Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 số 12

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT – BẢNG B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (6,0 điểm) a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm: (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. b) Chứng minh rằng: 3 sinx cosx x   >  ÷   , với x (0; ) 2 π ∀ ∈ . Bài 2. (6,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 2 y x 1 x= + − b) Giải hệ: x y sinx e sin y sin 2y cos2y sin x cos x 1 x, y 0; 4 −  =    − = + −   π    ∈  ÷     Bài 3. (2,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( ) 2 cos 3x 9x 160x 800 1. 8 π   − + + =     Bài 4. (5,5 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Biết A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình: 3x – y – 8 = 0. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 – 2x – 4y + 4 = 0 và đường thẳng ∆ có phương trình: x – y – 1 = 0. Từ điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MT 1 , MT 2 đến (C) (T 1 , T 2 là tiếp điểm) . Chứng minh rằng: đường thẳng T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên ∆. Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Đề chính . GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT – BẢNG B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (6,0 điểm) a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình. đường thẳng T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên ∆. Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Đề chính .  , với x (0; ) 2 π ∀ ∈ . Bài 2. (6,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 2 y x 1 x= + − b) Giải hệ: x y sinx e sin y sin 2y cos2y sin x cos x 1 x, y 0; 4 −  =    −