Một số dạng toán đại số nâng cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 i Lời cảm ơn Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới người thầy đáng kính TS. Nguyễn Văn Ngọc, thầy đã không ngại khó khăn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình xây dựng đề cương, làm và hoàn thiện luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy cô giáo, Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên những người đã tạo điều kiện về mọi mặt để em được tham gia học tập và hoàn thành khóa học. Đồng thời em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, các bạn học viên lớp K7Q những người luôn lắng nghe, đóng ghóp ý kiến, giúp đỡ, động viên em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng do năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em rất mong nhận được ý kiến đóng ghóp của các thầy cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Học viên Phạm Thùy Linh ii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu 1 1 Đồng nhất thức 3 1.1 Hằng đẳng thức và căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Các hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Ứng dụng một hằng đẳng thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Ứng dụng một hằng đẳng thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Các bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Ứng dụng tam thức bậc hai trong phân thức hữu tỷ 14 1.4.2 Ứng dụng của một đồng nhất thức trong phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Đa thức đối xứng và một số ứng dụng 22 2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Chứng minh các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Đa thức đối xứng hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Đa thức đối xứng ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn 44 3.1 Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.1 Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.2 Cách giải phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.3 Các bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.1 Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2 Phương trình trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . 56 iii 3.2.3 Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.4 Phương trình bậc bốn khuyết lũy thừa bậc ba . . . . 61 3.2.5 Một số dạng phương trình khác . . . . . . . . . . . . 63 3.2.6 Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn . . 67 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 1 Mở đầu Đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình v.v là những chuyên mục đại số quan trọng được dạy ở bậc phổ thông. Các bài toán của các chuyên mục này (và của hầu hết các chuyên mục khác) có thể được phân thành các loại như: cơ bản, nâng cao và khó. Các bài toán nâng cao và khó thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp hoặc thi vào trường chuyên. Các bài toán loại này thu hút được nhiều người dạy và học, kích thích sự tò mò, đam mê, góp phần nâng cao chất lượng học tập. Do đó, việc tìm hiểu, thu thập, sáng tác và biên tập các bài toán nâng cao và khó là cần thiết cho công việc giảng dạy và học tập toán học ở bậc phổ thông. Mục đích của luận văn này là giới thiệu các bài toán nâng cao và khó (gọi chung là nâng cao) của một số chuyên mục trong đại số như: đồng nhất thức, bất đẳng thức và phương trình đại số. Đó là những chuyên mục của cơ bản của đại số ở bậc phổ thông, nhất là trung học cơ sở. Luận văn có cấu trúc: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Đồng nhất thức. Chương này trình bày một số dạng toán nâng cao về đa thức và phân thức, đặc biệt khai thác một số hằng đẳng thức áp dụng tính giá trị của các biểu thức khá phức tạp, chứng minh đẳng thức, phân tích thành nhân tử, v.v Trình bày một số tính chất của phân thức hữu tỷ và áp dụng tính giá trị của các biểu thức phân thức hữu tỷ v.v Chương 2: Đa thức đối xứng và một số ứng dụng. Các bài toán có tính đối xứng, nhất là các bài toán vê bất đẳng thức, thường khá đẹp về hình thức và độc đáo về cách giải nên rất hấp dẫn người dạy và học toán sơ cấp ở bậc phổ thông. Một trong những công cụ hiệu quả giải các bài toán có tính đối xứng là vận dụng lý thuyết đa thức đối xứng mà cụ thể là công thức Waring về biểu diễn các tổng lũy thừa theo các đa thức đối xứng cơ sở. Lý thuyết đa thức đối xứng và áp dụng bằng tiếng Việt có thể tìm thấy trong tài liệu [2]. Chương này được hình thành trên cơ sở tài liệu [2], tuy nhiên các bài toán trình bày trong chương này hoàn toàn chưa được giới thiệu trong tài liệu nói trên, trong số đó có nhiều bài do tác giả sáng tác. Các bài toán 2 về bất đẳng thức chiếm một vị trí đáng kể trong số các bài toán được giới thiệu trong chương này. Chương 3: Phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn. Phương trình và hệ phương trình đại số là chuyên mục trung tâm của đại số và đã dược dạy từ bậc trung học cơ sở. Hiện nay đã có một số lượng lớn các tài liệu giới thiệu về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai. So với các phương trình cấp thấp, các phương trình bậc cao hơn, như bậc ba và bậc bốn không được giới thiệu tổng quát ở bậc phổ thông, mặc dù đã có những phương trình cụ thể có thể dễ dàng đưa về phương trình bậc thấp hơn. Ngoài ra, số lượng cũng như mức độ khó của các phương trình bậc cao cũng còn hạn chế, do đó, chương này của luận văn dành cho việc trình bày cách giải các phương trình bậc ba, bậc bốn và nghiên cứu các bài toán khác nhau liên quan đến hai lớp phương trình này. Các bài toán được giới thiệu ở đây đa phần là các bài toán khó được lấy từ các đề thi vào đại học hay thi học sinh giỏi các cấp của các nước. Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1] và [4]. 3 Chương 1 Đồng nhất thức Chương này trình bày một số dạng toán nâng cao về đa thức và phân thức, đặc biệt khai thác một số hằng đẳng thức áp dụng tính giá trị của các biểu thức khá phức tạp, chứng minh đẳng thức, phân tích thành nhân tử, v.v Trình bày một số phương pháp tính giá trị của các biểu thức phân thức hữu tỷ. Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [5-8], [9] và [??]. 1.1 Hằng đẳng thức và căn thức 1.1.1 Các hằng đẳng thức 1. Bình phương của một tổng, hiệu (a ±b) 2 =a 2 ±2ab +b 2 =(a ∓b) 2 ±4ab. 2. Hiệu hai lũy thừa cùng bậc a n −b n =(a −b)(a n−1 +a n−2 b + +ab n−2 +b n−1 ). 3. Tích hai tổng của hai bình phương (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 )=(ax +by) 2 +(ay −bx) 2 . 4. Tổng của hai lũy thừa cùng bậc lẻ a 2n+1 +b 2n+1 =(a +b)(a 2n −a 2n−1 b + −ab 2n−1 +b 2n ). 5. Lũy thừa của tổng hai số (Nhị thức Newton) (a +b) n = n  k=0 C k n a n−k b k , C k n = n! k!(n −k)! , n! =1.2 n, 0! =1. 4 1.1.2 Căn thức Căn bậc n(n ∈N, n ≥2)của một số thực a là số thực b (nếu có) sao cho b n =a. 1. Căn bậc lẻ (n =2k +1): Mọi số thực đều có căn bậc lẻ và chỉ có một căn bậc lẻ được ký hiệu là 2k+1 √ a. 2. Căn bậc chẵn (n =2k): Số thực âm không có căn bậc chẵn. Số 0 có căn bậc chẵn là 0. Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau là 2k √ a và − 2k √ a (trong đó 2k √ a ≥0). Một số phép biến đổi căn thức cơ bản a. Biến đổi căn bậc lẻ 2k+1 √ A 2k+1 =A; 2k+1 √ A 2k+1 B =A. 2k+1 √ B 2k+1 √ A.B = 2k+1 √ A. 2k+1 √ B; 2k+1  A B = 2k+1 √ A 2k+1 √ B , B ≠0. b. Biến đổi căn bậc chẵn 2k √ A 2k =A; 2k √ AB = 2k  A. 2k  B AB ≥0 2k  A B = 2k  A 2k  B AB ≥0, B ≠0; 2k √ A 2k .B =A. 2k √ B, B ≥0. 1.1.3 Một số bài toán Bài toán 1.1. Phân tích thành nhân tử a. x 4 −6x 3 +11x 2 −6x +1. b. 6x 5 −15x 4 +20x 3 −15x 3 +6x −1. Lời giải. a. Ta có x 4 −6x 3 +11x 2 −6x +1 =(x 4 −6x 3 +9x 2 )+(2x 2 −6x)+1 =(x 2 −3x) 2 +2(x 2 −3x)+1 =(x 2 −3x +1) 2 . b. Khai triển nhị thức Newton (x −1) 6 =x 6 −6x 5 +15x 4 −20x 3 +15x 3 −6x +1. 5 Do đó 6x 5 −15x 4 +20x 3 −15x 3 +6x −1 =x 6 −(x −1) 6 =[x 3 −(x −1) 3 ][x 3 +(x −1) 3 ] =[x 2 +x(x −1)+(x −1) 2 ][(2x −1)(x 2 −x(x −1)+(x −1) 2 ] =(3x 2 −3x +1)(2x −1)(x 2 −x +1). Bài toán 1.2. Phân tích thành nhân tử các biểu thức a. x 8 +x 4 +1. b. x 10 +x 5 +1. Lời giải. a. Ta có x 8 +x 4 +1 =(x 8 +2x 4 +1)−x 4 =(x 4 +1) 2 −x 4 =(x 4 +x 2 +1)(x 4 −x 2 +1) =(x 4 +2x 2 +1 −x 2 )(x 4 +2x 2 +1 −3x 2 ) =[(x 2 +1) 2 −x 2 ][(x 2 +1) 2 −( √ 3x) 2 ] =(x 2 +x +1)(x 2 −x +1)(x 2 + √ 3x +1)(x 2 − √ 3x +1). b. Ta có x 10 +x 5 +1 =(x 10 +x 9 +x 8 )−(x 9 +x 8 +x 7 ) +(x 7 +x 6 +x 5 )−(x 6 +x 5 +x 4 ) +(x 5 +x 4 +x 3 )−(x 3 +x 2 +x)+(x 2 +x +1) =(x 2 +x +1)(x 8 −x 7 +x 5 −x 4 +x 3 −x +1). Bài toán 1.3. Phân tích thành nhân tử a. x 3 +y 3 +z 3 −3xyz. b. (x +y +z) 3 −x 3 −y 3 −z 3 . Lời giải. a. Ta có x 3 +y 3 +z 3 −3xyz =(x +y) 3 −3xy(x +y)+z 3 −3xyz =[(x +y) 3 +z 3 ]−3xy(x +y +z) =(x +y +z)[(x +y) 2 −(x +y)z +z 2 ] −3xy(x +y +z) =(x +y +z)(x 2 +y 2 +z 2 −xy −yz −zx). [...]... − (a + b) b) Để chứng minh (1.5) chúng ta viết vế phải của đẳng thức này ở dạng a2 + b2 + ab ab = a+b− a+b a+b 1 1 1 1 và áp dụng công thức (1.3) khi thay các số a, b, c bởi các số , , −( + ) a b a b Bài toán 1.10 Cho a, b, c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau Chứng minh rằng √ 1 1 1 S= + + 2 2 (a − b) (b − c) (c − a)2 là một số hữu tỷ Lời giải Vì (a − b) + (b − c) + (c − a) = 0 nên theo công thức (1.3)... nguyên với mọi số nguyên a, b, c, m; m ≥ 1 Lời giải Ta thấy (a + b + c)am+1 + abcam−1 a = (a − b)(a − c) (a − b)(a − c) m (a + b)(a + c) Biến đổi tương tự các các số hạng sau ta được Tm = (a + b + c)Xm+1 + abcXm−1 Áp dụng kết quả bài toán 1.23 ta được điều phải chứng minh 22 Chương 2 Đa thức đối xứng và một số ứng dụng Chương này trình bày cơ sở của đa thức đối xứng và một số bài toán áp dụng, chủ... cho 3, trái với giả thiết c) Vậy, chỉ còn trường hợp là cả ba số x, y, z đều có cùng số dư khi chia cho 3 Khi đó 3(x − y )(y − z )(z − x) chia hết cho 3.3.3.3 = 81 nên M chia hết cho 81 13 Bài toán 1.18 Cho k là một số nguyên Xét biểu thức √ √ √ √ 3 3 2−1+ y= k+ k k − k 2 − 1 + 1 Chứng minh rằng y 3 − 3y 2 là một số nguyên Lời giải Đặt √ √ 3 a = k + k 2 − 1, Ta có b= √ 3 k− √ k 2 − 1, c = 1 − y a3... được X4 , X5 Như vậy là nhờ công thức truy hồi toán (1.27) và X0 = X1 = 0, X2 = 1 ta giải được bài toán 1.23 và tính được mọi tổng Xk (k ≥ 3) Bài toán 1.24 Giả sử m, n, p, q là các số nguyên khác nhau bất kì Chứng minh rằng nk pk mk + + (m − n)(m − p)(m − q ) (n − p)(n − q )(n − m) (p − q )(p − m)(p − n) + qk (q − m)(q − n)(q − p) Là số nguyên với mọi số nguyên k ≥ 0 Lời giải Ta có đồng nhất thức (x... x) Xét các số dư của các số x, y, z cho 3 ( là 0, 1, 2): a) Nếu cả ba số dư là khác nhau thì x + y + z chia hết cho 3, trong khi đó (x − y )(y − z )(z − x) không chia hết cho 3, trái với giả thiết b) Nếu có hai số dư bằng nhau thì x + y + z không chia hết cho 3, trong khi đó một trong ba hiệu (x − y ), (y − z ), (z − x) chia hết cho 3, trái với giả thiết c) Vậy, chỉ còn trường hợp là cả ba số x, y, z... + bσ1 σ2 + cσ3 ), trong đó a, b, c là các hằng số Định nghĩa 2.4 Đa thức đối xứng ba biến với các số hạng tối thiểu, một trong các số hạng đó là đơn thức xk y m z l được gọi là quỹ đạo của đơn thức xk y m z l và được ký hiệu là O(xk y l z m ) Định lý 2.4 ([2]) Quỹ đạo của mọi đơn thức biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ sở ˆ Một vài trường hợp riêng thường gặp O(xy ) = σ2... ac)(a + c) + (c2 − ab)(a + b) Rõ ràng f (a) là một tam thức bậc hai đối với a và có các nghiệm a = b, a = c và a = 0 Nếu b, c khác nhau và đều khác 0 thì ba số này đôi một khác nhau, nên f (a) đồng nhất bằng 0 và ta có Q = 0 Nếu b = 0, hoặc c = 0 hoặc b = c thì ta đều có f (a) = 0 suy ra Q = 0 1.4.2 Ứng dụng của một đồng nhất thức trong phân thức hữu tỷ Với các số thực a1 , a2 , , an , ta đặt n σ1 (n) =... )(a2 − a1 ) ak n + + = 0 (an − a1 )(an − a2 ) (an − an−1 ) (1.19) Khi đó đẳng thức (1.18) có dạng Xk+n − σ1 Xk+n−1 + σ2 Xk+n−2 + + (−1)n σn Xk = 0 (1.20) Bài toán 1.23 Giả sử m, n, p là các số nguyên khác nhau bất kì Chứng minh rằng mk nk pk + + (m − n)(m − p) (n − p)(n − m) (p − m)(p − n) 18 là số nguyên với mọi số nguyên k ≥ 0 Lời giải Ta có đồng nhất thức (x − a)(x − b)(x − c)xk = xk+3 − σ1 xk+2 +... Vậy A = 0 Một số bài toán cùng dạng Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 2 x7 − 2x6 + 3x5 − 3x4 + 3x3 − 3x2 + 2x − 1 3 (x − y )3 + (y − z )3 + (z − x)3 4 (x + y + z )3 − (x + y − z )3 − (y + z − x)3 − (z + x − y )3 Đơn giản các biểu thức 5 (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1) (364 + 1) ax2 + by 2 + cz 2 6 bc(y − z )2 + ca(z − x)2 ) + ab(x − y )2 1.2 1.2.1 Ứng dụng một hằng... Bài toán 1.21 Đơn giản biểu thức P= a − b b − c c − a (a − b)(b − c)(c − a) + + + a + b b + c c + a (a + b)(b + c)(c + a) Lời giải Sau khi quy đồng mẫu số ta có tử số f (a) = (a − b)(b + c)(c + a) + (b − c)(c + a)(a + b) + (c − a)(a + b)(b + c) + (a − b)(b − c)(c − a) Nhận xét rằng f (a) là một tam thức bậc hai đối với a và có các nghiệm a = b, a = c, a = 0 Nếu b, c khác nhau và đều khác 0 thì ba số . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN. giảng dạy và học tập toán học ở bậc phổ thông. Mục đích của luận văn này là giới thiệu các bài toán nâng cao và khó (gọi chung là nâng cao) của một số chuyên mục trong đại số như: đồng nhất thức,