ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Trường THPT Hương Thủy Câu1: Giải phương trình: [ ] )1(12)1()1(11 2332 xxxx −+=+−−−+ Câu2: Giải hệ bất phương trình: ≥++ ≤++ 1 1 200720052003 1086 zyx zyx Câu3: a. Chứng minh rằng: (*)27256,0 434 pqxqpxx ≥⇔∀≥++ b. Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm đúng (*) thì xpxqx ∀≥++ ,01 34 Câu4: Cho hàm số mxxxf −−= 2 2)( . Định m để giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [– 1 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất. Câu5: Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ? Đáp án Câu1 Nội dung 2.50đ Câu2 Điều kiện: 11 01 01 01 2 ≤≤−⇔ ≥− ≥+ ≥− x x x x 0.50đ Đặt x = cost với [ ] ttxt sinsin1,0 22 ==−⇒∈ π , khi đó: [ ] 2 1 cos sin2)sin2(cos2 sin2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin22 sin2 2 cos 2 sin22. 2 cos 2 sin sin2 2 cos2 2 sin2 2 cos 2 sin sin2)cos1()cos1(sin1)1( 2222 33 3 2 3 2 2 33 −==⇔ +=+−⇔ += ++ −⇔ += − +⇔ += − +⇔ +=+−−+⇔ tx ttt t tttttt t tttt t tttt tttt 0.50đ 1.00đ 0.50đ Giải hệ bất phương trình: ≥++ ≤++ )2(1 )1(1 200720052003 1086 zyx zyx 2.50đ Từ (1) suy ra: x ≤ 1 ; y ≤ 1 ; z ≤ 1 (*) Ta có: ( x 2003 +y 2005 + z 2007 ) – ( x 6 + y 8 + z 10 ) ≥ 0 ⇒ x 6 ( x 1997 – 1 ) + y 8 ( y 1997 – 1 ) + z 10 ( z 1997 – 1) ≥ 0 Mặt khác (*) cho x 6 ( x 1997 – 1 ) + y 8 ( y 1997 – 1 ) + z 10 ( z 1997 – 1) ≤ 0 Do vậy x 6 ( x 1997 – 1 ) + y 8 ( y 1997 – 1 ) + z 10 ( z 1997 – 1) = 0 Nên: x 6 ( x 1997 – 1 ) = 0 ; y 8 ( y 1997 – 1 ) = 0 ; z 10 ( z 1997 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 ; y = 0 hoặc y = 1 ; z = 0 hoặc z = 1 Ta nhận thấy chỉ có : (x = 0 ; y = 0 ; z = 1) (x = 0 ; y = 1 ; z = 0) (x = 1 ; y = 0 ; z = 0) thỏa hệ phương trình. Vậy hệ có ba nghiệm là: (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ 0.50đ 0.25đ 0.25đ Câu3 a. Chứng minh rằng: 1.50đ (*)27256,0 434 pqxqpxx ≥⇔∀≥++ b. Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm đúng (*) thì (**),01 34 xpxqx ∀≥++ a. Xét hàm số qpxxy ++= 4 Ta có: 3 3/ 4 04 p xpxy −=⇔=+= Và xxy ∀≥= ,012 2// Suy ra: q p p p p p Miny +−=+−+ −= 33 3 4 44 3 4 44 Do đó: (*)272560 44 3 ,0 43 3 4 pqq p pxqpxx ≥⇔≥+−⇔∀≥++ b. x = 0 thì (**) đúng x ≠ 0 thì (**) tương đương: 0 11 . 4 ≥ ++ xx pq Đặt: 0 1 4 ≥++⇒= qptt x t Bất đẳng thức này đúng vì p, q thỏa (*). 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ Câu4 Cho hàm số mxxxf −−= 2 2)( . Định m để giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [– 1 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất. 2.50đ Parabol y = 2x 2 – x + m có hoành độ đỉnh là x o = 4 1 ∈ [– 1 ; 1] nên Maxf(x) = max − )1(,) 4 1 (,)1( fff = max +−++− mmm 1, 8 1 ,3 = M Nếu m > 0: tacó mm +−≥+ 1 8 1 Nếu m < 0: m đủ lớn ta có – 3 + m ≥ – 1 + m 0.25đ 0.25đ 0.25đ Vậy: ++−= mmMaxM 8 1 ;3 Do đó: M ≥ – 3 + m M ≥ m+ 8 1 ⇒ 2M ≥ – 3 + m + m+ 8 1 ≥ 8 25 8 1 3 =++− mm ⇒ M ≥ 16 25 Suy ra Min(M) = 16 25 .Dấu “ = ’’ xãy ra khi 8 1 3 +=− mm 16 23 =⇔ m 0.50đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ 0.25đ Câu5 Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ? 1.00đ H I A B C S D 0.25đ Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt là trung điểm của BC & SA. Ta có: SA ⊥ (BCD). Do đó: SAIDBCSABCDdtV 6 1 . 3 1 =∆= mà ID = CD 2 – CI 2 = SC 2 – SD 2 – CI 2 = 1 – 2 2 x Suy ra: 22 2 2 24 12 1 2 1 6 1 xx x xV −=−= Vì vậy: 39 2 = MaxV đạt tại x = 3 32 0.50đ 0.25đ 0.25đ . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Trường THPT Hương Thủy Câu1: Giải phương trình: [ ] )1(12)1()1(11 2332 xxxx −+=+−−−+ Câu2:. đạt giá trị nhỏ nhất. Câu5: Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ? Đáp án Câu1 Nội. 0.50đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ 0.25đ Câu5 Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ? 1.00đ