đề toán
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯƠNG TRÀ
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút
–––––––––––––––––––
Câu 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên
Câu 2: (2 điểm)
Hãy tính giá trị của biểu thức P = a3 + b3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng:
3 3
3
3 5 2 6 5 2 6 ; 17 12 2 17 12 2
máy tính cầm tay)
Câu 3: (3 điểm)
Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC
a.- Viết phương trình của đường thẳng BC
b.- Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Câu 4: (5 điểm)
a.- Cho x > 0; y > 0 Chứng minh rằng x y
y x y
4 1
1
b.- Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Đặt p = a 2b c Chứng minh rằng nếu p1a p1 b p1 c a2 b2 c2
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng
a, b, c
) )(
(
b SinA
Câu 6: (4 điểm)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn
––––––––––––––
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯƠNG TRÀ
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
Trang 2- –––––––––––––––––––MÔN: TOÁN 9
Câu 1: (2 điểm)
Gợi ý giải:
+ Để ý rằng nếu n là một số nguyên bất kì thì số dư khi chia n2 cho 3 chỉ có thể là 0 hoặc 1 (1) (Thật vậy: Nếu n = 3k thì n2 chia hết cho 3; nếu n = 3k 1 thì n2 = 3p + 1 nên
n2 chia 3 dư 1 với k; p là các số nguyên )
+ Gọi a – 1, a, a + 1 là ba số nguyên liên tiếp Đặt m = (a – 1)2 + a2 + (a + 1)2 thì m
= 3a2 + 2 (2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải
là bình phương của một số nguyên
Câu 2: (2 điểm)
Gợi ý giải:
Từ giả thiết suy ra a3 = 10 + 3a; b3 = 34 + 3b
Suy ra P = (a3 – 3a) + (b3 – 3b) + 2008 = 2052
Câu 3: (3 điểm)
Gợi ý giải:
a.- + Viết được phương trình của đường thẳng MP là y = 32 x – 13
+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y =
3
2
x + b Vì N thuộc đường thẳng BC suy ra b = – 6
Vậy phương trình của đường thẳng BC là y =
3
2
x – 6 b.-
+ Tương tự ta có PTĐT AC là y = – 5x + 28 và PTĐT AB là y =
2
7
x – 6 + Giải hệ
6 2
28 5
x y
x y
ta suy ra tọa độ đỉnh A là A (4; 8) Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2)
+ Gọi d1 là đường thẳng đia qua A và song song với BC, d2 là đường thẳng đi qua C
và song song với AB
Lập luận, xác định được phương trình dường thẳng d1 là y = ( 1 )
3
16 3
2
trình của đường thẳng d2 là y = 72x – 23 (2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta có nghiệm của hệ (x = 10; y = 12) là tọa độ giao điểm của d1 và d2 Vậy D(10; 12)
Câu 4: (5 điểm)
Gợi ý giải:
a.- Vì x > 0; y > 0 nên 1x 1y x 4y
(x – y)2 0 Vậy nếu x > 0; y > 0 thì x y
y x y
4 1
1
b.- Từ giả thiết suy ra 1 b 2c a
a p
p
Áp dụng kết quả câu a ta có: p1a p1 b 2p 4(a b) c4
Trang 3Tương tự, suy ra p1 a p1 b p1 c a2 b2 c2
a p c p
c p b p
b p a p
b a p c p
a c p b p
c b p a p
4 1 1
4 1 1
4 1 1
Vậy ta có điều phải chứng minh
Câu 5: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Vẽ đường cao AH Ta có
SinC
c SinB
b HC
AH SinC HB
AH B
SinC SinB
SinA
c b a SinC
c SinB
b SinA a
Vậy aSinA bSinB cSinC (SinA SinB SinC). k (1)
Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k
Suy ra: (abc)(SinASinBSinC) (SinASinB SinC). k (2)
Từ (1) và (2) ta có đ.p.c.m
Câu 6: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Gọi I là trung điểm của AH Chứng minh IP AD từ đó suy ra I là trực tâm của tam giác APD Suy ra DI AP (1)
Chứng tỏ được tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy ra DI // PQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AP PQ suy ra đ.p.c.m
* Chú ý:
+ Điểm tối đa ở mỗi phần chỉ chấm với những bài làm có chữ viết rõ ràng, trình bày sạch, đẹp Điểm tổng cộng của toàn bài không làm tròn.
+ Biểu điểm chi tiết cho từng câu, từng phần tổ chấm thảo luận để thống nhất.
––––––––––––
UBND HUYỆN LẠC SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS, NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức 3 2 2 : 1
Với x 0; x 4; x 9 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A khi x 4 2 3
c) Với giá trị nào của x thì 1
A đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 2 (4,0 điểm) Cho các hàm số sau:
5
x
4
1
; y 4x
a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy?
Trang 4b) Tính diện tích của tam giác được tạo bởi ba đường thẳng này?
Bài 3 (2,0 điểm )
a) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 4 4 3 3
x y xy x y
b) Chứng minh : 2011 2012 2013
4 4 4 chia hết cho 84
Bài 4 (2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với đường chéo AC.Gọi M, E lần lượt là
trung điểm của AH và CD.Tính góc BME
Bài 5 (6,0điểm):
Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By vuông
góc với AB Trên Ax và By lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho MON 900
( Với O là trung điểm của AB) Chứng minh rằng
a) NM = AM + BN
b) NM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
c) AM BN = 2
4
AB
Bài 6 (1,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 33
xy
Họ,tên thí sinh SBD Trường
Người coi thi số1 Người coi thi số2
UBND HUYỆN LẠC SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013
BỘ MÔN : TOÁN
-Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng câu, từng bài.
- Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập
luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm
- Điểm toàm bài không làm tròn.
1 a) Với điều kiện * ta có:
:
(1,0điểm)
:
1
x
5,0đ
Trang 5:
1
x
x
(0,5điểm)
:
x
(0,5điểm)
b) ta có x 4 2 3 3 1 2
thoả mãn điều kiện Khi đó: x 3 1 2 3 1 (0,5điểm)
Do vậy, giá trị của biểu thức A là: 3 1 1 3 1
3 1 2 3 3 1 3
A
A
Để 1
A có GTNN thì 3
1
x có GTLN, hay x 1 có GTNN.Ta có: x 1 1, dấu "=" xảy ra khi x = 0
Giá trị nhỏ nhất của 1
0 1
, xảy ra khi x = 0 (0,5điểm)
a) Chứng minh với mọi x,y ta có : x4y4 xy3x y3 (1)
(1) x4y4 xy3x y3 x(x3- y3) – y(x3- y3) 0
(x-y)2(x2 + xy + y2) 0 (0,5điểm)
(x-y)2
2 2
y 3y
(2) (2) luôn đúng (1) đúng
Dấu “ =” xảy ra khi x = y (0,5điểm)
b) Chứng minh : 4 2011 4 2012 4 2013 chia hết cho 84.
Ta có 420114201242013420111 4 4 2 42011.21 4 2010.84 (0,5điểm)
chứng tỏ 4 2011 4 2012 4 2013 chia hết cho 84 (0,5điểm)
2,0đ
Trang 6b)Gọi giao điểm của đường thẳng y= - x + 5 và đường thẳng 1
4
y x
là E ta có: Hoành độ của điểm E phải thỏa mãn phương trình
-x + 5 = 1
4 x Suy ra x = 4; y = 1 và E(4;1)
Tương tự: D là giao điểm của 2 đường thẳng y = 4x và y= -x + 5 và có tọa độ là :
D(1;4) (0,5điểm)
SDOE = SOAB - SODA - SOEB )
2 2 2
2 =
1
2(5.5 – 5.1 – 5.1) = 7,5 (0,5điểm)
4,0đ
Trang 7O A
B
x
y
M
N K
E
B
C
H
M
E
T
N
3
Vẽ hình ghi GT & KL đỳng (0,5điểm)
Gọi N là trung điểm của BH
Lập luận chứng minh được
N là trực tâm của tam giác BMC CN BM
(0,5điểm)
Lập luận chứng minh tứ giác MNCE là hình b.hành
/ /
EM CN
(0,5điểm)
Mà CN BM Suy ra MEBM hay 0
90
2,0đ
4
Vẽ hình ghi GT & KL đúng (0,5điểm)
a) Gọi giao điểm của tia MA và NO là E
chứng minh được: BN = AE, OE = ON
(1,0điểm)
Lập luận chứng tỏ EMN cân tại M
Suy ra MN = ME = AM + BN (1,0điểm)
b)Kẻ OK vuông góc NM Chứng minh
được
OK = OA (1,0điểm)
Suy ra MN là tiếp tuyến của ( O; AB/2)
(0,5điểm)
c)Xét tam giác vuông MON có OK là
đường cao
Có hệ thức OK2 MK KN (0,5điểm)
Mà MK = AM, KN = BN ( T/c tiếp tuyến)
Suy ra AM BN =
2 2 4
AB
OK (0,5điểm)
5,0đ
5
a ) Ta có
2 2
x y
Cũng từ
2 2
x y xy
xy
Từ ( *) Và (**) suy ra A = 2 2 33 8 33 65
xy
dấu " =" xảy ra x y 2
2,0đ
Trang 8Vậy Min A = 65 2
4 x y (0,5điểm)