19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY

19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY

19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY ĐỀ 1 Câu1(3điểm).Choa,b,clà ba số thực dương, thoả mãn điều kiện: b bac a acb c cba −+ = −+ = −+ . Hãy tính giá trị của biểu thức       +       +       += b c c a a b B 111 . Câu 2. (5điểm) 1) Cho: d c c b b a == . Chứng minh: d a dcb cba =       ++ ++ 3 . 2)Cho 6 5 4 3 2 1 − = + = − cba và 5a - 3b - 4 c = 46 . xác định a,b,c 3) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 2013x x− + − với x là số nguyên Câu 4. (7 điểm) Cho ∧ xAy =60 0 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) ∆ KMC là tam giác đều c)Cho BK = 2cm. Tính các cạnh ∆ AKM. Câu 5. (3 điểm) Cho biết(x-1).f(x)=(x+4) .f(x+8) với mọi x .Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm Trường THCS Liên Châu Câu Nội dung Điểm Vì a,b,c là các số dương nên a+b+c ≠ 0,ta có: b bac a acb c cba −+ = −+ = −+ = a b c b c a c a b a b c + − + + − + + − + + = 1 mà 1 1 1 a b c b c a c a b c a b + − + − + − + = + = + = 2=> a b b c c a c a b + + + = = =2 Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b + + +     + + + =  ÷ ÷ ÷     =8 1)Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: a b c a b c b c d b c d + + = = = + + Do đó: 3 . . a b c a b c a b c a b c b c d b c d b c d b c d + + + + + + + +   =  ÷ + + + + + + + +   . . a b c a b c d d = = 1 1 http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 1 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY Câu2(5 đ) 2) 6 5 4 3 2 1 − = + = − cba = 2 241210 2095435 24 )5(4 12 )3(3 10 )1(5 −= −− +−−−− = − −− = − +− = − cbacba => a = -3 ; b = -11; c = -7. 0,5 0,5 3)Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b,c Ta có: 5 6 7 ; ; 5 6 7 18 18 18 18 3 18 a b c a b c x x x x x a b c + + = = = = ⇒ = = = = (1) Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: , , , , , , , , , 4 5 6 ; ; 4 5 6 15 15 15 15 3 15 a b c a b c x x x x x a b c + + = = = = ⇒ = = = = (2) So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu Vây: c’ – c = 4 hay 6 7 4 4 360 15 18 90 x x x x− = ⇒ = ⇒ = Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói. 0,25 0,5 0,5 0,75 0,75 0,25 Câu 3 (2điểm) a) Ta có: 2 2 2 2013 2 2 2013 2A x x x x= − + − = − + − 2 2 2013 2 2011x x≥ − + − = Dấu “=” xảy ra khi 2013 (2 2)(2013 2 ) 0 1 2 x x x− − ≥ ⇔ ≤ ≤ 1 0,75 0,25 Câu 4 (7điểm) V ẽ hình , GT - KL a, ∆ ABC cân tại B do )( ∧∧∧ == MACACBCAB và BK là đường cao ⇒ BK là đường trung tuyến ⇒ K là trung điểm của AC b, ∆ ABH = ∆ BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) ⇒ BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = 1 2 AC ⇒ BH = 1 2 AC Ta có : BH = CM ( ∆ BHM = ∆ MCB ) mà CK = BH = 1 2 AC ⇒ CM = CK ⇒ ∆ MKC là tam giác cân ( 1 ) Mặt khác : ∧ MCB = 90 0 và ∧ ACB = 30 0 0,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 2 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY ⇒ ∧ MCK = 60 0 (2) Từ (1) và (2) ⇒ ∆ MKC là tam giác đều c) Vì ∆ ABK vuông tại K mà góc KAB = 30 0 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì ∆ ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: AK = 2 2 16 4 12AB BK− = − = Mà KC = 1 2 AC => KC = AK = 12 ∆ KCM đều => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = 4; AH = BK = 2; HM = BC ( ∆ BHM = ∆ MCB)Suy ra AM=AH+HM=6 0,5 0,5 0,25 0,5 Câu 5 (3điểm ) Vì (x-1).f(x)=(x+4).f(x+8) với mọi x nên: +khi x=-4 thì -5.f(-4)=0.f(4)=>f(-4)=0.vậy x= -4 là 1 nghiệm của f(x) +khi x=-12 thì -13.f(-12)=-8.f(-4) = >f(-12)=f(-4)=0.vậy x=-12 là 1 nghiệm của f(x) Do đó f(x) có it nhất 2 nghiệm là -4 va -12 1,25 1,25 0,5 ĐỀ 2 Bài 1: (5,0 điểm) Cho a,b,c,d là 4 số khác 0, thoả mãn điều kiện: b 2 = ac; c 2 = bd; b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c d d + + = + + 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Bài 2: (6,0 điểm)1) Cho hai đa thức: 2 2 2 5xy 6x – 3x y 7y 1A = + + + 2 2 2 5x 13xy 3y – 6x y 5B = + + + . Tính A+B; A-B 2) Cho đa thức f(x) = (m - 2)x + 2m - 3 a) Tìm nghiệm của f(x) khi m = 1. b) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm là -4. c) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó. Bài 3: (2,0 điểm) Tìm GTNN của biểu thức 2013 2014 2015A x x x= − + − + − Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 3 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC ⊥ ( ) H BC ∈ . Biết · HBE = 50 o ; · MEB =25 o . Tính · HEM và · BME d) Từ H kẻ HF BE ⊥ ( ) F BE ∈ . CMR: HF BE BH HE + > + Hết Bài Nội dung Điểm Từ giả thiết: b 2 = ac; c 2 = bd ⇒ a b c b c d = = Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c d b c d + + = = = + + (1) Lại có: 3 3 . . . . a a a a a b c a b b b b b c d d = = = (2) Từ (1) và (2): ⇒ 3 3 3 3 3 3 a b c a b c d d + + = + + 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c Ta có: 5 6 7 ; ; 5 6 7 18 18 18 18 3 18 a b c a b c x x x x x a b c + + = = = = ⇒ = = = = (1) Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: , , , , , , , , , 4 5 6 ; ; 4 5 6 15 15 15 15 3 15 a b c a b c x x x x x a b c + + = = = = ⇒ = = = = (2) So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu Vây: c’ – c = 4 hay 6 7 4 4 360 15 18 90 x x x x− = ⇒ = ⇒ = Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói. 0,5 đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Bài 2 (6 điểm) 1.A + B =18xy 2 – 9x 2 y + 10y 2 + 11x + 6 ; A - B = -8xy 2 + 3x 2 y + 4y 2 + x – 4 2.a)khi m = 1 : f(x) = (1 – 2)x + 2.1 – 3 = –x – 1f(x) = 0=>–x – 1 = 0=>x = – 1 vậy : nghiệm của f(x) là – 1 khi m = 1 b) khi f(x) có nghiệm là -4 ,ta có : (m – 2)(-4) + 2m – 3 = 0=>–2m + 5 = 0=> m = c) f(x) có nghiệm khi : f(x) = 0 (m – 2)x + 2m – 3 = 0=>(m – 2)x + 2m – 3 = 0=>(m – 2)x = –2m + 3 1đ http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 4 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY + Nếu m – 2 = 0 => m = 2ta được : 0.x = -1 < 0 vô lí , f(x) không có nghiệm. + Nếu m – 2 ≠ 0 => m ≠ 2=>x = x nguyên khi : m - 2 ∈ Ư(1) = {-1, 1}. • m – 2 = -1 => m = 1 => x = -2 -(-1) = -1 • m – 2 = 1 => m = 3 => x = -2 -1 = -3 vậy: m = 1 thì x = -1; m = 3 thì x = -3 1đ Bài 3 (2 điểm) ( 2013 2015 ) 2014A x x x= − + + − + − 2013 2015 2014 2 2014 2A x x x x≥ − + + − + − = + − ≥ A= 2 khi và chỉ khi ( 2013)( 2015) 0x x− + − ≥ và 2014 0x − = 2013 2015; 2014 2014 x x x ⇔ ≤ ≤ = ⇔ = Vậy Min(A) = 2 khi x=2014 0.5đ 0.5đ Bài 7 (7 điểm) Vẽ đúng hình và ghi GT, KL được 0,5đ a/ Xét AMC ∆ và EMB ∆ có : AM = EM (gt ) · AMC = · EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC ∆ = EMB ∆ (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB Vì AMC ∆ = EMB ∆ · MAC ⇒ = · MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ Xét AMI ∆ và EMK ∆ có : AM = EM (gt ) · MAI = · MEK ( vì AMC EMB ∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ∆ = ∆ ( c.g.c ) Suy ra · AMI = · EMK Mà · AMI + · IME = 180 o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ · EMK + · IME = 180 o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ Trong tam giác vuông BHE ( µ H = 90 o ) có · HBE = 50 o · HBE⇒ = 90 o - · HBE = 90 o - 50 o =40 o · HEM ⇒ = · HEB - · MEB = 40 o - 25 o = 15 o · BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM ∆ Nên · BME = · HEM + · MHE = 15 o + 90 o = 105 o (định lý góc ngoài của tam giác ) d/Tam giác BHE vuông tại H nên BE>HE; EF<HE, do đó trên BE tồn tại điểm Q nằm giữa B và F sao cho QE=HE.Ta có QHE ∆ cân tại E nên · · HQE QHE= Mà · · · · 0 0 90 90 BHQ QHE HQE QHF + = + = · · BHQ QHF⇒ = Kẻ QJ BH ⊥ Ta có: ( )QJH QFH ch gn ∆ = ∆ − Suy ra HF = JH, BQ>BJ Do đó: FH+BE = FH+BQ+QE > JH+BJ+HE = HB+HE 1đ 0.5đ 1đ 0.5đ 1đ 1đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 5 K H E M B A C I F Q J 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY Vậy FH+BE > HB+HE 0.5đ ĐỀ 3 Bài 1 ( 5 điểm) a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 5 2 : 4 3 : 6 1 . Biết tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A b) Cho c a = b c . Chứng minh rằng : 22 22 cb ca + + = b a Bài 2 ( 4 điểm) a) Cho tzy x ++ = xtz y ++ = yxt z ++ = zyx t ++ CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên A= tz yx + + + xt zy + + + yx tz + + + zy zt + + b)Chứng minh rằng: B = 3 1 + 2 3 1 + 3 3 1 +….+ 2012 3 1 + 2013 3 1 < 1 2 Bài 3:(2 điểm)Cho đa thức f(x) = x 14 – 14x 13 + 14x 12 - … + 13x 2 – 14x + 14 Tính f(13) Bài 4:(7 điểm)Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng : a) BE = CF b) AE = 2 ACAB + c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c Bài 5:Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đóM = 14 4 x x − − TRƯỜNG THCS THANH THÙY http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 6 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY TT Ý Nội dung Điểm Bài 1 (.5điểm) 1a Ta có 2 3 1 24 45 10 : : : : 5 4 6 60 60 60 = = 24 : 45 : 10Giả sử số A được chia thành 3 phần x,y,z Theo đề bài ta có 24 45 10 x y z = = ⇒ x,y,z cùng dấu Và 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24309 2701 24 45 10 45 10 24 y y x z x z + + = = = = + + = 9 = 3 2 ⇒ x 2 = 24 2 . 3 2 = 72 2 ⇒ x = ± 72 Hs tính tương tự y = ± 135 ; z = ± 30 …. Vậy A = 237 hoặc A = - 237 0.5 0,5 0.5 1.0 0,5 1b Ta có c a = b c ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a c c b c b + = = + ( 1)Lại có 2 2 . a c a c b b a c = = (2) Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM 0.5 0.75 Bài2 (.4điểm) 2a Ta có tzy x ++ = xtz y ++ = yxt z ++ = zyx t ++ = 1 2( ) 3 x y z t x y z t + + + = + + + Suy ra 3x = y+z+t ; 3y = z+t+x; 3z = t+x+y; 3t = x+y+z Từ đó HS suy ra được x+y = (z+t); y+z = (t+x) Z+t = (x+y); t+x = (y+z) Khi đó tính được A = 4 Vậy A có giá giá trị nguyên 0.5 1,5 0,5 2b B = 3 1 + 2 3 1 + 3 3 1 +….+ 2012 3 1 + 2013 3 1 3B = 1+ 3 1 + 2 3 1 + 3 3 1 +….+ 2012 3 1 3B – B = 1 - 2013 3 1 hay 2B = 1 - 2013 3 1 Suy ra B = 2013 1 1 2 2. 3 − < 1 2 Vậy B < 2 1 0.5 0.5 0,5 Bài 3 (2 điểm) Ta có f(x) = x 14 –(13+1).x 13 +(13+1).x 12 - …+(13+1).x 2 –(13+1).x+(13+1) = x 14 - (x+1).x 13 +(x+1).x 12 - …+ (x+1).x 2 – (x+1).x + (x+1) = x 14 – x 14 - x 13 + x 13 +x 12 - … +x 3 + x 2 – x 2 – x + x +1 = 1 ( Vì thay 14 = 13 + 1 = x+1 ) . Vậy f(13) = 1 0,5 1,0 0,5 Bài 4 (5 điểm) 4a Vẽ hình đúng A Kẻ BI song song AC ( I ∈ È F) Chứng minh được 1 2 ∆ BIM = ∆ CFM (g.c.g) F ⇒ BI = CF (1) B N M C E I CM được ∆ BEI cân tại B ⇒ BE = BI (2) Từ (1) và (2) ta có ĐPCM 0.25 1,0 0,25 1,0 0,5 http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 7 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 4b CM được ∆ ANE = ∆ AN F (g.c.g) ⇒ AE = A F Ta có AE = AB + BE ; A F = AC – C F ⇒ AE+A F = AB + BE + AC – C F Hay 2 AE = AB +AC ( do AE = A F; BE = FC) ⇒ AE = 2 ACAB + 0.5 0.5 0.75 0,5 4c Từ câu b) ⇒ AE = 2 b c+ Chứng minh được BE = 2 AC AB− Vậy BE = 2 b c− Bài 5 (2 điểm) M = 14 4 x x − − = 10 (4 ) 10 1 4 4 x x x − − − − = − − − M nhỏ nhât khi và chỉ khi 10 4 x − − nhỏ nhất Xét x < 4 thì 10 4 x − − < 0 ; x > 4 thì 10 4 x − − > 0 Ta chỉ xét x < 4 thì 10 4 x − − nhỏ nhất ⇔ 10 4 x− lớn nhất Nên suy ra 4 – x =1( vì mẫu nguyên,dương nhỏ nhất) Vây x = 3 khi đó Min M = -11 THCS TAM HƯNG Bài 1 (3đ) Tìm x Z∈ sao cho a, x 5 2+ ≤ b, 2 2 2 2 (x 20)(x 15)(x 10)(x 5) 0− − − − < Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn a, m n 2 2 2048− = b, 3m 4n mn 16+ − = Bài 3 (4đ) a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau: + + = = + + ≠ => = + + 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 y z x x y xz, z yt v y z t 0 CM : à y z t t b, Cho x+y – z = a-b; x - y + z = b – c ; -x+y + z = c – a. Chứng minh : x+y+z=0 Bài 4 (4đ) a, Cho đa thức 2015 2014 2013 2012 f(x) x 2000x 2000x 2000x 2000x 1= − + − + + − Tính giá trị của đa thức tại x=1999 b, Cho đa thức 2 f(x) ax bx c= + + chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0− ≤ nếu 13a b 2c 0+ + = Bài 5 (5đ) a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE · · 0 ABD ACE 9O= = 1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với BK 2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy. b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: MA MD MB MC + ≥ + ĐÁP ÁN Bài 1 (3đ) a, - Chỉ rõ được { } x 5 0,1,2+ ∈ (0.25đ) - Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng x 5 0 x 5 1 x 5 2 + = + = + = b, Lý luận để có 2 2 2 2 (x 20) (x 15) (x 10) (x 5)− < − < − < − (0.25đ) http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 8 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY Xét đủ 2 trường hợp - Trường hợp có 1 số âm tính được x 4= ± (0.75đ) - Trường hợp có 3 số âm tính được x 3 = ± (0.75đ) - Kết luận đúng (0.25đ) Bài 2: Ta có + − + − − − − − ⇔ − − = ⇔ − − = ⇒ − − = m 11 11 n 11 11 11 11 m 11 n 11 m 11 n 11 2 2 2 0 2 (2 2 1) 0 (2 2 1) 0 Lý luận tìm được = =m 12; n 11 b, Biến đổi được (3 n)(m 4) 4− − = (1đ) Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp) (0.75đ) Kết luận được: (m,n) (8,2); (0,4); (5, 1); (3,7); (6,1); (2,5)= − (0.25đ) Bài 3: Từ giả thiết suy ra x y z y z t = = (0.5đ) Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có 3 3 3 3 3 3 x y z y z t + + + + Mặt khác ta có 3 3 x x x x x y z x . . . . y y y y y z t t = = = Suy được điều cần chứng minh (0.25đ) b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh (2đ) Bài 4 2015 2014 2013 2012 a,f(x) x (1999 1)x (1999 1)x (1999 1)x (1999 1)x 1= − + + + − + + + + − (0.75đ) Thay 1999=x ta được 2015 2015 2014 2014 2013 2013 2 f(x) x x x x x x x x 1= − + − + − + − + − (0.75đ) Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998 (0.5đ) b, Tính f( 2) v f(3)à− f( 2) f(3)=13a+b+2c⇒ − + f( 2) f(3)⇒ − = − [ ] 2 f( 2)f(3)=-f(3)f(3)=- f(3) 0⇒ − ≤ (0.5đ) Bài 5 (5đ) a1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết (1đ) 2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của BCK ∆ (1đ) b,Xét 2 trường hợp * Trường hợp điểm M AD∈ thì ta có MA MD MB MC+ > + * Trường hợp M AD∉ - Gọi I là trung điểm của BC (0.75đ) - Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ) IB IC = Vì AB CD AB IB IC CD = + = + AI ID⇒ = * Chứng minh được IMA IND (c.g.c)∆ = ∆ MA ND⇒ = - Điểm C nằm trong MDN∆ chứng minh được ND MD NC MC+ > + (0.5đ) - Chứng minh IBM ICN (c.g.c)∆ = ∆ (0.25đ) - Suy ra MA MD MB MC + > + (0.5đ) http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 9 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY ĐỀ 4 Câu 1: (5 điểm) Cho a c c b = chứng minh rằng:a) 2 2 2 2 a c a b c b + = + b) 2 2 2 2 b a b a a c a − − = + Câu 2 : (6điểm) a) Các số a,b và c làm cho giá trị các biểu thức b ac và a cb c ba +++ , bằng nhau . Tính giá trị đó? b)Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Câu 3 : (2 điểm) Cho biểu thức A = x x − − 14 2014 . Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị lớn nhất .Tìm Giá trị lớn nhất đó Câu 4 (7điểm) Cho góc xAy = 60 0 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. vẽ BH ⊥ Ay, CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chứng minh rằng: a, K là trung điển của AC. b, BH = 2 AC c, ΔKMC đều HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC TOÁN 7 Câu 1 (5 điểm): a) Từ a c c b = suy ra 2 .c a b = khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + 1đ b) Theo câu a) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a b c b b c b a c a + + = ⇒ = + + từ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 b c b b c b a c a a c a + + = ⇒ − = − + + hay 2 2 2 2 2 2 b c a c b a a c a + − − − = + vậy 2 2 2 2 b a b a a c a − − = + Câu 2 a)(3 điểm)Giả sử b ac a cb c ba + = + = + = x , Khi đó a+b = cx, b+c= ax, c+a = bx 0,5 Cộng các đẳng thức ta có 2(a+b+c) =(a+b+c )x 0,5 Đẳng thức này chia làm 2 trường hợp: 1) Nếu a+b+c ≠ 0 , khi đó x c c c ba − = + = -1 0,5 2) Nếu a+b+c = 0, khi đó x = 2 0,5 Vậy giá trị của biểu thức là 2 hay -1 0,5 b) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1 : : 5 4 6 (1) 0,5 và a 2 +b 2 +c 2 = 24309 (2) Từ (1) ⇒ 2 3 1 5 4 6 a b c = = = k ⇒ 2 3 ; ; 5 4 6 k a k b k c = = = Do đó (2) ⇔ 2 4 9 1 ( ) 24309 25 16 36 k + + = 0,5 http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 10 [...]... (1 im) (1 im) x + 199 6 199 7 A < 0 vi mi giỏ tr ca x nờn A t giỏ tr ln nht khi A t giỏ tr nh nht http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 14 19 LUYN THI HC SINH GII TON 7 CC HAY A = x + 199 6 x + 199 6 = 199 7 199 7 ( 1 im) x ờn x + 0 xn 199 6 199 6 199 6 khi x=0 199 7 199 6 199 6 = Suy ra GTLN ca A = khi x=0 199 7 199 7 Vy A nh nht bng (0,5 im) (0,5 im) Cõu 5: (7 im) V hỡnh ghi GT,KL... tỡm l : a ; b ; c ta cú : a+b+c = V a : b : c = 3 4 5 : : = 6 : 40 : 25 5 1 2 .Suy ra a= 9 35 213 70 ; b= 12 15 ; c= 7 14 Cõu 2.(6im ) 1 (3) f(x) =x 17 199 9x16 x16 + 199 9x15 + x15 199 9x14 - x14+ +199 9x + x 1 f (199 9) = 199 9 17 - 199 9 17 - 199 916 + 199 916 + 199 915 - 199 915- 199 914+ +199 92 +199 9 1 = 199 9 1 = 199 8 2.(3) Ta xột hiu (5m + n +1) (3m n + 4) = = 2m + 2n 3 Vi m, n N thỡ 2m + 2n - 3 l mt s... xy ra (x 2006 )( 20 07 x ) 0 0 ,75 0 ,75 0,5 2006 Vy Amin = 1 Cõu 5 2006 - V hỡnh ỳng http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 28 19 LUYN THI HC SINH GII TON 7 CC HAY (7 im) 1 a, ABC cõn ti A , 0,5 => 0 ,75 XộtBOC cú 0 ,75 =>BOC = MOC ( c.g.c ) => 0,5 0,5 M nờn hai tia CM v CA trựng nhau Do ú 3 im C , O ,M thng hng b,CBM cú CM = CB =>CBM cõn ti C ; => 0 ,75 0 ,75 ,5 VyBAM cõnti B =>.. .19 LUYN THI HC SINH GII TON 7 CC HAY k = 180 v k = 180 0,5 + Vi k =180, ta c: a = 72 ; b = 135; c = 30 Khi ú ta cú s A = a + b + c = 2 37 0,5 + Vi k = 180 , ta c: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi ú ta cú sú A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 2 37 0,5 Cõu 3 : (2im)A = 1 + 2000 14 x 0,5 AMax 14 x > 0 v nh nht 14 x = 1 x = 13 Vy x = 13 tho món iu kin bi toỏn khi ú A Max= 2001 0,5 Cõu4 (7im) V c hỡnh,... 18; y=16; z=15 http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 1 2 2 31 19 LUYN THI HC SINH GII TON 7 CC HAY Cõu 2: (3 im) a b 2 7 thỡ A = 3 9 - Vi a =-2 thỡ A = -7 1 2 19 TH1: x= v y= thỡ B = 2 3 6 1 2 7 TH2: x= v y= thỡ B = 2 3 6 - Vi a = 0.5 0.5 1 1 Cõu 3: (3 im) a b Thay a= 10 b vo A ta c: 3 A = 24 Thay a = b+3 v B ta c: B = 1-1 = 0 0.5 1 0.5 1 Cõu 4 (2 im) p dng tớnh cht a = a... 6 .7 99.100 100.101 5 101 6 Cõu 2: (5) 3 a b c a+b+c a b c a = = = (2)T (1) (2) => a + b + c = a a, Ta cú = (1) Ta li cú b c d b+c+a b c d d b+ c+ d d b, Gi a,b ,c l cỏc ch s ca s cú 3 ch s cn tỡm http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 0,5 0,5 1 1 0,25 1 0 .75 1 25 19 LUYN THI HC SINH GII TON 7 CC HAY Vỡ mi ch s khụng vt quỏ 9 v khụng th ng thi bng 0 nờn 1 a+b+c 27. .. Cõu 4 (2 im) Tỡm GTNN ca biu thc sau : khi x thayi Cõu 5 (7 im) Cho tam giỏc ABC cõnti A , cú ca gúc C saocho Gi O l mt im nm trờn tia phõn giỏc v tam giỏc u BOM (M v A cựng thuc mt na mt phng b BO) Chng minh rng : a, Ba im C, A, M thnghng b, Tam giỏc AOB cõn http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 27 19 LUYN THI HC SINH GII TON 7 CC HAY HNG DN CHM Cõu Cõu 1 (5 im) Ni dung im 1... cho c b = 3, ta cú: a = 1; b = 9; c = 6 Vy tt c cú ba s tha món bi toỏn: 803, 914, 196 b, x2 + 4x + 10 = x2 + 2x +2x +4 + 6= (x + 2)2 + 6 > 0 vi mi x http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 0,5 1,0 1,0 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0 ,75 0 .75 22 19 LUYN THI HC SINH GII TON 7 CC HAY Do ú a thc x + 4x + 10 khụng cú nghim Xột cỏc trng hp:+) x -2 thỡ A 0 x+2 2 +)... nhiờn thỡ s: A = (5m + n + 1) (3m n + 4) l s chn 7x 8 Cõu 3.(2 im ) Tỡm s t nhiờn x phõn s cú giỏ tr ln nht 2x 3 Cõu 4 (7 im ) 1 Cho tam giỏc ABC cõn ti A, B = 500.Gi K l im trong tam giỏc sao cho KBC =100, KCB = 300 a, Chng minh BA=BK b, Tớnh s o BAK http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 19 19 LUYN THI HC SINH GII TON 7 CC HAY 2 Cho xAy = 600 cú tia phõn giỏc Az T im B trờn... c+b b) a2 + c2 a = b2 + c 2 b b2 a 2 b a b) 2 2 = a +c a 1+3y 1+5y 1+7y = = 12 5x 4x 1 1 1 1 1 1 < 2 + 2 + 2 + + < Cõu 3:(4 im)a).Chng minh rng : 6 5 6 7 1002 4 Cõu 2: (2 im): Tỡm x; y bit: b) Tỡm s nguyờn a : 2a + 9 5a + 17 3a l s nguyờn + a+ 3 a+ 3 a+ 3 Cõu 4: (2 im): Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc sau: A = x + 199 6 199 7 Cõu 5: (7 im) Cho tam giỏc ABC vuụng A, cú gúc C=30 0, ng cao AH Trờn on HC . 2 y y y + = = − − 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY 199 6 199 6 199 7 199 7 0 ên x 199 6 199 6 x x A x xn + + = = − ≥ ∀ + ≥ ( 1 điểm) Vậy A nhỏ nhất bằng 199 6 199 7 khi x=0 (0,5. + x 15 – 199 9x 14 - x 14 +… +199 9x + x – 1 f (199 9) = 199 9 17 - 199 9 17 - 199 9 16 + 199 9 16 + 199 9 15 - 199 9 15 - 199 9 14 +… +199 9 2 +199 9 – 1 = 199 9 – 1 = 199 8. 2.(3đ) Ta xét hiệu (5m. van - chuyen.htm 10 19 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 CỰC HAY ⇒ k = 180 và k = 180 − 0,5 + Với k =180, ta được: a = 72 ; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 2 37. 0,5 + Với k = 180 − ,