PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6 THANH OAI Năm học 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không thể thời gian giao đề) Câu 1 (6 điểm) 1. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: a, 17)6y)(5x2( =−− b, 4x + 3 chia hết cho ( 2x − ) 2. Rút gọn phân số: 5 999 9 1999 (100 chữ số 9 ở tử, 100 chữ số 9 ở mẫu) Câu 2 (4 điểm) Ở lớp 6A số học sinh giỏi trong học kỳ I bằng 3 2 số học sinh còn lại. Cuối năm có thêm 2 em đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 5 4 số học sinh còn lại. Tính số học sinh của lớp? Câu 3 (4 điểm) Tìm số tự nhiên a để phân số 134 115 − − a a có giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu? Câu 4 (4 điểm) Cho góc vuông xoy. Kẻ tia oz sao cho xoz = 5 1 xoy. Kẻ tia om là tia phân giác của xoy. Tính moz ? Câu 5 (2 điểm) Tìm số nguyên tố p và q sao cho: 7p + q và pq + 11 đều là các số nguyên tố. ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 6 Năm học: 2011 – 2012 Câu 1 1. a, Vì x, y là các số nguyên nên 5x2 − và 6y − đều là các số nguyên. Ta biết Ư(17) = 17 ,1 ±± nên: = = ↔ =− =− 23y 3x 176y 15x2 hoặc = = ↔ −=− −=− -11y 2x 176y 15x2 (thỏa mãn) b, Ta có: 2)-(x 11 2)-(x 11 2)-4(x 2)-(x 3x4 ↔+↔+ = = = = ↔ = = = = ↔ 13x 3x 1x -9x 112-x 12-x -12-x -112-x (thỏa mãn) 2. 1999 9 = 2000 0 - 1 100 chữ số 9 100 chữ số 0 999 5 = 1000 0 - 5 = 5 (2000 0 - 1) 100 chữ số 9 101 chữ số 0 100 chữ số 0 Vậy 5 1 5 999 9 1999 = . Câu 2 Lớp 6A có số học sinh giỏi trong học kỳ I bằng 3 2 số học sinh còn lại tức là bằng 5 2 32 2 = + tổng số học sinh lớp 6A. Cuối năm có thêm 2 em đạt học sinh giỏi nên số học sinh giỏi bằng 5 4 số học sinh còn lại tức là bằng 9 4 54 4 = + tổng số học sinh lớp 6A. 2 Điều đó có nghĩa là 2 em học sinh sẽ chiếm 45 2 5 2 9 4 =− tổng số học sinh lớp 6A. Vậy số học sinh của lớp 6A là 45 45 2 :2 = học sinh. Câu 3 Đặt A = 134 115 − − a a . Nếu A đạt GTLN thì 4A cũng đạt GTLN 4A 134 21 5 134 21)134(5 134 )115(4 − += − +− = − − = aa a a a 4A max − +↔ 134 21 5 a max 134 21 − ↔ a max )134( −↔ a min. Vì a là số tự nhiên nên )134( −a min khi và chỉ khi a = 0. Vậy với a = 0 thì phân số 134 115 − − a a có giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là 13 11 . Câu 4 Ta có xoz = 5 1 xoy = 00 1890 5 1 =x Chia làm 2 trường hợp sau: :TH 1 Tia oz nằm trong góc vuông xoy Vì tia om là tia phân giác của góc x xoy nên mox 0 45= . m Vì tia oz nằm trong góc vuông xoy và xoz <= 0 18 mox nên suy ra: moz 000 271845 =−= . O y :TH 2 Tia oz nằm ngoài góc vuông xoy Vì tia om là tia phân giác của góc x xoy nên mox 0 45= . z Vì tia oz nằm ngoài góc vuông xoy và m xoz <= 0 18 mox nên suy ra: moz 000 631845 =+= . O y 3 z Câu 5 Nếu p, q cùng lẻ thì 7p + q là chẵn suy ra 7p + q không phải là số nguyên tố. Do đó p hoặc q sẽ bằng 2. Xét p = 2: - Nếu q = 3 thì 7p + q =17 và pq + 11= 17 đều là số nguyên tố - Nếu 13kq3q +=⇒> hoặc 23kq += Với 3 3k 1513k14q7p13kq +=++=+→+= không là số nguyên tố Với 3 156k112)2(3k11pq23kq +=++=+→+= là hợp số. Vậy p = 2 và q = 3. Xét q = 2: - Nếu p = 3 thì 7p + q =23 và pq + 11= 17 đều là số nguyên tố - Nếu 13kp3p +=⇒> hoặc 23kp += Với 3 21k 921)7(3kq7p13kp +=++=+→+= là hợp số. Với 3 156k112)2(3k11pq23kp +=++=+→+= là hợp số. Vậy q = 2 và p = 3. Kết luận: Vậy có 2 cặp duy nhất thỏa mãn là 2) ; (3 3); ; (2 )q ; p( = . 4 . p và q sao cho: 7p + q và pq + 11 đều là các số nguyên tố. ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 6 Năm học: 2011 – 2012 Câu 1 1. a, Vì x, y là các số nguyên nên 5x2 − và 6y − đều. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6 THANH OAI Năm học 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không thể thời gian giao đề) Câu 1 (6 điểm) 1. Tìm số nguyên x, y. bằng 9 4 54 4 = + tổng số học sinh lớp 6A. 2 Điều đó có nghĩa là 2 em học sinh sẽ chiếm 45 2 5 2 9 4 =− tổng số học sinh lớp 6A. Vậy số học sinh của lớp 6A là 45 45 2 :2 = học sinh. Câu