SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (5,0 điểm). 1. Cho hàm số 4 2 y x mx m= − + , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị. 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 f x x 1 x = − trên đoạn [ ] 0;1 . Câu II (5,0 điểm). 1. Giải bất phương trình ( ) 2 2x 5x 3 x 1 x− + ≥ − ∈¡ . 2. Giải hệ phương trình ( ) 2 2 x y 4xy 3 x,y x y xy 1 + − = − ∈ + − = ¡ . Câu III (5,0 điểm). 1. Tìm hệ số của 15 x trong khai triển nhị thức Niutơn của n 5 2 1 x , x 0 x + ≠ ÷ . Biết 0 1 n 1 n n n n n C C C C 1024 − + + + + = (với * n ∈¥ , k n C là số các tổ hợp chập k của n ) 2. Giải phương trình : ( ) ( ) 2sin x 1 sin x 2cosx sin 2x cosx− + = − . Câu IV (5,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy là tam giác vuông tại B . Gọi B' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB . Qua điểm B' kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BC cắt SC tại C' . 1. Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng ( ) AB'C' . 2. Tính theo a thể tích khối chóp S.AB'C' , biết SA AB a= = và =BC 2a . - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - BT THPT (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm I. 1, (2,5đ) TXĐ: D = ¡ Ta có 3 y' 4x 2mx= − 0,5 ( ) 3 2 y' 0 4x 2mx 0 x 2x m 0 = ⇔ − = ⇔ − = 0,5 ( ) 2 x 0 2x m 0 1 = ⇔ − = 0,5 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0,5 m 0 m 0 m 0 > ⇔ ⇔ > − ≠ . Vậy giá trị cần tìm là: m 0> 0,5 I. 2, (2,5đ) Hàm số ( ) 2 f x x 1 x = − liên tục trên đoạn [ ] 0;1 Ta có ( ) 2 2 2 2 2 x 1 2x f ' x 1 x 1 x 1 x − = − − = − − 0,5 ( ) 2 2 2 1 2x f ' x 0 0 1 2x 0 1 x − = ⇔ = ⇔ − = − 0,5 ( ) ( ) 2 x 0;1 2 2 x 0;1 2 = ∈ ⇔ = − ∉ 0,5 Ta có ( ) ( ) 2 1 f 0 0, f 1 0, f 2 2 = = = ÷ 0,5 Vậy [ ] ( ) ( ) ( ) 0;1 Minf x f 0 f 1 0= = = , [ ] ( ) 0;1 2 1 Maxf x f 2 2 = = ÷ 0,5 II. 1, (2,5đ) Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 1 0 1 2x 5x 3 0 x 1 0 2 2x 5x 3 x 1 − ≤ − + ≥ − > − + ≥ − 0,5 2 B’ B A C C’ S Hệ BPT ( ) x 1 x 1 1 x 1 3 x 2 ≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≥ 0,5 Hệ BPT ( ) 2 x 1 2 x 3x 2 0 > ⇔ − + ≥ 0,5 x 1 x 2 x 1 x 2 > ⇔ ⇔ ≥ ≤ ≥ 0,5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ( ] [ ) S ;1 2;= −∞ ∪ + ∞ 0,5 II. 2, (2,5đ) Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) 2 x y 6xy 3 x y xy 1 + − = − + − = 0,5 ( ) 2 x y 6xy 3 0 xy x y 1 + − + = ⇔ = + − 0,5 ( ) ( ) 2 x y 3 x y 6 x y 9 0 xy 2 xy x y 1 + = + − + + = ⇔ ⇔ = = + − 0,5 x 1 y 2 x 2 y 1 = = ⇔ = = 0,5 Vậy nghiệm ( ) x; y của hệ phương trình đã cho là: ( ) ( ) 1; 2 , 2;1 0,5 III. 1, (2,5đ) Ta có ( ) n 0 1 n 1 n n n n n 1 1 C C C C − + = + + + + 0 1 n 1 n n n n n n C C C C 2 − ⇔ + + + + = 0,5 Từ giả thiết ta suy ra n n 10 2 1024 2 2 n 10= ⇔ = ⇔ = 0,5 Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của 10 5 2 1 x x + ÷ là ( ) 2 10 k k 5k k 7k 20 10 10 C .x .x C .x − − − = 0,5 Suy ra 15 x ứng với 7k 20 15 k 5− = ⇔ = 0,5 Vậy hệ số của 15 x là 5 10 C 252= 0,5 III. 2, (2,5đ) PT ( ) ( ) 2sin x 1 sinx+2cosx 2sin xcosx cosx⇔ − = − 0,5 ( ) ( ) ( ) 2sin x 1 sinx+2cosx cosx 2sin x 1 0⇔ − − − = 0,5 ( ) ( ) 2sin x 1 0 (1) 2sin x 1 sinx+cosx 0 sinx+cosx =0 (2) − = ⇔ − = ⇔ 0,5 3 ( ) ( ) x k2 1 6 PT 1 sinx = k 5 2 x k2 6 π = + π ⇔ ⇔ ∈ π = + π ¢ 0,5 ( ) ( ) PT 2 2 sin x + 0 x + k x= k k 4 4 4 π π π ⇔ = ⇔ = π ⇔ − + π ∈ ÷ ¢ Vậy nghiệm của phương trình là ( ) 5 x k2 , x k2 , x k k 6 6 4 π π π = + π = + π = − + π ∈¢ 0,5 IV. 1, (2,5đ) Ta có ( ) SA ABC SA BC (1)⊥ ⇒ ⊥ Mặt khác BC AB (2)⊥ 0,5 Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra ( ) BC SAB⊥ 0,5 Do đó ( ) BC SB B'C' SB 3⊥ ⇒ ⊥ (vì B'C'// BC ) 0,5 Theo giả thiết ta có SB AB' (4)⊥ 0,5 Từ ( ) 3 và ( ) 4 suy ra ( ) SB AB'C'⊥ 0,5 IV. 2, (2,5đ) Ta thấy tam giác SAB cân tại A suy ra B' là trung điểm của SB , do đó 1 SB' SB 2 = 0,5 2 2 a 2 SB SA AB a 2 SB' 2 = + = ⇒ = Vì SAB∆ vuông tại A nên ta có a 2 AB' SB' 2 = = 0,5 Do ( ) ( ) BC SAB B'C' SAB B'C' AB'⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,5 Ta có B'C' là đường trung bình của tam giác SBC suy ra 1 B'C' BC a 2 = = 0,5 Thể tích của khối chóp S.AB'C' là 3 1 a V SB'.AB'.B'C' 6 12 = = . 0,5 Hết Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm. 4 . thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 20 13 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - BT THPT (Hướng dẫn chấm gồm 03. AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 20 13 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (5,0 điểm). 1. Cho hàm số 4. 3 0 x 1 0 2 2x 5x 3 x 1 − ≤ − + ≥ − > − + ≥ − 0,5 2 B’ B A C C’ S Hệ BPT ( ) x 1 x 1 1 x 1 3 x 2 ≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≥ 0,5 Hệ BPT ( ) 2 x 1 2 x 3x