Kì thi tuyển sinh sau Đại học Huế môn Giải tích năm 2005

Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh: Đại Học Huế Số báo danh: Tr-ờng Đại học S- phạm kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Xét chuỗi hàm n=1 u n với u n (x)= x 2 n 1 x 2 n+1 , |x| < 1. a) Với mỗi a :0<a<1, chứng minh |u n (x)| a n 1 a x [a, a]. Từ đó suy ra n=1 u n hội tụ đều trên [a, a]. b) Tính tổng S của chuỗi hàm n=1 u n trên (1, 1). Câu 2. Cho hàm hai biến: f(x, y )= 1 nếu y<x 2 0 nếu y = x 2 1 nếu y>x 2 Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D =[1, 2] ì [0, 5] và tính D f(x, y )dxdy. Câu 3. Cho (X,d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x 0 X và x 0 / A. Đặt d(x 0 ,A) = inf aA d(x 0 ,a). a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x 0 ,A) > 0. b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y 0 A sao cho d(x 0 ,A)=d(x 0 ,y 0 ). c) Giả sử X = R n với mêtric Euclide thông th-ờng và A R n là tập đóng. Chứng minh tồn tại y 0 A sao cho d(x 0 ,A)=d(x 0 ,y 0 ). Câu 4. Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x n ) C[0, 1] với x n (t)= 2nt n 4 + t 2 , t [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] C[0, 1] cho bởi: Ax(t)= t 0 x(s)ds, với x C[0, 1],t [0, 1]. a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục. b) Chứng minh (Ax n ) hội tụ về 0 trong C[0, 1]. Câu 5. Giả sử {e n } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach. Giả sử A L(H, X) sao cho chuỗi n=1 Ae n 2 hội tụ. Chứng minh A là toán tử compact. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm VIETMATHS.NET . và đào tạo Họ và tên thí sinh: Đại Học Huế Số báo danh: Tr-ờng Đại học S- phạm kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180. X) sao cho chuỗi n=1 Ae n 2 hội tụ. Chứng minh A là toán tử compact. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm VIETMATHS.NET . biến: f(x, y )= 1 nếu y<x 2 0 nếu y = x 2 1 nếu y>x 2 Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D =[1, 2] ì [0, 5] và tính D f(x, y )dxdy. Câu 3. Cho (X,d) là