Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 Môn thi: TOÁN; Lần 03 – GV: ĐẶNG VIỆT HÙNG Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT chỉ có tại website MOON.VN Câu 1 (2,0 điểm). Ta có: ( ) ( ) 2 2 ' 6 6 2 12 6 2 2 y x m x m x m x m = − + + = − + + Hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u khi ph ươ ng trình ' 0 y = đổi dấu qua các nghiệm ' 0 y ⇔ = có 2 nghiệm phân biệt ( ) ( ) 2 2 0 2 4.2 0 2 0 2 m m m m ⇔ ∆ > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ ≠ Ta có: 3 2 6 8 ' 0 2 12 x m y m m y x y m = ⇒ = − + + = ⇔ = ⇒ = Giả sử ( ) ( ) 3 2 ; 6 8 , 2;12 A m m m B m − + + là các điểm cực trị của hàm số. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 2 3 2 2 2 2 6 12 8 2 2 2 2 AB AB m m m m m m = ⇔ = ⇔ − + − + − + = ⇔ − + − = Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 1 0 1 2 2 2 0 1 2 2 0 t t t m t t t t t t t t t vn − = ⇔ = = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − + + ⇔ + + = ( ) 2 2 1 3 2 1 2 1 1 m m m m m − = = ⇒ − = ⇔ ⇔ − = − = V ậ y 3, 1 m m = = là giá tr ị c ầ n tìm. Câu 2 (1,0 đ i ể m). a) Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 cot α cot α 1 9 sin α sin α + = ⇒ = − = . Do 3π α ;2π 2 ∈ nên 1 1 cotα 3 tanα cot α 3 = − ⇒ = = − . Mặt khác ( ) ( ) ( ) 2 2 2tanα 2 2tan α 3 1 tan α 3 1 1 cot α 8 1 tan α 1 cotα 1 1 3 9 A − − = = = = − + − + − − . Vậy 3 8 A = − là giá trị cần tìm. b) Gọi ( ) , ,z a bi a b= + ∈ ℝ Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i i z i z z z i a bi a bi i a i a bi a bi z z + + + + + = + − ⇔ + + = + ⇔ + + − + = + ⇔ + = + − − Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 1 2 i a bi a b a b i a b a b a i a i a i i a bi a bi a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a a ab b a b a b a b + + − + + − + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ + + = + − + + + + − + = + = + + = + + = + + ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ − + + + − = + + = + = = + + ⇒ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 5 2 4 2 5 5 2 4 4 8 2 3 8 5 0 2 2 2 5 0 2 2.2 5 5 0 2 5 0 0 0 0 5 1 0 1 2 1 2 b a ab a b a b b a a b a b ab a a b ab b a b a b a ab b a a a a a a a ab b vn a b z a a a b z i = + + ⇔ + = + + + ⇔ + + − = = ⇔ − + + = ⇔ ⇒ + = + ⇔ − = + + = = ⇒ = ⇒ = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = ⇒ = + • TH1: 0 1 1 z w w = ⇒ = ⇒ = • TH2: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 4 4 1 4 5 41 z i w i i i i i i i i w= + ⇒ = + + + + = + + + + + = − + ⇒ = Câu 3 (0,5 điểm ). Đ i ề u ki ệ n: 3 0 0 log 0 1 x x x x > > ⇔ ≠ ≠ Ta có ( ) 2 9 3 3 3 3 3 2 2 2log 1 2log 1 log log 1 2 0 log log PT x x x x x x ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − = ( ) 1 2 3 3 3 2 3 3 3 log 1 log log 2 0 . 1 log 2 3 9 x x x x x x − = = = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = − = = Vậy 1 3; 9 x x = = là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đ ã cho. Câu 4 (1,0 đ i ể m). G ọ i H là hình chi ế u vuông góc c ủ a A trên đườ ng th ẳ ng d . Ta có: ( ) 2 4 ;5 ; 2 2 H t t t + + − − . Khi đ ó: ( ) 1 4 ;7 ; 5 2 AH t t t = + + − − ; ( ) 4;1; 2 d u = − L ạ i có: ( ) ( ) ( ) ( ) . 4 1 4 7 2 5 2 0 1 2;4;0 3 6 d S AH u t t t t H AH R= + + + + + = ⇔ = − ⇒ − ⇒ = = . Ph ươ ng trình m ặ t c ầ u ( ) S tâm A và ti ế p xúc v ớ i d là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 54 x y z − + + + − = . V ậ y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2;4;0 ; : 1 2 3 54 H S x y z − − + + + − = . Câu 5 (1,0 đ i ể m). Ta có ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 ln 2 ln I x x x dx x dx x xdx = − = − ∫ ∫ ∫ • Tính 2 3 2 2 1 1 1 2 14 2 3 3 x I x dx= = = ∫ Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! • Tính 2 2 1 ln I x xdx = ∫ . Đặt 2 ln 2 dx du u x x dv xdx x v = = ⇒ = = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 3 2ln2 2ln2 2 2 4 4 x x x x I dx = − = − = − ∫ 1 2 14 3 65 2ln 2 2ln 2 3 4 12 I I I⇒ = − = − + = − Câu 6 (1,0 đ i ể m). G ọ i H là trung đ i ể m c ủ a AC ta có: ' A H AC ⊥ M ặ t khác ( ) ( ) ' A AC ABC ⊥ nên ( ) ' A H ABC ⊥ L ạ i có: ( ) ( ) 0 0 ' ; 30 ' 30 A B ABC A BH= ⇒ = . Đặ t 2 ; 3 AB x HB x BH x = ⇒ = = Khi đó: 0 ' tan30 A H BH x = = . Do vậy 2 2 2 ' 2 3 ABC A A x x a S a= ⇔ = ⇒ = . Vậy 3 . ' ' ' ' . 3 ABC A B C ABC V A H S a= = . Do ( ) ( ) ( ) 2 ; ' 2 ( ; ' CA HA d C A AB d H A AB = ⇒ = . Dựng ( ) ' HE AB AB A HE ⊥ ⇒ ⊥ Dựng ( ) HF SE HF SAB HF AB ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Ta có: 0 3 .60 2 a HE HA= = Do vây: ( ) ( ) 2 2 . ' 21 ; ' 7 ' HE A H a d H A AB HF HE A H = = = + . Vậy 3 2 21 3; 7 a V a d= = Câu 7 (1,0 điểm). Vì AD không song song các trục tọa độ nên gọi véc tơ pháp tuyến của AD là (1; ), 0; n b b = ≠ suy ra: Phương trình :1( 3) ( 1) 0 AD x b y − + + = . Phương trình : ( 4) 0 AB bx y − − = . Ta có 3 3 . . . ( , ). ( , ) 2 2 2 ABCD AB CD AB S AD AD d B AD d K AB + = = = 2 2 3 | 3 5 | |2 2| . . 2 1 1 b b b b − + + = + + . I K A B D C Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 2 2 2 1 | 3 5 | | 1| 5 6 3 . 6 | 5 3|.| 1| 2( 1) 3 1 1 1 2 2 7 ABCD b b b S b b b b b b b = − + + = ⇔ = ⇔ − + = + ⇔ = − + + − ± = . Đáp số: 2 0;3 5 14 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0 x y x y x y x y + − = − − = − + − − = − − + − = . Câu 8 (1,0 điểm). Điều kiện 2 17 6 7 17 6 7 0 0 0 0 x x x x x x x − + + − ≥ ≥ ⇔ ≠ ≠ Vì 2 6 7 17 0, 0 x x x x − + > ∀ ∈ ⇒ > ℝ . Bất phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( ) 17 17 17 17 12 5 3 1 6 7 6 7 3 3 6 7 2 3 1 0 x x x x x x x x x x x − + ≤ + + − ⇔ + − − + + − + + ≤ . Đặt 17 6 7 , 0 x t t x + − = > , thu được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3 1 0 2 3 1 0 t x t x t t x − + + + ≤ ⇔ − − − ≤ ( ) 17 17 6 7 2 6 7 3 1 0 1 x x x x x ⇔ + − − + − − − ≤ Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Cauchy ta có V ớ i 17 17 17 0 6 2 6 . 2 102 6 7 2 2 102 7 2 0 x x x x x x x > ⇒ + ≥ = ⇒ + − − ≥ − − > . Do đ ó (1) tr ở thành ( ) 2 2 0 0 17 1 6 7 3 1 17 17 6 7 9 6 1 9 8 x x x x x x x x x x x > > ⇔ + − ≤ + ⇔ ⇔ + − ≤ + + ≤ + ( ) ( ) 2 3 0 0 0 1 1 9 9 17 0 1 9 8 17 0 x x x x x x x x x x > > > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − + + ≥ ≥ + − ≥ K ế t lu ậ n b ấ t ph ươ ng trình có nghi ệ m [ ) 1;S = +∞ . Câu 9 (0,5 đ i ể m). G ọ i A là bi ế n c ố “3 h ọ c sinh n ữ c ạ nh nhau” +) S ố bi ế n c ố đồ ng kh ả n ă ng: X ế p 7 h ọ c sinh ng ẫ u nhiên, có s ố hoán v ị là 7! +) S ố cách x ế p có 3 h ọ c sinh n ữ c ạ nh nhau: Coi 3 h ọ c sinh n ữ là 1 ph ầ n t ử , k ế t h ợ p v ớ i 4 h ọ c sinh nam suy ra có 5 ph ầ n t ử , có 5! cách s ắ p x ế p. V ớ i m ỗ i cách s ắ p x ế p đ ó l ạ i có 3! cách hoán v ị 3 h ọ c sinh n ữ . V ậ y có 5!.3! cách s ắ p x ế p. +) Xác su ấ t c ủ a bi ế n c ố A là: ( ) 5!.3! 1 7! 7 p A = = . Cách 2: - - - - - - - 7 v ị trí. X ế p 3 n ữ c ạ nh nhau có 5 cách: (123)…(567). M ỗ i cách x ế p l ạ i có 3! cách hoán v ị 3 n ữ . Có 4! cách hoán v ị 4 nam. V ậ y P(A) = 5.3!.4!/7! = 1/7) Câu 10 (1,0 đ i ể m). Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.Moon.vn Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 1 z x z x xy z x z x xy z z z z P x y x x y z xz y x z x y x y x x z xz x z x y z x z x xy z x z x xy z z z z x z x y z y x z x z x y x z x x y x z x + + + + = − = − + + + + + − + − + + + + + − + + + + = − = − + + + − + + + + + + + + Ta có: ( ) 2 2 2 2 .1 2 . x z x xy x y x xy x y x y x + + = − + = − + Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c bunhiacopxki ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 .1 2 . 4 1 2 4 1 1 3 1 2 3 2 1 x y x y x x y x y x x x y y x y x x y x z x y x z z z z z P x z x z x z x z x z x y x z x − + ≤ − + + = − + + + = + + + + ⇒ ≤ − = − + + + + + + + + Đặ t ( ) 3 0 3 2 z t t P t t x z = > ⇒ ≤ − + Xét hàm s ố ( ) 3 3 2 f t t t = − v ớ i 0 t > Ta có: ( ) 2 ' 3 6 f t t = − , ( ) 2 1 1 ' 0 2 2 f t t t= ⇔ = ⇔ = D ự a vào b ả ng bi ế n thiên ( ) 1 2 2 f t f ⇒ ≤ = V ậ y giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c P b ằ ng 2 , d ấ u " " = x ả y ra khi và ch ỉ khi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 x y x z x y x z x y x x y x y x xy x y x y xy x y xy x y z x z x x z x z x z z z x − = + − = + − = = = − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ ⇔ ⇔ = = = = = = = = + . Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 20 15! ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. = + + ⇒ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 5 2 4 2 5 5 2 4 4 8 2 3 8 5 0 2 2 2 5 0 2 2 .2 5 5 0 2 5 0 0 0 0 5 1 0 1 2 1 2 b a ab a b a b b a a b a b ab a a b ab. cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 20 15! • Tính 2 2 1 ln I x xdx = ∫ . Đặt 2 ln 2 dx du u x x dv xdx x v = = ⇒ = = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 3 2ln2 2ln2 2 2 4 4 x x x x I dx =