Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 số 7

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1.Cho hàm số: y=x 3 -(m+1)x 2 -(2m 2 -3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số) a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m. b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+ ∞ ) . Bài 2. a.Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau : x 2 - 2mx + 2 mx − +5 < 0. Có ít nhất một nghiệm. b.Tìm a để phương trình sau có nghiệm và tìm nghiệm: ax x a LogLogLogLogLog xaaax .4 2 . 22 2 =+ (1) Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.Hai điểm R,S lần lượt lấy trên các cạnh AC và BD sao cho k BS BD AR AC == (k > 0). Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng. Bài 4. Cho tứ diện ABCD có BAD =90 0 và chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng : (AB +BC +CA) 2 ≤ 6(AD 2 +BD 2 +CD 2 ). Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện : 2y ≥ x 2 ; y ≤ -2x 2 + 3x . Chứng minh rằng : x 2 + y 2 ≤ 2. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) HƯỚNG DẪN CHẤM. Bài 1.(4điểm). a.(2điểm) Điểm A(x 0 ;y 0 ) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. 0.5đ    = = ⇔      =−−− =+− =− ⇔ ∀=−−−++−−−⇔ ∀−++−−+−⇔ 0 2 02 023 02 .,0)2()23()2(2 .),12(2)232()1( 0 0 00 2 0 3 0 0 2 0 0 00 2 0 3 00 2 0 2 0 0 22 0 3 0 y x yxxx xx x myxxxmxxmx mmmxmmxmx 0.5đ 0.5đ Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua m∀ 0.5đ b.(2điểm) Ta có: )232()1(23)( 22, +−−+−== mmxmxxgy 0.5đ ∆ ’ =7m 2 –7m +7 = 7(m 2 -m+1) > 0 , m∀ 0.5đ y , ≥ 0, );2( +∞∈∀x      <− ≥ ⇔ 02 2 0)2( S g 0.5đ 23 05 062 2 ≤≤−⇔    <− ≤−+ ⇔ m m mm 0.5đ Bài 2.(6điểm) a.(3điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với : (*)052)( 22 <−+−+− mmxmx 0.5đ đặt: t = mx − điều kiện : t , ≥ 0 0.5đ (*)trở thành    ≥ <−++ 0 )1(052 22 t mtt 0.5đ Hệ có nghiệm    ≥ >∆ ⇔ 0 0 2 ' t (t 2 là nghiệm lớn) 0.5đ 0.5d 5 0.5d 041 04 2 2 ≥⇔      ≥−+− >− ⇔ m m m b.(3điểm) Đ/k : x>0 , x 1≠ , a>0 , a 1≠ 0.5đ (1) ⇔ x x x x a aaa a log logloglog log 1 .2 22 1 . 1 2 =+ x xx x a a aaa a log log logloglog log 22 2. 2 =+−⇔ 0.5đ Đặt : t = x a log , b= 2 log a .Ta được phương trình: )2(022 22 2 =−+−⇔=+− btbt t b tbt t 0.5đ -Nếu bt ≥ thì )3(042)2( 2 =−+⇔ btt (3) có nghiệm 4 1 0' −≥⇔≥∆⇔ b Lúc đó (3) có hai nghiệm btbt 411;411 21 ++−=+−−= Rõ ràng t 1 <-1 < b nên bị loại. 200)2(141 2 ≤≤⇔≤−⇔+≥+⇔≥ bbbbbbt Vậy 20 ≤≤ b 2220 2 log ≥⇔≤≤⇔ a a Vì a>0 nên a ≥ 2 0.5đ -Nếu t< b thì (2) 02 2 =−⇔ tt Vì t )1(0 ≠≠ x nên t=2 Theo điều kiện t< b, ta phải có: b>2 212122 2 log <<⇒<<⇒>⇒ aa a 0.5đ Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm khi a > 1 Khi 1<a< 2 thì nghiệm là x = a 2 Khi a 2≥ thì nghiệm là x = a 1241 log −+ a 0.5đ Bài 3.(4điểm) [ ] [ ] ,, 22 0.5d )0BPAP (vi )( 2 0.5d )( 2 0.5d )( 2 1 0.5d )0BPAP (vi )( 2 1 0.5d )()( 2 1 0.5d )()( 2 1 0.5d )( 2 1 PSPRPQtovecbaPS k PR k PQ PSPR k PSBPPRAP k BSARk BDAC BPAPBDAC BPBDAPAC PDPCPQ −⇒+= =++= +++= += =++= +−+= −+−= += Đồng phẳng hay bốn điểm P,Q,R,S cùng thuộc một mặt phẳng. 0.5đ Bài 4.(4điểm) Trước hết ta chứng minh CDA =90 0 Thật vậy: Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC), giả sử CH cắt AB tại E Do :AB DH⊥ và AB CE⊥ nên AB )(D EC⊥ Suy ra : AB DC⊥ (1) 1đ Mặt khác :theo giả thiết BDC =90 0 BDDC ⊥⇒ (2) Từ (1)và (2) ⇒⊥⇒⊥ DADCABDDC )( CDA =90 0 0.5đ Hoàn toàn tương tự : ADB =90 0 0.5đ Từ đó ta có : AB 2 + BC 2 + CA 2 =2(AD 2 +BD 2 +CD 2 ) (1) 0.5đ Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có: (AB+BC+CA) 2 = AB 2 +BC 2 +CA 2 +2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB ≤ (AB 2 +BC 2 +CA 2 ) (2) Kết hợp (1),(2) ta được : (AB+BC+CA) 2 ≤ 6(AD 2 +BD 2 +CD 2 ) 1đ Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA. 0.5đ Bài 5.(2điểm) Từ giả thiết suy ra : xxy x 32 2 2 2 +−≤≤ (1) 0.5đ (Các điểm thoả mãn (1)là phần hình phẳng được tô đậm ở hình bên). Hoành độ giao điểm của hai Parabol: 0 4 3 5 6 y 1 = 2 2 x và y 2 =-2x 2 +3x là nghiệm phương trình: 5 6 ,032 2 2 2 ==⇔+−= xxxx x Với điều kiện (1) ,ta có : x 2 +y 2 222 )32( xxx +−+≤ = 232 10124 xxx +− với 5 6 0 ≤≤ x 0.5đ Ta xét hàm số : f(x)=4x 4 –12x 3 +10x 2 trên       5 6 ;0 f’(x)=16x 3 -36x 2 +20x =4x(4x 2 -9x+5) f’(x)=0 ⇔ x=0 , x=1, x= 4 5 0.5đ Bảng biến thiên x 0 1 6\5 f’(x) + 0 - 2 f(x) 0 625 1224 Từ bảng biến thiên : )( 5 6 ;0 xMaxf       = 2. Vì vậy : .2 22 ≤+ yx Dấu bằng xẩy ra khi :x = y =1. 0.5 . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1.Cho hàm số: y=x 3 -(m+1)x 2 -(2m 2 -3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số) a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua. +CD 2 ). Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện : 2y ≥ x 2 ; y ≤ -2x 2 + 3x . Chứng minh rằng : x 2 + y 2 ≤ 2. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (Giám thị coi thi không giải. thị đi qua m∀ 0.5đ b.(2điểm) Ta có: )232()1(23)( 22, +−−+−== mmxmxxgy 0.5đ ∆ ’ =7m 2 –7m +7 = 7( m 2 -m+1) > 0 , m∀ 0.5đ y , ≥ 0, );2( +∞∈∀x      <− ≥ ⇔ 02 2 0)2( S g