ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 2 Ngày 28 tháng 5 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 3 3 4y x mx m= − + (1) với m là tham số. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Cho đường thẳng ∆ có phương trình: y = x. Tìm các giá trị m > 0 để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến ∆ gấp đôi khoảng cách từ điểm cực đại đến ∆ . Câu 2.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình: 3sin 3 cos5 3 4sin -1 cos x x x x − − = 2. Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức 3 1 3 2 . 1 i z i z i − + = ÷ ÷ + . Hãy tính giá trị của biểu thức 2A z iz = + . Câu 3.(0.5 điểm) Cho phương trình : 2 2 2 2 log ( 3)log 3 1 log ( ) 2 x m x m x m− + + + = Tìm m để phương trình có nghiệm ∈x R . Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 1 -3 3 ( , ) 1 2 8 + + + = ∈ + + = x x y y x y R x y y Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân : 2 1 0 ( ) x x x x e dx x e − + + ∫ Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD. Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc a với 21 os 7 c a = , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Câu 7.(1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip có 4 đỉnh A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình thoi. Biết rằng độ dài trục lớn của elip gấp 4 lần bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn của elip bằng 5 5 . Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC. Biết đỉnh A (1, 2, 5), đường cao BH có phương trình : 3 6 1 2 2 1 x y z- - - = = - , đường trung tuyến CN có phương trình: 4 2 2 1 4 1 x y z- - - = = - , viết phương trình đường thẳng BC. Câu 9.(1.0 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau mà tổng của ba chữ số đó bằng 7. Câu 10.(1,0 điểm) Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2M ab bc ca abc= + + - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 112 1 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Cho hàm số 3 2 3 3 4y x mx m= − + (1) với m là tham số. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 1.0 Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x 3 − 3x 2 + 4 + TXĐ: R +Giới hạn và tiệm cận: 3 3 3 4 lim lim 1 x x y x x x →±∞ →±∞ = − + = ±∞ ÷ + Sự biến thiên: y’ = 3x 2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 Hàm số đồng biến trên: (−∞; 0) và (2; +∞) Hàm số nghich biến trên: (0; 2) Hàm số đạt CĐ tại x CĐ = 0, y CĐ = 4; đạt CT tại x CT = 2, y CT = 0 LËp BBT: §å thÞ: 1.2 Cho đường thẳng ∆ có phương trình: y = x. Tìm các giá trị m > 0 để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến ∆ gấp đôi khoảng cách từ điểm cực đại đến ∆ . 1.0 Với m > 0 ta thấy : y’ = 3x 2 − 6mx = 0 ⇔ 0 2 x x m = = , khi đó hàm số có cực đại và cực tiểu . Khi đó hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m 3 ), B(2m; 0), A là điểm cực đại. 3 ( , ) ( , ) 2 2 2.4 B A d d m m ∆ ∆ = ⇔ = . Giải ra ta có: 1 2 m = 2.1 Giải phương trình: 3sin 3 cos5 3 4sin -1 cos x x x x − − = §iÒu kiÖn: 2 x k π π ⇔ ≠ + 0.5 PT 3sin 3 os5 3 2sin 2 cosx c x x x ⇔ − − = − 3sin 3 3 2sin 2 cos5 cos 0 3(sin 3 1) 2sin 2 2sin3 sin 2 0x x x x x x x x⇔ − − − + = ⇔ − − + = (sin 3 1)(2sin 2 3) 0x x⇔ − + = sin 3 1 2 2sin 2 3, (loai) 6 3 x x k x π π = ⇔ ⇔ = + = − §èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ 5 2 ; 2 6 6 x k x k π π π π = + = + 2.2 Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức 3 1 3 2 . 1 i z i z i − + = ÷ ÷ + . Hãy tính giá trị của biểu thức 2A z iz = + 0.5 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3 1 3 3 3 3 3 4 1 1 3 8 4 2 . 2 2 1 1 3 3 2 2 1 2 i i i i i z i z i i i i i i i − + − + − − + = = = = = = + ÷ ÷ + + + + − + − Đặt ; ,z a bi a b = + ∈ ¡ . Do đó 2 0 x 4 +∞ −∞ − + + 0 0 y’ −∞ 2 +∞ y 0 x y O ( ) 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2z i z i a bi ai bi i a b a b i i + = + ⇔ + + − = + ⇔ + + + = + 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b a b z i a b + = ⇔ ⇔ = = ⇒ = + + = Do đó 2 2 2 2 2 . 2 . 2 . 2 2 8 3 3 3 3 A z i z i i i i i= + = + + − = + = 3 Cho phương trình : 2 2 2 2 log ( 3)log 3 1 log ( ) 2 x m x m x m− + + + = Tìm m để phương trình có nghiệm ∈x R . 0.5 + Với x > 0, đặt 2 log x = t . Khi đó phương trình (1) có dạng: 2 2( 3) 3 1 1mt m t m t− + + + = − ⇔ 2 2 1 2( 3) 3 1 2 1 t mt m t m t t ≥ − + + + = − + ⇔ 2 2 2 2 1 1 4 ( 2 3) 4 2 3 t t t t m t t t t m t t ≥ ≥ ⇔ + − + = + = − + (2) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm ⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị f(t) = 2 2 4 2 3 t t t t + − + trên miền [1; + ∞ ) +Ta có f’(t) = 2 2 2 6 6 12 ( 2 3) t t t t − + + − + , f’(t) = 0 ⇔ 1 2 t t = − = +BBT t -1 1 2 + ∞ f’(t) 0 + 0 - f(t) 4 5/2 1 Từ BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m ≤ 4 4 Giải hệ phương trình: 1 -3 3 ( , ) 1 2 8 + + + = ∈ + + = x x y y x y R x y y ĐK : 1 0; 0; 3y x x y y ≠ + ≥ + ≥ 1.0 Đặt 1 0; 3 0= + ≥ = + − ≥a x b x y y ta có hệ 2 2 3 (1) 5(2) + = + = a b a b Thay (1) vào (2) được 2, 1 1, 2 = = = = a b a b Với a = 2, b = 1 được 1 2 3, 1 5, 1 3 1 + = = = ⇔ = = − + − = x x y y x y x y (thỏa mãn điều kiện) Với a = 1, b = 2 được 1 1 4 10, 3 10 4 10, 3 10 3 2 + = = − = + ⇔ = + = − + − = x x y y x y x y (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ có 4 nghiệm 5 Tính tích phân : 2 1 0 ( ) x x x x e dx x e − + + ∫ 1.0 Ta có 2 1 0 ( ) x x x x e dx x e − + + ∫ = 1 0 .( 1) 1 x x x xe x e dx xe + + ∫ 3 Đặt 1. += x ext dxexdt x )1( +=⇒ Đổi cận: 0 1; 1 1x t x t e= ⇒ = = ⇒ = + Suy ra 1 0 .( 1) 1 x x x xe x e dx xe + + ∫ 1 1 ( 1) e t dt t + − = ∫ 1 1 1 1 e dt t + = − ÷ ∫ . ( ) 1 1 ln ln( 1) e t t e e + = − = − + 6 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD. Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc a với 21 os 7 c a = , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 1.0 Ta có : S.MNP P.SMN P.SBC A.SBC S.ABC S.ABCD 1 1 1 1 V =V = V = V = V = V 4 4 4 8 Gọi H là trung điểm AB suy ra SH AB^ Do ( ) ( )SAB ABCD^ suy ra ( )SH ABCD^ 2 1 1 . . 3 3 SABCD ABCD V SH dt SH a= = Gọi E là trung điểm CD, do (MNP)//(SCD) suy ra: · · · (( ),( )) (( ),( )) ESMNP SAB SCD SAB H a= = = tan tan HE a SH a a = = với 2 2 1 4 tan 1 3 osc a a = - = nên 3 2 SH a= . 3 S.MNP S.ABCD 1 3 V = V 8 48 a = Gọi O là giao điểm của AC, BD, dựng đường thảng a qua O và vuông góc (ABCD) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, dựng đường thẳng b qua G và vuông góc (SAB) Chứng minh được a, b đồng phẳng và cắt nhau tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Bán kính mặt cầu 2 2 2 2 7 R=SI= 3 4 2 3 a a SG GI a+ = + = Diện tích mặt cầu 2 2 7 7 4 3 2 3 S a ap p æ ö ÷ ç ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip có 4 đỉnh A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình thoi. Biết rằng độ dài trục lớn của elip gấp 4 lần bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn của elip bằng 5 5 . 1.0 Giả sử elip có phương trình chính tắc : 2 2 2 2 1 x y a b + = , a>b>0, 2 2 2 c a b= - (1) Theo đề bài ta có 2 2 5 5 a c = (2) Từ (1), (2) suy ra 2 2 4 125( ) 4a b a- = (3) Gỉa sử AC là trục nhỏ của elip, H là hình chiếu của O trên AB thì OH = 2 a Trong tam giác vuông OAB có 2 2 2 1 1 1 OH OA OB = + suy ra 2 2 1 3 b a = (4) 4 Gii h hai phng trỡnh (3) v (4) c a 2 = 125 6 , b 2 = 125 18 . Elip cú phng trỡnh: 2 2 1 125 125 6 18 x y + = 8 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho tam giỏc ABC. Bit nh A (1, 2, 5), ng cao BH cú phng trỡnh : 3 6 1 2 2 1 x y z- - - = = - , ng trung tuyn CN cú phng trỡnh: 4 2 2 1 4 1 x y z- - - = = - , vit phng trỡnh ng thng BC. 1.0 N nm trờn CN nờn N(4+t, 2-4t, 2+t), B nm trờn BH nờn B(3-2t, 6+2t, 1+t) N l trung im AB nờn: 1 (3 2 ') 2(4 ) 0 2 (6 2 ') 2(2 4 ) ' 2 5 (1 ') 2(2 ) t t t t t t t t ỡ ù + - = + ù ỡ ù ù = ù ù + + = - ớ ớ ù ù = - ù ù ợ + + = + ù ù ợ suy ra B(7,2, -1) C(4+t, 2-4t, 2+t) thỡ (3 , 4 , 3)AC t t t+ - - uuur vuụng gúc BH nờn: -2(3+t)+2(- 4t)+1(t-3) = 0 suy ra t = - 1 nờn C(3,6,1) Phng trỡnh ng thng BC: 7 2 1 2 2 1 x y z- - + = = - - 9 T cỏc ch s 0,1,2,3,4,5,6 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn cú ba ch s khỏc nhau m tng ca ba ch s ú bng 7. 0.5 - B 3 ch s cú tng cỏc ch s bng 7 gm {0, 1, 6} (a), {0, 2, 5} (b), {0, 3, 4} (c), {1; 2; 4} (d) - Mi b trong cỏc bụ (a), (b), (c) cú s cỏch lp l: 3! - 1.2.1 = 4 s (tr ch s 0 ng u) => 3 trng hp u cú 12 s c lp - B (d) cú 3! = 6 s c lp - Vy cú 12 + 6 = 18 s c lp tho món yờu cu bi toỏn 10 Xột cỏc s thc khụng õm a, b, c tha món 1a b c+ + = . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 2M ab bc ca abc= + + - . 1.0 Ta cú 2 ( ) (1 2 ) (1 ) (1 2 )ab bc ca abc a b c a bc a a a bc+ + - = + + - = - + - . t t = bc thỡ ta cú 2 2 ( ) (1 ) 0 4 4 b c a t bc + - Ê = Ê = . Xột hs f(t) = a(1- a) + (1 2a)t l n iu trờn on 2 (1 ) 0; 4 a ộ ự - ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ Cú f(0) = a(1 a) 2 ( 1 ) 1 7 4 4 27 a a+ - Ê = < v 2 2 (1 ) 7 1 1 1 7 (2 ) 4 27 4 3 3 27 a f a a ổ ử - ổ ử ữ ỗ ữ ỗ = - + - Ê ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ố ứ vi mi a [ ] 0;1ẻ Vy 7 2 27 ab bc ca abc+ + - Ê . ng thc xy ra khi a = b = c = 1/3 5 . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 2 Ngày 28 tháng 5 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 3 3 4y x mx m= − + (1) với m là tham số. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Cho. + - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 112 1 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Cho hàm số 3 2 3 3 4y x mx m= − + (1) với m là tham số. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 1.0 Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x 3 . BC. Câu 9.(1.0 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau mà tổng của ba chữ số đó bằng 7. Câu 10.(1,0 điểm) Xét các số thực không âm a, b, c thỏa