đề toán
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG TRÀ ----------------- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN 9. Thời gian làm bài: 120 phút ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên. Câu 2: (2 điểm) Hãy tính giá trị của biểu thức P = a 3 + b 3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng: 3333 2121721217;625625 −++=−++= ba (Không sử dụng máy tính cầm tay). Câu 3: (3 điểm) Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC. a.- Viết phương trình của đường thẳng BC. b.- Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 4: (5 điểm) a.- Cho x > 0; y > 0. Chứng minh rằng yx yxyx ; 411 ∀ + ≥+ b.- Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p = 2 cba ++ . Chứng minh rằng nếu cbacpbpap 222111 ++= − + − + − thì tam giác đó là tam giác đều. Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b, c. Chứng minh rằng: ))(( SinCSinBSinAcbaSinCcSinBbSinAa ++++=++ Câu 6: (4 điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn. –––––––––––––– PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG TRÀ ----------------- ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN 9. ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Gợi ý giải: + Để ý rằng nếu n là một số nguyên bất kì thì số dư khi chia n 2 cho 3 chỉ có thể là 0 hoặc 1 (1). (Thật vậy: Nếu n = 3k thì n 2 chia hết cho 3; nếu n = 3k ± 1 thì n 2 = 3p + 1 nên n 2 chia 3 dư 1 với k; p là các số nguyên ). + Gọi a – 1, a, a + 1 là ba số nguyên liên tiếp. Đặt m = (a – 1) 2 + a 2 + (a + 1) 2 thì m = 3a 2 + 2 (2) Vậy từ (1) và (2) suy ra tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên. Câu 2: (2 điểm) Gợi ý giải: Từ giả thiết suy ra a 3 = 10 + 3a; b 3 = 34 + 3b Suy ra P = (a 3 – 3a) + (b 3 – 3b) + 2008 = 2052. Câu 3: (3 điểm) Gợi ý giải: a.- + Viết được phương trình của đường thẳng MP là y = 3 2 x – 3 1 + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y = 3 2 x + b. Vì N thuộc đường thẳng BC suy ra b = – 6. Vậy phương trình của đường thẳng BC là y = 3 2 x – 6 . b.- + Tương tự ta có PTĐT AC là y = – 5x + 28 và PTĐT AB là y = 2 7 x – 6 + Giải hệ −= +−= 6 2 7 285 xy xy ta suy ra tọa độ đỉnh A là A (4; 8) Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2) + Gọi d 1 là đường thẳng đia qua A và song song với BC, d 2 là đường thẳng đi qua C và song song với AB. Lập luận, xác định được phương trình dường thẳng d 1 là y = )1( 3 16 3 2 + x ; phương trình của đường thẳng d 2 là y = 2 7 x – 23 (2). Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta có nghiệm của hệ (x = 10; y = 12) là tọa độ giao điểm của d 1 và d 2 . Vậy D(10; 12). Câu 4: (5 điểm) Gợi ý giải: a.- Vì x > 0; y > 0 nên yxyx + ≥+ 411 ⇔ . ⇔ (x – y) 2 ≥ 0 Vậy nếu x > 0; y > 0 thì yx yxyx ; 411 ∀ + ≥+ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y. b.- Từ giả thiết suy ra 2 . 1 acb ap −+ == − > 0 ; 0 1 ;0 1 > − > − cpbp Áp dụng kết quả câu a ta có: cbapbpap 4 )(2 411 = +− ≥ − + − Tương tự, suy ra cbacpbpap 222111 ++≥ − + − + − Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cba apcp cpbp bpap bapcp acpbp cbpap ==⇔ −=− −=− −=− ⇔ = − + − = − + − = − + − 411 411 411 Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 5: (4 điểm) Gợi ý giải: Vẽ đường cao AH. Ta có SinC c SinB b HC AH SinC HB AH BSin =⇒== .; Tương tự, suy ra: 0 >= ++ ++ === k SinCSinBSinA cba SinC c SinB b SinA a Vậy kSinCSinBSinAcSinCbSinBaSinA ).( . ++==++ (1) Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k Suy ra: kSinCSinBSinASinCSinBSinAcba ).())(( ++=++++ (2) Từ (1) và (2) ta có đ.p.c.m. Câu 6: (4 điểm) Gợi ý giải: Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IP ⊥ AD từ đó suy ra I là trực tâm của tam giác APD. Suy ra DI ⊥ AP (1). Chứng tỏ được tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy ra DI // PQ (2). Từ (1) và (2) suy ra AP ⊥ PQ suy ra đ.p.c.m. * Chú ý: + Điểm tối đa ở mỗi phần chỉ chấm với những bài làm có chữ viết rõ ràng, trình bày sạch, đẹp. Điểm tổng cộng của toàn bài không làm tròn. + Biểu điểm chi tiết cho từng câu, từng phần tổ chấm thảo luận để thống nhất. –––––––––––– UBND HUYỆN LẠC SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS, NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức 3 2 2 : 1 2 3 5 6 1 A x x x x x x x x x + + + = − + − ÷ ÷ ÷ ÷ − − − + + Với x 0; x 4; x 9≥ ≠ ≠ a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi 4 2 3x = − . c) Với giá trị nào của x thì 1 A đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2 (4,0 điểm) Cho các hàm số sau: 5 +−= xy ; xy 4 1 = ; xy 4 = a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy? b) Tính diện tích của tam giác được tạo bởi ba đường thẳng này? Bài 3 (2,0 điểm ) a) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 4 4 3 3 x y xy x y+ ≥ + b) Chứng minh : 2011 2012 2013 4 4 4+ + chia hết cho 84. Bài 4 (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với đường chéo AC.Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AH và CD.Tính góc BME. Bài 5 (6,0điểm): Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên Ax và By lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho · 0 90MON = ( Với O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng. a) NM = AM + BN b) NM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. c) AM. BN = 2 4 AB Bài 6 (1,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 33 A x y xy = + + Họ,tên thí sinh SBD Trường Người coi thi số1 .Người coi thi số2 . UBND HUYỆN LẠC SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 BỘ MÔN : TOÁN -Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng câu, từng bài. - Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm - Điểm toàm bài không làm tròn. Bài Nội dung 1 2 a) Với điều kiện ( ) * ta có: ( ) ( ) 3 2 2 1 : 2 3 1 1 2 3 A x x x x x x x x x x x + + + + ÷ = − + − ÷ ÷ ÷ − − + + − − (1,0điểm) ( ) ( ) 9 4 2 1 : 1 2 3 x x x x x x − − + + + = ÷ + − − (0,5điểm) ( ) ( ) 3 1 : 1 2 3 x x x x − = ÷ + − − (0,5điểm) 1 1 1 : 2 1 2 x x x x + = = − + − (0,5điểm) b) ta có ( ) 2 4 2 3 3 1x = − = − thoả mãn điều kiện. Khi đó: ( ) 2 3 1 3 1x = − = − . (0,5điểm) Do vậy, giá trị của biểu thức A là: 3 1 1 3 1 3 1 2 3 3 1 3 − + = = − − − − (0,5điểm) c) ta có 1 1 2 3 1 2 1 1 x x A A x x x + − = ⇒ = = − − + + . (1,0điểm) Để 1 A có GTNN thì 3 1x + có GTLN, hay 1x + có GTNN.Ta có: 1 1x + ≥ , dấu "=" xảy ra khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của 1 A là 3 1 1 3 2 0 1 − = − = − + , xảy ra khi x = 0. (0,5điểm) a) Chứng minh với mọi x,y ta có : 4 4 3 3 x y xy x y+ ≥ + (1) (1) ⇔ 4 4 3 3 x y xy x y+ ≥ + ⇔ x(x 3 - y 3 ) – y(x 3 - y 3 ) ≥ 0 ⇔ (x-y) 2 (x 2 + xy + y 2 ) ≥ 0 (0,5điểm) ⇔ (x-y) 2 2 2 y 3y x 0 2 4 + + ≥ ÷ (2) (2) luôn đúng ⇒ (1) đúng Dấu “ =” xảy ra khi x = y (0,5điểm) 5,0đ 2,0đ b) Chứng minh : 2011 2012 2013 4 4 4+ + chia hết cho 84. Ta có ( ) 2011 2012 2013 2011 2 2011 2010 4 4 4 4 1 4 4 4 .21 4 .84+ + = + + = = (0,5điểm) chứng tỏ 2011 2012 2013 4 4 4+ + chia hết cho 84 (0,5điểm) 3 a) lập luận và vẽ đúng đồ thị mỗi hàm số cho 1,0 đ ( 3,0 điểm) b)Gọi giao điểm của đường thẳng y= - x + 5 và đường thẳng 1 4 y x= là E ta có: Hoành độ của điểm E phải thỏa mãn phương trình -x + 5 = 1 4 x Suy ra x = 4; y = 1 và E(4;1) Tương tự: D là giao điểm của 2 đường thẳng y = 4x và y= -x + 5 và có tọa độ là : D(1;4) (0,5điểm) S DOE = S OAB - S ODA - S OEB ) = 1 1 1 . .D . 2 2 2 ΟΑ ΟΒ − ΟΑ Ν − ΟΒ ΕΜ = ( ) 1 . .DN . 2 ΟΑ ΟΒ − ΟΑ − ΟΒ ΕΜ = 1 2 (5.5 – 5.1 – 5.1) = 7,5 (0,5điểm) 4,0đ O A B x y M N K E A D B C H M E T N 3 Vẽ hình ghi GT & KL đỳng (0,5điểm) Gọi N là trung điểm của BH Lập luận chứng minh được N là trực tâm của tam giác BMC. CN BM ⇒ ⊥ (0,5điểm) Lập luận chứng minh tứ giác MNCE là hình b.hành / /EM CN⇒ (0,5điểm) Mà CN BM⊥ Suy ra ME BM⊥ hay · 0 90BME = (0,5điểm) 2,0đ 4 Vẽ hình ghi GT & KL đúng (0,5điểm) a) Gọi giao điểm của tia MA và NO là E chứng minh được: BN = AE, OE = ON (1,0điểm) Lập luận chứng tỏ EMN∆ cân tại M Suy ra MN = ME = AM + BN (1,0điểm) b)Kẻ OK vuông góc NM Chứng minh được OK = OA (1,0điểm) Suy ra MN là tiếp tuyến của ( O; AB/2) (0,5điểm) c)Xét tam giác vuông MON có OK là đường cao Có hệ thức 2 .OK MK KN= (0,5điểm) Mà MK = AM, KN = BN ( T/c tiếp tuyến) Suy ra AM. BN = 2 2 4 AB OK = (0,5điểm) 5,0đ 5 a ) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 2 ( ) 4 2 2( ) ( ) 8(*) 2 2 x y x xy y x y x y xy x y x y x y ≤ − = − + + ⇒ + ≥ ⇒ + ≥ + ⇒ + ≥ = = Cũng từ 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 ( ) 4 33 33 4 (**) 4 4 4 x y xy x y xy x y xy xy + ≥ ⇒ + ≥ + ⇒ ≤ = = ⇒ ≥ (0,5điểm) Từ ( *) Và (**) suy ra A = 2 2 33 33 65 8 4 4 x y xy + + ≥ + = dấu " =" xảy ra 2x y⇔ = = . 2,0đ Vậy Min A = 65 2 4 x y⇔ = = (0,5điểm) . ----------------- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-20 09 MÔN: TOÁN 9. Thời gian làm bài: 120 phút ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Chứng minh rằng tổng các. HƯƠNG TRÀ ----------------- ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-20 09 MÔN: TOÁN 9. ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Gợi ý giải: