Tuyển tập đề thi HSG Quốc gia ĐHSP Hà Nội

Về phía ngoài của lục giác ta dựng các tam giác MAB, NBC, PCD, QDE, REF, SFA đồng dạng và cân tại M, N, P, Q, R, S a Chứng minh rằng hai lục giác ABCDEF và MNPQRScó cùng trọng tâm b Gọi

Trang 1

Khối THPT chuyên Độc lập – Tự do - Hạnh phúc

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 10

Năm học 2006-2007 Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1 Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn a4b4c4 3 Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) a b c a b b c c a

Câu 2 Cho n là số nguyên dơng, n1và n là ớc của3n2 Chứng minh rằng n chia hếtn cho 5

Câu 3 Cho các đa thức hệ số thực  3 2 

P(x) x ax bx c vàQ(x)x2 x 2007 Biết rằng P(x) có ba nghiệm thực phân biệt và đa thức P(Q(x)) vô nghiệm Chứng minh rằng

 1

P(2007)

64

Câu 4 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp trong đờng tròn O, R và  ABCDEF Về phía ngoài của lục giác ta dựng các tam giác MAB, NBC, PCD, QDE, REF, SFA đồng dạng và cân tại M, N, P, Q, R, S

a) Chứng minh rằng hai lục giác ABCDEF và MNPQRScó cùng trọng tâm

b) Gọi O , O theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác1 2 MPR, NQS Chứng minh rằng ba điểm O, O , O thẳng hàng1 2

Trờng đại học s phạm Hà Nội

Khối THPT chuyên

Cộng hoà x hội chủ nghĩa Việt Namã hội chủ nghĩa Việt Nam

Độc lập – Tự do - Hạnh phúc

Trang 2

Câu 1 Cho các số dơng x, y, z thoả mãn x  y z 3

2 Chứng minh rằng:

x 2x y 1 y 2y z 1 z 2z x 1 243

4

Câu 2 Cho tam giác ABC vuông tại A và B < C Tiếp tuyến tại A của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đờng thẳng BC tại điểm D Gọi E là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng BC X là chân đờng cao hạ từ A xuống đờng thẳng BE và Y là trung điểm của đoạn thẳng AX Đờng thẳng BY cắt đờng tròn nói trên tại điểm thứ hai Z Chứng minh rằng đ-ờng thẳng BD là tiếp tuyến của đđ-ờng tròn ngoai tiếp tam giác ADZ

Câu 3 Cho hàm số f:  thoả mãn các điều kiện sau:

1) Với mọi m, n mà mn thì f(m)  f(n)

2) f(f(x))n4f(x), n  

5

Chứng minh rằngf(n)   n, n 

Chú thích:  là tập hợp các số nguyên dơng

Câu 4 Cho m viên bi đựng trong n cái hộpm, n4 , có thể có hộp nào đó không có bi

và số bi trong các hộp không nhất thiết phải bằng nhau Bạn Phơng thực hiện một trò chơi

nh sau: Mỗi lần Phơng lấy ra hai viên ở hai hộp nào đó và bỏ vào hộp thứ ba Chứng minh rằng sau một số bớc, bạn Phơng có thể bỏ hết các viên bi vào một hộp Hãy giải bài toán với các trờng hợp sau của m, n

 

1) m n 4



2) m, n 4 tuỳ ý

Khối THPT chuyên Cộng hoà x hội chủ nghĩa Việt Namã hội chủ nghĩa Việt Nam

Đề thi Chọn đội dự tuyển toán

Câu 1 Cho a, b, clà độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng:

Trang 3

3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2

a (b c) b (a c) c (a b) a (b c) b (a c) c (a b)

Câu 2 Cho tập hợpX2, 3, 4, 2006 Một tập con M của X đợc gọi là có tính chất T nếu M có đúng 1003 phần tử và với hai phần tử u, v bất kì thuộc M (uv) ta đều có

u không thuộc M v

a) Hãy chỉ ra một tập con của M có tính chất T

b) Chứng minh rằng tồn tại đúng một tập con M của X có tính chất T sao cho phần tử nhỏ nhất của M không vợt quá 1001

Câu 3 Cho tam giác ABC và các điểm A , B , C tơng ứng thuộc các cạnh 1 1 1 BC, CA, AB Gọi A , B , C theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua trung điểm của2 2 2

B C , C A , A B Chứng minh rằng

a) AA , BB , CC đồng quy khi và chỉ khi 1 1 1 AA , BB , CC đồng quy2 2 2

b) S A B C 1 1 1 S A B C 2 2 2

(Kí hiệu S MNP là diện tích của tam giác MNP) 

Câu 4 Tìm tất cả các hàm số f  



: sao cho:

 

f x 22y.f x f y  f y f y , x, y     

Khối THPT chuyên

Đề thi Chọn đội dự tuyển toán

(ngày 2)

Bài 1 Chứng minh rằng, tồn tại vô số cặp số nguyên dơng (x, y) nghiệm đúng phơng trình sau:

2

2 x

y

 

 

 

Bài 2 Cho các số a, b, cdơng Chứng minh rằng:

Trang 4

2 2 2

2(a b c) 9ab (a b c) 9bc (a b c) 9ac (a b c)

 

Bài 3 Cho dãy  fn n 1 xác định nh sau (dãy Fibonaci)

f f 1; f f  f  n 3

Giả sử, với một số n nào đó, a, b là hai số nguyên thoả mãn điều kiện:

 

Chứng minh rằng bfn 1

Bài 4 Tìm tất cả các đa thức P(x) khác 0, hệ số là các số thực không âm, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2007 và thoả mãn điều kiện sau:

         

 

2 1

x

Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) ngoại tiếp đờng tròn (I) A ', B ', C ' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của I trên các tiếp tuyến với (O) tại A, B, C R, r theo thứ

tự là bán kính của (O), (I) Chứng minh rằng

 



 

 

3

2r

Đề kiểm tra đội dự tuyển lần I

Câu 1 Giải hệ phơng trình sau:









3

x 27 x x 1 135 9y

y 27 y y 1 135 9z

z 27 z z 1 135 9x

Câu 2 Chứng minh rằng, tồn tại vô số cặp số nguyên dơng m, n sao cho

2

Câu 3 Cho m là số nguyên dơng Tìm tất cả các số nguyên dơng k để:



m n 2n

k

Trang 5

Câu 4 Đặt         

Chứng minh rằng:

        *

f n f n 1 , n

Câu 5 Cho hàm f : 0;    thoả mãn các điều kiện:

i) Tồn tại số thực a sao cho f a 1

   

f x f x f f 2f xy , x 0, y 0

Chứng minh rằng f là hàm hằng

Câu 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Điểm P thay đổi trên đờng thẳng BC, đ-ờng thẳng AP cắt đđ-ờng tròn (O) tại điểm thứ hai N, đđ-ờng tròn đđ-ờng kính AP cắt đđ-ờng tròn (O) tại điểm thứ hai E, đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại M Chứng minh rằng

a) Đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

b) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định

Câu 7 Cho tậpA  a ; a ; , a1 2 10 , ai, i 1,10 Xét các số tự nhiên m1024 Chứng minh rằng tồn tại tập hợp SAsao cho nếu aSthì  a S và tổng các phần tử của S chia hết cho m

Đề thi học sih giỏi toán lớp 10

Câu 1 Cho hai số thực a, b thoả mãn điều kiện ab a b3 Chứng minh bất đẳng thức sau:

Bài 2 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lẻ, a là số tự nhiên và n là số tự nhiên thoả mãn điều kiện p p  n

2 3 a thì n1

Bài 3 Giả sử đa thức P x  x2008a x1 2007a x2 2006 a 2007x a 2008 có 2008 nghiệm thực Chứng minh rằng 2007a12 4016a2

Trang 6

Bài 4 Chứng minh rằng trong 53 số nguyên dơng khác nhau có tổng không vợt quá 2008 luôn tìm đợc hai số có tổng bằng 32

Bài 5 Cho tam giác ABC nhọn, không cân tại A, nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại S SO theo thứ tự cắt AB, AC tại E, F M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng AO, EN, FM đồng quy

Đề thi chọn đội tuyển toán

(ngày 1) Bài 1 Giải hệ phơng trình:







Bài 2 Tìm tất cả các số tự nhiên k sao cho tồn tại các số tự nhiên a, b, , d thoả mãn các

điều kiện sau



   

2

k 1

2

ii) d a k và adbc

Bài 3 Cho dãy số Sn xác định nh sau:







i n

*

i 1

i 2

a) Chứng minh rằng tồn tai n sao cho Sn Sn 1

b) Chứng minh rằng dãy Sncó giới hạn, tính giới hạn của dãy

Bài 4 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB và khác A, B, C Chứng minh rằng m MNP 2m ABC (  m XYZ là độ dài đờng cao nhỏ 

nhất của tam giác XYZ

Trang 7

trong ba màu đỏ, xanh, vàng sao cho mỗi màu không có ít hơn 6 điểm đợc tô

a) Tìm số lớn nhất các cặp điểm (không kể thứ tự) cùng màu

b) Chứng minh rằng tồn tại ba điểm đôi một khác màu A , A , A với m n p m n p

Bài 1 Cho các số a, b, c thuộc tập hợp nghiệm của bất phơng trình x2  3x 3 1 và cho

các số m, n thuộc tập nghiệm của bất phơng trình x2 8x 19 4 Giả sử

a b c m n 12 Tìm giá trị lớn nhất của tích abcnm

Bài 2 Tìm hàm số f :  thoả mãn các điều kiện sau:

 



 1)f x y f x f y 2008xy 2007, x,y

2)f 1 2007

Bài 3 Cho số nguyên tố p và số nguyên dơng n thoả mãn điều kiệnnp 1 là số chính

ph-ơng Chứng minh rằng n 1 là tổng của p số chính phơng (các số chính phơng này có thể bằng nhau)

Bài 4 Cho tam giác ABC không đều với trọng tâm G và đờng tròn nội tiếp (I) M, N, P theo thứ tự là tiếp điểm của các đờng tròn bàng tiếp đối diện với các đỉnh A, B, C với các cạnh BC, CA, AB

1) Chứng minh rằng AM, BN, CP và GI dồng quy tại một điểm

2) Chứng minh rằng điểm đồng quy nói trên thuộc đờng tròn (I) khi và chỉ khi 3a b c

3b a c

3c a b

 



  



  



với a, b, c theo thứ tự là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác

ABC

Trang 8

Khối THPT chuyên

Đề chọn đội tuyển toán khối THPT chuyên

(ngày 2) Bài 1 Chứng minh rằng không tồn tại hàm f :  sao cho

 

f f x x  2008, x  

Bài 2 Cho p5là một số nguyên tố Giả sử rằng trong tập hợp A1, 2, , p 1  có thể chọn ra năm số đội một phân biệt x, y, z, t, w thoả mãn điều kiện

x y z t w mod p

a) Chứng minh rằng 6 x 2y2z2t2w2 chia hết cho x   y z t w

b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên n thoả mãn  n n n n n

6 x y z t w chia hết cho x   y z t w

Bài 3 Cho ba số nguyên dơng a, b, c thoả mãn điều kiện a  b c 1 Chứng minh rằng

3 abc 4 b ac 5 c ab 5

Bài 4 Cho tứ giác ABCD có ACBD, ACDBP O , O1 2theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác PAB và PCD Chứng minh rằng O O song song hoặc trùng với 1 2

đờng phân giác chung của các góc đối đỉnh APB, CDP 

Bài 5 Trong mặt phẳng toạ độ cho tập hợp S a, b ,1 a, b5;a, bc Giả sử T là tập hợp gồm những điểm nguyên trong mặt phẳng toạ độ này sao cho với mỗi điểm ngyên

P thuộc S đều tồn tại điểm Q thuộc T, P≠Q đồng thời đoạn thẳng PQ không chứa điểm nguyên nào ngoài các điểm P, Q Hãy tìm số phần tử nhỏ nhất của T (điểm nguyên là

điểm có toạ độ nguyên

Trang 9

Khối THPT chuyên Độc lập – Tự do - Hạnh phúc

Bài 1 Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình 2x 3y 1

Bài 2 Giả sử đa thức P(x)x2008 mxm m 0có đủ 2008 nghiệm thực Chứng minh rằng trong các nghiệm của P(x) có ít nhất một nghiệm x thoả mãn điều kiện0

0

x  2

Bài 3 Chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn các sô chính phơng thoả mãn ba điều kiện sau;

a) Trung bình cộng của hai số lien tiếp của dãy là một số chính phơng

b) Hai số liên tiếp của dãy là hai số nguyên tố cùng nhau

c) Dãy tăng ngặt

Bài 4 Cho 2007 số thực phân biệt a , a , , a1 2 2007 Xét tập hợp:

i

i K

X a : K 1, 2, , 2007



Chứng minh rằng số phần tử của X không nhỏ hơn 2015028

Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Đờng tròn (J) tiếp xúc trong với (O) tại T

và tiếp xúc với các tia AB, AC K, L là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABT, ACT Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác KLT cũng tíêp xúc trong với (O) tại T

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	351,5 KB