, + ) l mët v½ dö iºn h¼nh v quen thuëc cõa lîp nhâm aben væ h¤n. Nhâm (Q, + ) câ nhi·u nhâm con trong â câ ba lo¤i: Lo¤i thù nh§t l tªp hñp c¡c sè húu t câ m¨u sè khæng ch½nh ph÷ìng (squarefree denominators); Lo¤i thù hai l tªp hñp c¡c sè húu t nhà nguy¶n (dyadic rationals), tùc l nhúng sè húu t câ d¤ng a
2k vîi a l sè nguy¶n v k l sè tü nhi¶n; Lo¤i thù ba l tªp hñp c¡c sè húu t câ khai triºn d÷îi d¤ng thªp ph¥n húu h¤n.
Tø thíi Ai Cªp cê ¤i ng÷íi ta ¢ bi¸t sû döng c¡c sè húu t nhà nguy¶n trong vi»c o ¤c vîi m¨u sè l¶n tîi 1/64. Tªp hñp c¡c sè húu t nhà nguy¶n l nhâm con (theo ph²p to¡n cëng) cõa nhâm ( Q, + ), hìn th¸ ¥y cán l mët v nh con giao ho¡n cõa tr÷íng sè húu t Q. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët v½ dö v· nhâm con cõa nhâm (Q, +), â l nhâm Qp gçm c¡c sè húu t câ d¤ng a
pn vîi a l sè nguy¶n, p l mët sè nguy¶n tè v n ∈Z. Qua vi»c kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t cõa nhâm Qp ta s³ suy ra ÷ñc c¡c t½nh ch§t cõa nhâm c¡c sè húu t nhà nguy¶n nh÷ l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa nhâm n y ùng vîi gi¡ trà p = 2 v n ∈N.
Sau ¥y, chóng tæi tr¼nh b y cö thº c¡c t½nh ch§t cõa nhâm Qp. 2.1 Nhâm Qp
ành ngh¾a 2.1.1. Cho p l mët sè nguy¶n tè, khi â nhâm Qp ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: Qp ={ a
pn|a/pn∈Q, n ∈Z}. Ð ¥y ta hiºu a
pn l ph¥n sè rót gån v a s³ thuëc tªp hñp sè nguy¶n Z, do â nhâm Qp s³ x¡c ành t÷ìng ùng vîi sè nguy¶n tè p.
¥y l nhâm ÷ñc ành ngh¾a vîi ph²p to¡n trong nhâm l ph²p cëng hai ph¦n tû thuëc Qp.
Thªt vªy, Qp 6=∅ do1∈Qp. Vîi a/pn v b/pm l hai ph¦n tû thuëc v o Qp th¼
a/pn+b/pm = ap
m+bpn
pm+n ∈ Qp. M°t kh¡c, −a/pn ∈ Qp v ph¦n tû 0 l ph¦n tû ìn và cõa nhâm.
Ngo i ra, nhâm Qp cán câ mët sè t½nh ch§t sau: T½nh ch§t 1. Qp l nhâm con cõa nhâm (Q, + ).
Chùng minh
Choa/pn,c/pm ∈Qp. Khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sûn ≤m. Khi â,(a/pn)−
(c/pm) = (a(pm−n)−c)/pm ∈Qp. Vªy Qp l nhâm con cõaQ. T½nh ch§t 2. Qp l nhâm khæng xon.
Chùng minh
Ta s³ chùng minh Q l nhâm khæng xon v tø i·u ki»n Qp l nhâm con cõa Q suy ra Qp l nhâm khæng xon.
Thªt vªy, choa/b ∈Q, gi£ sû c§p cõa a/b l n. Khi â, na/b= 0 don 6= 0 n¶n a = 0. Suy ra a/b = 0. Vªy Q tho£ ành ngh¾a nhâm khæng xon. V¼ Qp l nhâm con cõa Q, n¶n Qp l nhâm khæng xon.
T½nh ch§t 3. Qp l nhâm p-chia ÷ñc. Chùng minh
Vîi måi ph¦n tûa/pn∈Qp th¼ tçn t¤i ph¦n tûa/pn+1 ∈Qpv a/pn=p(a/pn+1). Vªy Qp l nhâm p-chia ÷ñc.
T½nh ch§t 4. Cho q l sè nguy¶n tè, q 6=p. Khi â, Qp khæng câ nhâm con q-chia ÷ñc khæng t¦m th÷íng.
Chùng minh
Gi£ sû F l mët nhâm con q-chia ÷ñc, ta c¦n chùng minh F l nhâm con t¦m th÷íng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thªt vªy, gi£ sû a/pn∈F, º chùng minh a/pn = 0 th¼ c¦n chùng minh a = 0, º thüc hi»n ÷ñc i·u n y th¼ c¦n qk|a, vîi måi sè tü nhi¶n k. Do t½nh ch§t q-chia ÷ñc cõa F, n¶n câ ph¦n tûb/pm ∈F sao choa/pn =qk(b/pm). Suy raqkpnb=pma, d¨n ¸n qk|pma. Do q v p l hai sè nguy¶n tè kh¡c nhau, n¶n pm v qk l hai sè nguy¶n tè còng nhau. Suy ra qk|a, do â, a = 0 v a/pn = 0. Vªy F l mët nhâm con t¦m th÷íng.
T½nh ch§t 5. Z⊆Qp. Chùng minh
2.1. NHÂMQP 37 Do 1 = 1/p0,1 ∈ Qp. Do nhâm c¡c sè nguy¶n Z vîi ph²p to¡n cëng l nhâm xyclic sinh bði ph¦n tû 1 n¶n Z⊆Qp.
T½nh ch§t 6. Qp l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc. Chùng minh
Ta chùng minh nhâm c¡c sè húu t Qvîi ph²p to¡n cëng v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc.
Thªt vªy, gåi H l nhâm con cõaQ, gi£ sûH =A×C vîi A v C l c¡c nhâm con khæng t¦m th÷íng ta s³ suy ra sü m¥u thu¨n. Gi£ sû câ c¡c ph¦n tû kh¡c khæng
a/b ∈ A v j/k ∈ C. Do c£ A v C ·u l nhâm con cõa Q, n¶n n(a/b) ∈ A v
n(j/k)∈C vîi måi sè nguy¶n n. Tr÷íng hñp °c bi»t khi n=jb, jb(a/b) = ja∈A
v khi n=ak, ak(j/k) = aj ∈C. Do â ja∈A v aj ∈C. V¼ th¸, ja∈A∩C. Do
H =A×C, suy ra A∩C l nhâm con t¦m th÷íng. Suy ra, ja = 0, n¶n j = 0 ho°c a = 0. Do â, A l nhâm con t¦m th÷íng hay C l nhâm con t¦m th÷íng. Vªy H l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc.
Do Qp l nhâm con cõa nhâm (Q, + ) n¶n Qp l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc. T½nh ch§t 7. Qp l nhâm khæng thäa i·u ki»n DCC v ACC.
Chùng minh
Thªt vªy gåi H l mët nhâm con thüc sü cõaQp tho£ i·u ki»n {0} 6=H < Qp. Do H l nhâm con thüc sü cõa Qp n¶n tçn t¤i ph¦n tû x∈Qp m x khæng thuëc H. Khi â, {0} 6= H < H⊕ hxi < Qp, v¼ Qp l nhâm p-chia ÷ñc n¶n tçn t¤i y ∈Qp m x = py, hay x ⊆ hyi. Vªy nhâm Qp khæng thäa i·u ki»n ACC. Chùng minh t÷ìng tü Qp l nhâm khæng thäa i·u ki»n DCC.
Bê · 2.1.2. N¸u B l nhâm con khæng t¦m th÷íng cõa Q, th¼Q/B l nhâm xon. Chùng minh
Gi£ sû i/j ∈B, i/j 6= 0. Suy ra,i= 06 . Gåi B+x∈Q/B ta s³ chùng minh c§p cõa (B + x) l húu h¤n. Do x∈Q, x=m/n vîi c¡c sè nguy¶n m, n v (in)x = im l ph¦n tû thuëc hii. V¼ i/j ∈ B d¨n ¸n i=j(i/j)∈ B do â (in)x ∈B. Suy ra, (in)(B + x) = 0. Tø i·u n y v in 6= 0 (do i 6= 0, n 6= 0), n¶n B + x câ c§p húu h¤n. Vªy Q/B l nhâm xon.
T½nh ch§t 8. Qp l nhâm hopf. Chùng minh
Ta chùng minh Q v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm hopf. Thªt vªy, gåi H l nhâm con cõa Q. Gi£ sû B l nhâm con khæng t¦m th÷íng cõa H m H/B ∼=H ta s³ d¨n ¸n mët i·u m¥u thu¨n. Do B l nhâm con khæng t¦m th÷íng, n¶nQ/B l nhâm con xon theo Bê · 2.1.2. V¼ H/B l nhâm con cõa Q/B, n¶n H/B l nhâm
xon. Do H/B ∼=H n¶n H l nhâm con xon. M°t kh¡c, H l nhâm con cõaQ v Q l nhâm khæng xon, suy ra H l nhâm khæng xon. Do â, H vøa l nhâm con xon vøa l nhâm khæng xon n¶n nâ ph£i l nhâm con t¦m th÷íng, suy ra B l nhâm con t¦m th÷íng. Vªy Q v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm hopf, suy ra Qp l nhâm hopf.
T½nh ch§t 9. Qp l nhâm xyclic àa ph÷ìng. Chùng minh
Ta s³ chùng minh Ql nhâm xyclic àa ph÷ìng. V¼ Qp l nhâm con cõa Q n¶n nâ l nhâm xyclic àa ph÷ìng.
Thªt vªy, gi£ sû H l nhâm con húu h¤n sinh cõa Q vîi c¡c ph¦n tû sinh
a1/b1, a2/b2, ..., an/bn. Ta s³ chùng minh H l nhâm xyclic. Méi m¨u sè bi câ thº ÷ñc gi£ thuy¸t l sè d÷ìng, v¼ n¸u câ ph¦n tû bi < 0 th¼ −bi > 0 v thay th¸
ai/bi bði −ai/bi. X²t tªp {b1, b2, ..., bn} c¡c m¨u sè d÷ìng ta chån sè lîn nh§t v kþ hi»u l bk. Khi â bi ≤ bk,∀i,1 ≤ i ≤ n. Suy ra bi|bk!. Vªy câ mët sè nguy¶n
ci tho£ bici = bk!,∀i,1 ≤ i ≤ n. X²t nhâm con S = h1/bk!i. V¼ 1/bk! ∈ S suy ra
aici(1/bk!) ∈ S vîi måi i. Do â aici/bici = ai/bi ∈ S vîi måi i. Do måi ph¦n tû sinh cõa H ·u thuëc v o S, n¶n H l nhâm con cõa S. M°t kh¡c S l nhâm xyclic n¶n nhâm con H công l nhâm xyclic. Vªy Q l nhâm xyclic àa ph÷ìng, suy ra,
Qp công l nhâm xyclic àa ph÷ìng.
Bê · 2.1.3. N¸u G l nhâm xyclic àa ph÷ìng th¼ d n c¡c nhâm con L(G) l d n ph¥n phèi.
Chùng minh
Nhªn x²t r¬ng n¸u x v y l hai ph¦n tû cõa G, v¼ G l nhâm xyclic àa ph÷ìng n¶n x, y ∈ hai, vîi sè a n o â. V¼ th¸ x v y giao ho¡n ÷ñc vîi nhau. Do â G l nhâm aben.
M°t kh¡c, ta s³ chùng minh A+ (B ∩C) = (A+B)∩(A+C) vîi måi nhâm con A, B v C. Thªt vªy, v¼ B ∩C ⊆ B d¨n ¸n A+ (B∩C)⊆ (A+B). T÷ìng tü, A+ (B ∩C)⊆(A+C). Suy ra, A+ (B∩C)⊆(A+B)∩(A+C). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
º chùng minh bao h m thùc ng÷ñc l¤i, gåi x ∈ (A+B)∩(A+C) khi â,
x=a1+b =a2+cvîia1, a2 ∈A;b∈B;c∈C. V¼ G l nhâm xyclic àa ph÷ìng n¶n
hb, cil nhâm xyclic. Gåi w l ph¦n tû sinh cõahb, ci, khi â b = mw v c = nw vîi m, n l c¡c sè nguy¶n. Gåi d l ÷îc chung lîn nh§t cõa m v n. Do â,m =dm∗, n=dn∗
vîi m*, n* l c¡c sè nguy¶n tè còng nhau. Suy ra tçn t¤i sè nguy¶n i v j tho£ im* + jn* = 1. Nhªn x²t,dm∗n∗w=m∗(dn∗)w=m∗nw=m∗c∈C. M°t kh¡c,dm∗n∗w=
n∗(dm∗)w =n∗(mw) =n∗b∈ B. Suy ra, dm∗n∗w∈ B∩C. Do im∗+jn∗ = 1, x=
im∗x+jn∗x = im∗(a2 +c) +jn∗(a1 +b) = im∗a2 +im∗c+ jn∗a1 +jn∗b. °t
a3 =im∗a2+jn∗a1. Suy raa3 ∈Av x=a3+ (i+j)dm∗n∗w. Dodm∗n∗w∈B∩C. Suy ra (A+B)∩(A+C)⊆A+ (B∩C). Vªy (A+B)∩(A+C) = A+ (B∩C).
2.1. NHÂMQP 39 Do â, d n c¡c nhâm con L(G) l d n ph¥n phèi.
T½nh ch§t 10. D n c¡c nhâm con L(Qp) l d n ph¥n phèi. Chùng minh
Theo T½nh ch§t 9 th¼ Qp l nhâm xyclic àa ph÷ìng v Bê · 2.1.3 th¼ L(Qp) l d n ph¥n phèi.
T½nh ch§t 11. Qp l nhâm ìn thu¦n tuþ. Chùng minh
Ta s³ chùng minh Qv c¡c nhâm con cõa nâ l ìn thu¦n tuþ. Thªt vªy, gi£ sû H l nhâm con cõa Q v B l nhâm con thu¦n tóy khæng t¦m th÷íng cõa H, ta s³ chùng minh B = H. Chox∈H th¼ B+x∈Q/B, khi â B + x câ c§p húu h¤n, gi£ sû l n (theo Bê · 2.1.2). Suy ra, n(B + x) = 0 hay nx ∈B. V¼ vªy, nx∈nH∩B
do t½nh thu¦n tuþ cõa B trong H d¨n ¸n nx ∈nB. Suy ra nx=nb, b∈B. Do â, n(x - b) = 0. Tø i·u n y v gi£ thuy¸t Ql nhâm khæng xon d¨n ¸n x = b. Suy ra, x∈B, hay B = H. VªyQ v c¡c nhâm con cõa nâ l nhâm ìn thu¦n tuþ, n¶n