Mô hình hóa và mô phỏng ứng dụng xử cơ học của ống và tấm mỏng có kích cơ nano mét

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Danh Trường MÔ HÌNH HÓA VÀ MÔ PHỎNG ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA ỐNG VÀ TẤM MỎNG CÓ KÍCH CỠ NANO MÉT Chuyên ngành : Cơ kỹ thuật Mã số : 62520101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 2015 Công trình được hoàn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Minh Quý Phản biện 1: ………………………………………………… Phản biện 2: ………………………………………………… Phản biện 3: ………………………………………………… Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Vào hồi …… giờ, ngày … tháng … năm ……… Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội. 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam. 1 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài: Nghiên cứu về vật liệu nano là một trong những lĩnh vực nghiên cứu sôi động nhất trong khoảng hai thập niên trở lại đây. Điểm nhấn quan trọng là vào năm 1991, khi Sumio Iijima trình bày công trình khoa học của ông về quá trình tổng hợp tạo ra ống cácbon nano đa lớp (MWCNTs) đầu tiên ( Iijima 1991 ). Đến năm 1993, ông và cộng sự công bố tiếp việc tổng hợp được ống cácbon nano đơn lớp (SWCNT). Kể từ đó tới nay, hàng loạt các nghiên cứu về ống cácbon nano (CNT) được thực hiện cho thấy những đặc tính rất ưu việt, hứa hẹn CNT sẽ có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Như làm chất gia cường cho vật liệu composite, linh kiện điện tử, pin Lithium ion, siêu tụ điện, bộ cảm ứng ánh sáng, nhiệt, sóng điện từ hoặc nhận biết những hóa chất độc hại với độ nhạy rất cao. Những ứng dụng thú vị vừa nêu mới chỉ dừng ở quy mô phòng thí nghiệm, để có thể sản xuất đại trà đòi hỏi nhiều nghiên cứu hơn nữa. Ngoài CNT, cho đến nay, các nhà khoa học đã phát hiện có thêm nhiều loại vật liệu nano dạng tấm và ống có cấu trúc dạng lục giác tương tự, như: graphene, boron nitride (BN), silicon carbide (SiC), silicene (Si), Sau khi được phát hiện, việc tìm hiểu, dự đoán ứng xử cơ học của các vật liệu trên là rất cần thiết trước khi sản xuất, ứng dụng chúng. Do đó, nghiên cứu sinh đã chọn đề tài cho luận án tiến sĩ của mình là: “ Mô hình hóa và mô phỏng ứng xử cơ học của ống và tấm mỏng có kích cỡ nano mét ”. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Mô hình hóa và mô phỏng số tìm ứng xử cơ học như mô đun đàn hồi, mô đun đàn hồi trượt, hệ số Poisson, đường cong ứng suất biến dạng, của các ống và tấm vật liệu nano đơn lớp có cấu trúc dạng lưới lục giác thông qua mô phỏng các thí nghiệm kéo, trượt và uốn. Một số vật liệu nano được chọn để mô phỏng là: graphene, BN, SiC, BSb, Si. Bên cạnh mô hình lý tưởng, luận án cũng xét tới khuyết tật mất hai nguyên tử liền kề và khuyết tật Stone-Wales xảy ra riêng lẻ tại trung tâm của tấm hoặc ống. Phương pháp nghiên cứu: Cho tới nay, việc tiến hành thực nghiệm trên các vật liệu nano là rất khó khăn và phức tạp. Do đó phương pháp mô phỏng số trên máy tính ngày càng được coi trọng. Mô hình hóa và mô phỏng số các loại vật liệu nano hiện nay thường dùng các phương pháp trong cơ học lượng tử cho kết quả chính xác cao như lý thuyết hàm mật độ (DFT) hay mô phỏng ở cấp độ nguyên tử như là phương pháp động lực phân tử (MD). Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) được đề xuất khoảng chục năm trở lại đây cũng cho thấy nhiều ưu điểm đáng chú ý. Trong luận án này, nghiên cứu sinh cùng thầy hướng dẫn đã phát triển phương pháp AFEM để mô phỏng ứng xử cơ học của các vật liệu nano. Kết quả thu được sẽ được kiểm chứng bằng cách so sánh với các phương pháp MD, DFT và nhiều phương pháp tin cậy khác. Quá trình xây dựng mô hình cũng như mô phỏng số tính toán kết quả được nghiên cứu sinh lập trình trên phần mềm Matlab. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: Ở kích thước cỡ nano mét, việc tiến hành thực nghiệm trên các vật liệu nano nêu trên là rất khó khăn. Thậm chí có những vật liệu mới được phát hiện tồn tại trên lý thuyết, chưa chế tạo được trên thực tế thì việc thực nghiệm là không thể. Do đó việc sử dụng phương pháp mô hình hóa và mô phỏng giúp ta chuẩn đoán chính xác và nhanh chóng đặc tính của vật liệu nano trước khi triển khai sản xuất chúng. Nó giúp tiết kiệm chi phí cho quá trình thiết kế, sản xuất thử và sản xuất hàng loạt các vật liệu này. Bố cục của luận án: Luận án bao gồm phần mở đầu, 4 chương, kết luận và hướng phát triển của luận án, tài liệu tham khảo và phụ lục. 2 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1 Vật liệu nano cấu trúc dạng lục giác Năm 1991, Sumio Iijima phát hiện ra ống cácbon nano đa lớp (MWCNTs) trong khi đang tiến hành khảo sát fullerene C 60 ( Iijima 1991 ). Đến năm 1993 Iijima và cộng sự tiếp tục báo cáo việc tổng hợp được ống cácbon nano đơn lớp (SWCNT) với đường kính 1nm. Năm 2004, graphene, tấm graphite đơn lớp đầu tiên được bóc tách bởi hai nhà khoa học Kostya Novoselov và Andre Geim. Đến 2010 họ đã được trao giải Nobel Vật lý cho những đóng góp của họ trong việc tạo ra và tiến hành thực nghiệm trên tấm graphene. Ngoài graphene và CNT, cho đến nay đã có thêm nhiều vật liệu nano có cấu trúc dạng lục giác tương tự đã được dự đoán tồn tại trên lý thuyết. Trong đó có tấm và ống BN đã được tổng hợp trên thực tế. Mới đây, năm 2012 tấm SiC với độ dày 0,5–1,5 nm cũng được tạo ra ở quy mô phòng thí nghiệm. Bên cạnh đó Si cũng được dự đoán tồn tại trên lý thuyết ở dạng cấu trúc low-buckled (các nguyên tử Si nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau). Si ở dạng tấm và dạng dải hẹp đã được tổng hợp trên nền bạc vào năm 2010 và năm 2012, trên nền Zirconium diboride (ZrB 2 ) năm 2012, trên nền Iridium (Ir) năm 2013. Sau khi được phát hiện, các vật liệu trên cần được tìm hiểu, dự đoán các đặc trưng cơ, lý, hóa để phục vụ cho sản xuất và ứng dụng chúng. 1.2 Một số phương pháp mô phỏng vật liệu nano Những phương pháp thường được dùng để mô phỏng, tính toán đặc trưng của các vật liệu nano có thể được phân chia làm hai nhóm: nhóm tính toán ở cấp độ electron và nhóm tính toán ở cấp độ nguyên tử. Trong đó, ở cấp độ electron thì có phương pháp lý thuyết hàm mật độ (DFT), ở cấp độ nguyên tử thì có phương pháp mô phỏng động lực phân tử (MD) là hai phương pháp chuẩn mực được sử dụng nhiều trong các nghiên cứu lý thuyết hoá học, vật lý và khoa học vật liệu. Nhiều nghiên cứu, phương pháp ra đời sau này thường lấy DFT và MD làm chuẩn so sánh. Và ở luận án này, tác giả đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) để sử dụng trong nghiên cứu. Kết quả thu được từ AFEM được so sánh chủ yếu với kết quả từ DFT, MD để đánh giá độ tin cậy của phương pháp cũng như mô hình. AFEM đã được phát triển để phân tích các vật liệu cấu trúc nano một cách hiệu quả ( Liu và cs 2004, Nasdala và cs 2005, Wang và cs 2006, Wackerfuß 2009, Nasdala và cs 2010 ). Trong AFEM, nguyên tử được coi như là nút và các chuyển vị của nó được xem như là các chuyển vị nút. Mỗi phần tử trong AFEM được xây dựng để mô tả cho hàm thế năng. Ma trận độ cứng của các phần tử đó được thiết lập dựa trên hàm thế năng của chúng. Cũng giống như trong FEM, ma trận độ cứng tổng thể trong AFEM được ghép nối từ các ma trận độ cứng phần tử. Mỗi liên hệ giữa chuyển vị nút (chuyển vị của các nguyên tử) và ngoại lực tác dụng cũng được mô tả bởi một hệ phương trình. Về cơ bản, AFEM là sự kết hợp của phương pháp mô phỏng cấp độ nguyên tử và phương pháp phần tử hữu hạn. AFEM cho ta kết quả chính xác như các phương pháp mô phỏng ở thang nguyên tử như MD đồng thời lại cho ra tốc độ hội tụ nhanh hơn do AFEM sử dụng cả đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của hàm thế khi tính toán cực tiểu hóa năng lượng tìm vị trí cân bằng của hệ, trong khi MD chỉ sử dụng đạo hàm bậc nhất. Tác giả cùng người hướng dẫn nhận định đây là phương pháp mới, còn nhiều điều có thể phát triển để áp dụng mô phỏng cho các vật liệu nano mới tìm ra. Do đó, AFEM được tác giả sử dụng để mô hình hóa và mô phỏng các vật liệu nano trong luận án này. CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC NGUYÊN TỬ VÀ THẾ NĂNG TƯƠNG TÁC 2.1 Cấu trúc hình học tấm và ống vật liệu nano dạng lục giác Tấm graphene cũng như các tấm vật liệu nano có cấu trúc dạng lục giác khác chứa các nguyên tử nằm tại đỉnh của các hình lục giác xếp khít với nhau tạo nên dạng lưới như hình tổ ong (hình 2.1). Có hai dạng tấm là tấm phẳng (các nguyên tử cùng nằm trên một mặt phẳng, hình 2.1a) và tấm low-buckled (các nguyên tử nằm trên hai mặt phẳng song song với 3 nhau, hình 2.1b). Như vậy kích thước hình học một tấm vật liệu nano dạng lục giác được xác định bởi hai thông số độc lập là chiều dài liên kết ban đầu o l và khoảng ow- L buckled  . Từ đó rút ra được các thông số góc liên kết θ và độ dài véc tơ đơn vị 1 2 ,a a   như sau:   2 2 1 2 ow- 3 o L buckled a a a l       (2.1) 2 2 ow- 2 3 arccos 2 L buckled o o l l           (2.2) Tấm phẳng có ow- 0 L buckled   , nên theo công thức (2.2), góc liên kết θ luôn bằng 120 o . Còn góc liên kết của tấm low-buckled sẽ luôn nhỏ hơn 120 o . Năm 1995, Dresselhaus và cộng sự đưa ra một hệ thống các tham số biểu diễn hình học để mô tả cấu trúc tấm graphene trước khi được cuộn thành ống SWCNT và sau này được dùng cho các vật liệu nano cấu trúc lưới lục giác khác (hình 2.2). Khi đó, một ống nano xem như được tạo thành bằng cách cuộn một tấm vật liệu nano theo phương véc tơ h C  như sau: 1 2 h C OA na ma        (2.3) Trong đó cặp chỉ số   ,n m là số bước dọc theo liên kết dích dắc của lưới lục giác và 1 2 ,a a   là các véc tơ đơn vị. Véctơ h C  xác định độ xoắn của ống. Khi h C  trùng với phương zigzag ta có ống dạng zigzag   ,0n , h C  trùng với phương armchair ta có ống dạng armchair   ,n n , còn lại là các ống dạng chiral. Xét về phương diện toán học, một tấm vật liệu nano gồm N nguyên tử có (x i , y i , z i ) là tọa độ của nguyên tử thứ i , trong đó phương trục z vuông góc với mặt phẳng tấm. Vị trí của nguyên tử i sau khi cuộn tấm thành ống là   , , i i i X Y Z sẽ được xác định như sau: Khi h C  trùng với phương zigzag (phương x)     sin / cos / 1 i i i i i i X R x R Y y Z R x R                (2.4) Hình 2.1 Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của tấm vật liệu nano cấu trúc lục giác: a) tấm phẳng với góc liên kết luôn là θ =120 o ; b) tấm low-buckled với góc liên kết θ< 120 o . Hình 2.2 Thông số hình học tấm vật liệu nano cấu trúc hình lục giác. (n,0) Zigzag tube (n,n) Armchair tube a 1 a 2 ma 2 n a 1 C h Armchair Zigzag φ x y x , Zigzag y, Armchair Hình chiếu bằng Hình chiếu cạnh (a) l o 120 o a 2 a 1 θ o (b) l o ∆ Low-buckled a 2 a 1 4 Khi h C  trùng với phương armchair (phương y):     sin / cos / 1 i i i i i i X x Y R y R Z R y R                (2.5) Trong đó, R là bán kính ống:   2 2 2 2 h C a R n mn m        . (2.6) Như vậy, một ống nano được xác định về kích thước khi biết các thông số là cặp chỉ số   ,n m và chiều dài ống L. Bên cạnh cấu trúc lục giác lý tưởng như trên, tấm và ống vật liệu sau khi tổng hợp được cũng thường xuất hiện các khuyết tật là khuyết tật Stone-Wales (SW) (có hai loại: SW1 hình 2.5.a và SW2 hình 2.5.b) và khuyết tật mất đi hai nguyên tử liền kề (hình 2.5.c). Những khuyết tật này ảnh hưởng đáng kể tới các đặc trưng cơ học của các vật liệu nano. Hình 2.5 Mô hình tấm vật liệu có cấu trúc lưới lục giác cấu tạo từ 2 loại nguyên tử. (a) khuyết tật SW1 (một liên kết song song phương amchair quay 90 o ); b) khuyết tật SW2 (một liên kết nghiêng 60 o so với phương armchair quay 90 o ); (c) khuyết tật mất đi 2 nguyên tử liền kề. 2.2 Thế năng tương tác giữa các nguyên tử Trong luận án này, hàm thế điều hòa và hàm thế Tersoff được chọn cho mô phỏng tương tác giữa các nguyên tử. Ở biến dạng bé, thế năng biến dạng dài và biến dạng góc giữa các nguyên tử có thể được biểu diễn bởi dạng hàm điều hòa như sau:   2 1 2 ij r ij o E k l l   (2.8)   2 1 2 ijk ijk o E k      (2.12) ij l là khoảng cách giữa hai nguyên tử ,i j . ij o l l là khoảng cách giữa hai nguyên tử ,i j khi hệ ở trạng thái cân bằng. ijk  là góc có đỉnh là nguyên tử j tạo bởi hai liên kết thẳng ji và jk . ijk o    khi hệ ở vị trí cân bằng. Hàm thế điều hòa chỉ phù hợp cho biến dạng bé. Hàm thế Tersoff được đề xuất lần đầu để mô tả năng lượng tương tác giữa các nguyên tố Si, Ge và C ( Tersoff 1989 ). Và sau này được đề xuất cho các nguyên tố khác như: Al, B, N, Ga, Hàm Tersoff có dạng như sau: 1 2 ij ij i j j i E V V       (2.14a) Trong đó:       ij C ij R ij ij A ij V f r f r b f r       (2.14b) y, Armchair (b) (a) (c) x , Zigzag 5   1, ; 1 1 cos . , ; 2 2 0, ij ij ij ij C ij ij ij ij ij ij ij ij r R r R f r R r S S R r S                         (2.14c)         exp ; exp I II R ij ij ij ij A ij ij ij ij f r A r f r B r        , (2.14d)           2 2 1 2 2 2 2 , 1 ; ; 1 cos i i i n n n i i ij ij i ij ij C ik ik ijk ijk k i j i i i ijk c c b f r g g d d h                    ,     / 2; / 2; ; ; ; I I I II II II ij i j ij i j ij i j ij i j ij i j ij i j A A A B B B R R R S S S               Bằng việc đặt:   2 0 ijijij RSR  ;   2 ijijij RSD  . (2.15) một số tài liệu viết lại hàm ngắt ở phương trình (2.14c) ở dạng sau:   0 0 0 0 0 1, ; 1 1 sin . , ; 2 2 2 0, ij ij ij ij ij C ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij r R D r R f r R D r R D D r R D                           (2.16) CHƯƠNG 3 MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN NGUYÊN TỬ 3.1 Cở sở lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử 3.1.1 Thiết lập và giải phương trình trong AFEM Xét một hệ N nguyên tử. Gọi   , o i i r r tương ứng là véc tơ vị trí của nguyên tử i ban đầu và sau khi chuyển vị. , i i u f tương ứng là điều kiện biên chuyển vị và ngoại lực tác dụng lên nguyên tử i . Ta có tổng năng lượng của hệ là ( Wackerfuß 2009 ):     1 . N T i i i E E     r r f r (3.1) Trong đó:   1 2 , , , T N r r r r là véc tơ vị trí của hệ và   E E r là nội năng hay thế năng tương tác của hệ có N nguyên tử. Khi hệ ở trạng thái cân bằng, năng lượng đạt giá trị cực tiểu nên đạo hàm bậc nhất của tổng năng lượng của hệ khi đó phải bằng không. Ta có: 0 T E    r (3.2) Khai triển chuỗi Taylor hàm năng lượng T E quanh vị trí cân bằng ban đầu   o r ta có ( Liu và cs 2004 ):           2 1 . . , 2 o o o T T T T T E E E E            r r r r r r u u u r r r  (3.3) Trong đó   o   u r r là chuyển vị đủ nhỏ quanh vị trí cân bằng   o r . u càng nhỏ khai triển gần đúng (3.3) sẽ càng chính xác. Thế (3.3) vào (3.2) và bỏ qua vô cùng bé bậc cao ta có:     2 . 0 o o T T T E E E             r r r r u r r r r (3.4) Biến đổi phương trình (3.4) ta được: Ku P , (3.5) Trong đó:     o o T E E           r r r r P f r r (3.6) 6 là lực của hệ ở trạng thái chưa cân bằng. P sẽ tiến tới 0 khi hệ tiến tới vị trí cân bằng mới.     2 2 o o T E E          r r r r K r r r r (3.7) là ma trận độ cứng của hệ ở trạng thái cân bằng ban đầu. Trường hợp hệ tuyến tính dấu bằng ở biểu thức (3.3) và (3.4) sẽ xảy ra, dẫn tới phương trình (3.5) chỉ cần giải một lần cho ra ứng xử của hệ ngay tại gốc cân bằng ban đầu. Trường hợp hệ phi tuyến, phương trình (3.5) cần được giải lặp lại cho đến khi lực của hệ ở trạng thái không cân bằng hoặc chuyển vị của hệ ở bước lặp sau đó tiến tới không. Trong thực hành người ta thường tính lặp cho tới khi chúng nhỏ thua một số dương δ bé cho trước   0   , tức là:   k   u , (3.8) hoặc   k   P . (3.9) Ở bước lặp thứ k sẽ tính ra được   k u . Sau đó véc tơ vị trí của hệ ở bước 1k  sẽ được tính từ bước thứ k trước đó như sau:       1 k k k    r r u (3.10)   1 k  r sẽ được dùng để tính     1 1 , k k   P K thông qua biểu thức (3.6) và (3.7). Sau đó     1 1 , k k   P K sẽ được thế vào (3.5) để giải ra   1 k  u . Vòng lặp cứ thế lặp lại cho đến khi một trong hai điều kiện (3.8) hoặc (3.9) thỏa mãn. Mặt khác, nếu ở phương trình (3.5) ta đặt vào một điều kiện biên chuyển vị u đủ nhỏ (càng nhỏ càng chính xác) để thỏa mãn ngay hoặc chỉ sau một bước lặp là thỏa mãn điều kiện (3.8) thì ta sẽ thu được kết quả gần đúng đủ chính xác từ phương trình (3.5) ngay sau một bước lặp đầu tiên. Điều này tiết kiệm được thời gian tính toán rất nhiều vì không phải tính lặp lại nhiều lần. Toàn bộ quá trình tính toán thiết lập và giải phương trình đặc trưng nêu trên được tác giả lập trình trên phần mềm Matlab. 3.2 Mô hình phần tử hữu hạn nguyên tử với hàm thế điều hòa 3.2.1 Thiết lập ma trận độ cứng phần tử Bỏ qua các thành phần thế năng tương tác đến từ biến dạng xoắn, đảo liên kết, lực van der Waals và tương tác điện từ, thế năng của hệ nguyên tử có thể được biểu diễn như sau: r E E E    (3.12c) Trong đó r E là thế năng biến dạng dài và E  là thế năng biến dạng góc. Ở biến dạng nhỏ, chúng thường được mô tả bằng các hàm điều hòa như sau:      M e e ij e rr lCE 1 2 2 1  , (3.13)      N e e ijk e ijk CE 1 2 2 1   . (3.14) Trong đó, e ij l  là biến dạng dài của liên kết thẳng thứ e giữa hai nguyên tử i và j , e ijk  là biến dạng góc giữa hai liên kết thẳng ji và jk (hình 3.8). M và N tương ứng là tổng số biến dạng dài và biến dạng góc. e r C và e ijk C là các hằng số lực tương ứng cho biến dạng dài và biến dạng góc. Với những tấm vật liệu cấu tạo bởi hai loại nguyên tử sẽ có hai giá trị e ijk C tương ứng phụ thuộc vào kiểu nguyên tử ở đỉnh của góc có biến dạng. Trong hình 3.8b, nguyên tử i và k là cùng loại. 7 Hình 3.8 Mô hình hai kiểu phần tử: a) phần tử biến dạng dài ij l và biến dạng dài ij l  ; b) phần tử biến dạng góc ijk  và biến dạng góc ijk  . Khi đó thế năng biến dạng của một phần tử hai nút là:   2 1 2 e e e r r ji E C l   . (3.15) Khoảng cách giữa hai nguyên tử e ji l có thể được biểu diễn thông qua tọa độ   , , i i i x y z của nguyên tử i và tọa độ   , , j j j x y z của nguyên tử j như sau:         2 2 2 2 e ji i j i j i j l x x y y z z       . (3.16) Vi phân hai vế phương trình (3.16), ta có:          e e ji ji i j i j i j i j i j i j l l x x x x y y y y z z z z                 . (3.17) Đặt 1 2 3 , , i i i x q y q z q       và 4 5 6 , , j j j x q y q z q       là các chuyển vị của nguyên tử i và j theo các trục ,x y và z tương ứng. Phương trình (3.17) trở thành:       1 4 2 5 3 6 1 e ji ij ij ij e ji l x q q y q q z q q l            . (3.18) Trong đó: , , ij i j ij i j ij i j x x x y y y z z z      . (3.19) Ở trạng thái cân bằng ban đầu, ta có 0 e ji l l . Thay phương trình (3.18) vào phương trình (3.15) ta có:         2 1 4 2 5 3 6 2 0 2 e e r r ij ij ij C E x q q y q q z q q l           . (3.20) Đạo hàm bậc hai hàm thế năng được xác định từ phương trình (3.20) theo chuyển vị nút cho ta được ma trận độ cứng của phần tử hai nút ( Zienkiewicz và cs 2005 ): 2 , , 1,2 6. e r r mp m p E k m p q q      (3.21) Lập luận tương tự, thế năng của một phần tử ba nút (hình 3.8b) có dạng:   2 1 2 e e e ijk ijk E C    . (3.22) Trong đó góc e ijk  giữa hai véc tơ ji l (véc tơ nối nguyên tử j tới i ) và jk l (véc tơ nối nguyên tử j tới k ) có thể được tính từ biểu thức sau: . cos e ji jk ijk ij kj ij kj ij kj l l x x y y z z     , (3.23) với , , ij ij ij x y z và , , kj kj kj x y z có ký hiệu tương tự như (3.19). Vi phân hai vế của phương trình (3.23) và biến đổi ta có: sin cos ji jk ij kj ij kj ij kj ij kj ij kj ij kj e e e ijk ijk ijk ji jk ji jk ji jk ji jk ji jk ji jk ji jk l l x x y y z z x x y y z z l l l l l l l l l l l l l l                                            (3.24) Chú ý rằng: 1 4 2 5 3 6 7 4 8 5 9 6 ; ; ; ; ; ij ij ij kj kj kj x q q y q q z q q x q q y q q z q q                   . (3.25) ij l k j i j i a) (b) ij l  ijk  ijk  8 Trong đó 7 8 ,q q và 9 q là chuyển vị của nguyên tử k theo phương ,x y và z tương ứng. Đối với cấu trúc tấm hình lục giác ở điều kiện cân bằng ban đầu, chưa có biến dạng, ta có ji jk o l l l  và 0 0 120 e ijk     . Chú ý đến phương trình (3.18) và thay (3.25) vào phương trình (3.24) ta có:                         0 1 4 0 2 5 0 3 6 2 0 0 0 4 7 0 5 8 0 6 9 cos cos cos 1 sin cos cos cos ij jk ij jk ij jk e ijk jk ij jk ij jk ij x x q q y y q q z z q q l x x q q y y q q z z q q                                   (3.26) Thay phương trình (3.26) vào phương trình (3.22) ta có:                           2 0 1 4 0 2 5 0 3 6 2 2 0 4 7 0 5 8 0 6 9 0 0 cos cos cos cos cos cos 2 sin e ij jk ij jk ij jk ijk e jk ij jk ij jk ij x x q q y y q q z z q q C E x x q q y y q q z z q q l                                   (3.27) Ma trận độ cứng  k của phần tử ba nút biến dạng góc được xác định như sau: 2 , , 1,2 9. e mp m p E k m p q q        (3.28) Như vậy, ma trận của phần tử hai nút và ba nút là r k và  k đã hoàn toàn xác định và được đưa ra ở dạng hiển qua các biểu thức (3.21) và (3.28). Chúng chỉ phụ thuộc vào tọa độ của các nguyên tử ở vị trí cân bằng ban đầu. 3.2.2 Thông số hàm thế điều hòa Bảng 3.1 Các hằng số lực và chiều dài liên kết ban đầu của graphene, BN, SiC và BSb ở nhiệt độ 0K. Vật liệu Nguyên tử 1 Nguyên tử 2 e r C kcal/(mol.Å 2 ) e C 121 kcal/(mol.rad 2 ) e C 212 kcal/(mol.rad 2 ) l 0 (Å) Graphene C C 1051 195 195 1,42 BN B N 856 95 191 1,45 SiC Si C 447 155 105 1,77 BSb B Sb 331 52 123 2,12 Trong đó chiều dài liên kết ban đầu được lấy từ tài liệu tham khảo ( Sahin và cs 2009 ); các hằng số lực của mô hình vật liệu graphene được tham khảo từ ( Berinskii và cs 2013 ), của vật liệu BN tham khảo từ ( Jiang và cs 2011 ), và của vật liệu BSb tham khảo từ ( Rappe và cs 1992 ); hằng số lực biến dạng góc trong mô hình vật liệu SiC được tham khảo từ tài liệu ( Rappe và cs 1992 ) còn hằng số lực biến dạng dài của SiC được triển khai từ hàm thế năng Tersoff ( Erhart và cs 2005 ). 3.2.3 Kích thước tấm nano Mô hình tấm vật liệu được xây dựng trong luận án có dạng hình vuông gồm 4032 nguyên tử. Chiều dài liên kết ban đầu của các vật liệu được đưa ra trong bảng 3.1. Mô hình ống được xây dựng bằng cách cuộn từ tấm tương ứng, với chiều dài ống sẽ được thiết lập tùy vào trường hợp cụ thể khi mô phỏng. 3.3 Mô hình phần tử hữu hạn nguyên tử với hàm thế Tersoff 3.3.1 Phần tử và thông số hàm thế Tersoff Hai kiểu phần tử được xây dựng như trong hình 3.9 để mô tả từng thành phần tương ứng trong hàm thế Tersoff. [...]... được tính toán Bên cạnh những mô hình vật liệu lý tưởng (nguyên), luận án cũng đã nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật mất hai nguyên tử liền kề và khuyết tật một liên kết bị Stone–Wales (SW) tới ứng xử cơ học của tấm và ống nano Kết quả cho thấy tấm nguyên và tấm bị khuyết tật có ứng xử cơ học khi chịu kéo, uốn gần như giống hệt nhau cho tới trước điểm phá hủy Trong khi mô đun đàn hồi giảm không đáng... dạng tới hạn của tấm tương ứng khi đường kính ống tăng Bảng 4.9 Đặc trưng khi chịu kéo các ống BN cùng tỷ lệ giữa chiều dài (L) trên đường kính ống (D), L/D=10 Chỉ số tấm và ống (n,m) Đường kính, Å Mô đun đàn hồi Ứng suất tới Ys, N/m hạn σt, N/m Biến dạng tới hạn, % Biến dạng phá hủy, % Tấm zigzag Ống (15,15) Ống (12,12) Ống (10,10) Ống (8,8) Tấm armchair Ống (25,0) Ống (21,0) Ống (17,0) Ống (14,0) ∞... đường kính, mô đun đàn hồi của ống armchair lớn hơn so với ống zigzag Tuy vậy cả hai giá trị đều tăng khi đường kính ống tăng, và tiến sát giá trị của vật liệu dạng tấm tương ứng khi đường kính ống đủ lớn 4.3 Kết quả và bàn luận của mô hình sử dụng hàm thế Tersoff 4.3.1 Kéo tấm graphene, BN, và SiC Kết quả thu được trong mục này được so sánh với các kết quả thu được bằng mô phỏng MD sử dụng cùng một... 0.35 Hình 4.19 Đường cong ứng suất-biến dạng kéo của các ống BN đường kính khác nhau, cùng tỷ lệ chiều dài trên đường kính L/D=10: a) ống amrchair và tấm zigzag; b) ống zigzag và tấm armchair Quan sát hình 4.19 và bảng 4.9 ta thấy khi đường kính ống tăng lên thì biến dạng tới hạn và biến dạng phá hủy của ống zigzag tăng nhẹ, trong khi các giá trị đó của ống armchair lại giảm, nhưng cả hai đều có xu... ống Mô đun đàn hồi hai chiều Ys, N/m 400 CNT(n,n) CNT(n,0) BN(n,n) BN(n,0) SiC(n,n) SiC(n,0) BSb(n,n) BSb(n,0) 350 SWCNT 300 250 Ống BN 200 150 Ống SiC 100 Ống BSb 50 0 5 10 15 20 25 Đường kính ống, Å Hình 4.2: Mô đun đàn hồi hai chiều của 4 loại ống vật liệu theo đường kính ống (Các đường nằm ngang là mô đun đàn hồi của các tấm zigzag (nét liền) và tấm armchair (nét đứt) của vật liệu tương ứng) Hình. .. dạng kéo 0.3 Hình 4.4 So sánh đường cong ứng suất biến dạng khi kéo tấm BN trong hai trường hợp tấm nguyên và tấm bị khuyết tật: (a) phương zigzag ; (b) phương armchair Quan sát hình 4.4 ta thấy đường cong ứng suất biến dạng của tấm BN nguyên và tấm BN bị khuyết tật rất khớp nhau trước khi tới điểm phá hủy Kết quả của SiC cũng tương tự Điều này cho thấy mô đun đàn hồi của tấm nguyên và tấm bị khuyết... đàn hồi, mô đun đàn hồi trượt và hệ số Poisson của các tấm và ống vật liệu graphene, BN, SiC, BSb Kết quả thu được rất gần với các nghiên cứu khác sử dụng các phương pháp mô phỏng chuẩn mực như DFT, MD 3) Luận án đã xây dựng hai kiểu phần tử để mô tả các thành phần của hàm thế Tersoff Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử, các ứng xử phi tuyến của các tấm graphene, BN, SiC, Si và ống BN đã... nhất; b) tấm ở biến dạng =13,4% và c) tấm ở biến dạng =13,7% Qua đây ta thấy, tấm BN và SiC có cơ chế phá hủy giòn, việc phá hủy xảy ra rất nhanh và đường cong ứng suất biến dạng cũng rơi đột ngột trên đồ thị Bảng 4.5 cho thấy, mô đun đàn hồi của tấm bị khuyết tật giảm chưa tới 1,5% so với tấm nguyên Trong khi đó ứng suất và biến dạng phá hủy của tấm bị khuyết tật lại giảm đáng kể Cụ thể, ứng suất... (8,8) có khả năng chịu kéo tốt hơn ống (14,0) Hình 4.15 cho thấy hệ số poisson của cả ống BN(14,0) và BN(8,8) ở biến dạng nhỏ đều có giá trị khoảng 0,3 tương đương với giá trị 0,29 của tấm BN Bảng 4.8 Đặc trưng khi chịu kéo của ống BN (8,8) và (14,0) phụ thuộc vào tỷ lệ giữa chiều dài trên đường kính ống Ống BN L/D Mô đun đàn Ứng suất tới Biến dạng Biến dạng Vị trí ống bị phá hồi Ys,N/m hạn σt, N/m... kết quả có được của luận án cùng với các kết quả của các nghiên cứu trước đây để so sánh Bảng 4.4 Đặc trưng cơ học khi kéo của tấm graphene, BN và SiC nguyên tính bởi luận án và các tác giả khác Vật liệu Phương pháp nghiên cứu, tác giả Graphene AFEM, luận án MD sử dụng hàm thế Tersoff, (Le Minh Quy và cs 2015) DFT, (Liu và cs 2007) BN Mô hình Hyperelastic và DFT,(Xu và cs 2012) Thực nghiệm, (Lee và cs . mô phỏng ứng xử cơ học của ống và tấm mỏng có kích cỡ nano mét ”. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Mô hình hóa và mô phỏng số tìm ứng xử cơ học như mô đun đàn hồi, mô đun đàn hồi. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Danh Trường MÔ HÌNH HÓA VÀ MÔ PHỎNG ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA ỐNG VÀ TẤM MỎNG CÓ KÍCH CỠ NANO MÉT Chuyên ngành : Cơ kỹ thuật. sử dụng để mô hình hóa và mô phỏng các vật liệu nano trong luận án này. CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC NGUYÊN TỬ VÀ THẾ NĂNG TƯƠNG TÁC 2.1 Cấu trúc hình học tấm và ống vật liệu nano dạng lục giác Tấm