ĐỀ 39 Câu 1: (1đ) Chứng minh rằng: − − − ++ + 1 2 12 2 a a aa a . . a a 1+ = = 1 2 − a với a > 0, a với a > 0, a ≠ 1 1 Câu 2: (1.5đ) a.Tìm giao điểm của hai đường thẳng (d 1 ): 5x-2y =c và (d 2 ): x+ by =2, biết rằng (d 1 ) đi qua điểm (5;-1) và (d 2 ) đi qua điểm B(-7;3). b.Vẽ hai đồ thị hàm số : (P) : y= x 2 và (d) : y= 4x-4 trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên bằng phép tính. Câu 3: (2đ) Cạnh huyền của một tam giác vuông dài 15 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3m.Tìm các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. Câu 4: (2đ) Cho phương trình (m+1)x 2 - 2(m-1)x + m – 2 = 0 (*) a. Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. b. Xác định m để phương trình (*) có một nghiệm bằng 3 và tìm nghiệm còn lại. c. Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn 4(x 1 +x 2 )=7x 1 x 2 . Câu 5: (3.5đ) Cho tam giác ABC cân tại A,các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. a.Chứng minh : ED = 1 2 BC. b.Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của (O). c. Chứng minh : BD.DC =AD.DH. d. Tính độ dài DE biết rằng DH= 4cm, AH=5cm. Giải và thang điểm: Câu 1: (1đ) VT= VT= − − − ++ + 1 2 12 2 a a aa a . . a a 1+ = = 2 2 2 ( 1) ( 1)( 1) a a a a a + − − + + − . . a a 1+ ` ` = = 2 ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a + − − − + + − . . a a 1+ (0,5đ) = = 1 )2()2( − −−−−+ a aaaa . . a 1 (0,25đ) = = 1 2 −a a . . a 1 = = 1 2 −a =VP =VP (0,25đ) Câu 2: (1.5đ) a. (d 1 ): 5x-2y = c đi qua điểm (5;-1) nên 5.5-2.(-1)= c hay c = 27 (d 2 ): x+ by =2 đi qua điểm B(-7;3) nên -7+ 3b = 2 hay b = 3 (0,25đ) Như vậy ,phương trình của (d 1 ) là 5x -2y =27,(d 2 ) là x+3y=2. (0,25đ) Giao điểm của hai đường thẳng này là nghiệm của hệ phương trình 5 2 27 3 2 x y x y − = + = Giải hệ phương trình ta có nghiệm 5 1 x y = = − Vậy giao điểm cần tìm là M(5;-1) (0,25đ) b. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y= x 2 9 4 1 0 1 4 9 (d) : y= 4x-4 đi qua A( 0;-4) và B(1;0) (0,25đ) Vẽ đồ thị : (0,25đ) 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 Hoành độ giao điểm : x 2 = 4x-4 ⇔ x 2 -2x+4=0 Phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = 2 Tung độ giao điểm : Thay x= 2 vào y= 4x-4 ta có y= 4 Vậy (P) tiếp xúc với (d) tại E(2;2) (0,25đ) Câu 3: (2đ) Gọi x (m) là độ dài của một cạnh góc vuông (0<x <15) Độ dài của cạnh góc vuông còn lại là x+3 (m) (0,5đ) Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: x 2 +(x+3) 2 =152 (0,5đ) ⇔ x 2 +3x -108 =0 (0,5đ) Giải phương trình được x 1 =9 (nhận) x 2 =-12 (loại) Kết luận: Độ dài của hai cạnh góc vuông là 9m và 12m. (0,5đ) Câu 4: (2đ) Cho phương trình (m+1)x 2 - 2(m-1)x + m – 2 = 0 (*) a. Điều kiện: m+1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 (0,5đ) ′ ∆ = [- (m-1)] 2 -(m+1) (m – 2) = -m +3 (0,25đ) Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thì -m +3>0 ⇔ m < 3 Vậy với m < 3 và m ≠ -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. (0,25đ) b. Khi x =3 ta được (m+1).3 2 - 2(m-1).3 + m – 2 = 0 ⇔ 4m +13 =0 ⇔ m = 13 4 − (0,25đ) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có :x1.x2= 2 1 m m − + = 7 3 ⇒ x 2 = 7 9 (0,25đ) c. Áp dụng định lí Vi-et ta có: x 1 +x 2 = 2( 1) 1 m m − + x 1 x 2 = 2 1 m m − + 4(x 1 +x 2 ) =7x 1 x 2 ⇒ 8( 1) 1 m m − + = 7( 2) 1 m m − + (0,25đ) ⇒ 8m-8 = 7m -14 ⇔ m = -6 (0,25đ) Câu 5: (3.5đ) Hình vẽ (0,5đ) O H E D B C A a. Ta có ∆ BEC vuông tại E(do BE là đường cao),có ED là trung tuyến (vì AD là đường cao của ∆ ABC cân tại A). ⇒ ED = 1 2 BC (0,5đ) b. ∆ AHE vuông tại E nên OA=OH=OE · · DBH DEH= (Vì ∆ DBE có DB =ED = 1 2 BC) · · AHE BHD= (đối đỉnh) · · AHE OEH= ( Vì OE=OH) Mà · · DBH BHD+ =180 0 nên · · DEH OEH+ =90 0 ⇒ DE ⊥ OE ⇒ DE là tiếp tuyến của (O). (1đ) c. ∆ BDH đồng dạng với ∆ ADC (g-g) (0,5đ) ⇒ BD DH AD DC = ⇒ BD.DC =AD.DH (0,5đ) d.Có BD.DC =AD.DH=(AH+HD).DH=(5+4).4=36 Mà DE=DB=DC nên DE= 36 =6 (cm) (0,5đ) . 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 Hoành độ giao điểm : x 2 = 4x-4 ⇔ x 2 -2x+4=0 Phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = 2 Tung độ giao điểm : Thay x= 2 vào y= 4x-4 ta có y= 4 Vậy (P) tiếp xúc. định m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. b. Xác định m để phương trình (*) có một nghiệm bằng 3 và tìm nghiệm còn lại. c. Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn 4(x 1 +x 2 )=7x 1 x 2 . Câu. Ta có ∆ BEC vuông tại E(do BE là đường cao) ,có ED là trung tuyến (vì AD là đường cao của ∆ ABC cân tại A). ⇒ ED = 1 2 BC (0,5đ) b. ∆ AHE vuông tại E nên OA=OH=OE · · DBH DEH= (Vì ∆ DBE có