Đề 1 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút B i 1 :( 3 im) a) Thc hin phộp tớnh: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = + + b) Chng minh rng: Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + chia ht cho 10 Bi 2:(2 im) Tỡm x bit: ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x + = + Bi 3: (2 im) Cho a c c b = . Chng minh rng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + Bi 4: (3 im) Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E sao cho ME = MA. Chng minh rng: a) AC = EB v AC // BE b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB sao cho AI = EK . C.minh ba im I , M , K thng hng c) T E k EH BC ( ) H BC . Bit ã ã 0 0 50 ; 25HBE MEB = = . Tớnh ã HEM v ã BME Đề 2 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .16 2 8 n n = ; b) 27 < 3 n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đ ờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC. Đề 3 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Câu 1: Tìm các cặp số (x; y) biết: = = = x y a / ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = 1+x +5 ; B = 3 15 2 2 + + x x Câu 3: Cho tam giác ABC có  < 90 0 . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a, Chứng minh: DC = BE và DC BE b, Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. C/minh: AB = ME và ABC= EMA Chứng minh: MA BC Đề 4 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : a- ) 1 3 1 (:1 3 1 .3 3 1 .6 2 + ; b- ( ) 32 2003 23 12 5 . 5 2 1. 4 3 . 3 2 Câu 2 ( 2 điểm) a, Tìm số nguyên a để 1 3 2 + ++ a aa là số nguyên; b, Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0 Câu 3 ( 2 điểm) a, Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì d c b a = với b,d khác 0 b, Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để đợc một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 45 0 , góc C bằng 120 0 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x 2 -2y 2 =1 Đề 5 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút B i 1: a) So sỏnh hp lý: 200 16 1 v 1000 2 1 ; b) Tớnh A = 3 10 9 6 12 11 16 .3 120.6 4 .3 6 + + c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z B i 2: Tỡm x bit: a) (2x-1) 4 = 16 b) (2x+1) 4 = (2x+1) 6 c) 2083x =+ d) 1 2 3 4 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + B i 3: Tỡm cỏc s x, y, z bit : a) (3x - 5) 2006 +(y 2 - 1) 2008 + (x - z) 2100 = 0 b) 4 z 3 y 2 x == v x 2 + y 2 + z 2 = 116 B i 4 : a) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x 1 , x 2 là hai giá trị bất kì của x; y 1 , y 2 là hai giá trị tơng ứng của y.Tính y 1 , y 2 biết y 1 2 + y 2 2 = 52 và x 1 =2 , x 2 = 3. b) Cho hàm số : f(x) = a.x 2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f M M M .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 c) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + chia ht cho 10 B i 5 : Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, M l trung im BC. Ly im D bt kỡ thuc cnh BC. H v I th t l hỡnh chiu ca B v C xung ng thng AD. ng thng AM ct CI ti N. Chng minh rng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 cú giỏ tr khụng i. c) ng thng Dn vuụng gúc vi AC. d) IM l phõn giỏc ca gúc HIC. Đề 6 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Cõu 1. Tỡm x bit: a) 1623.53 11 =+ xx b) 3x +x 2 = 0 c) (x-1)(x-3) < 0 Cõu 2. a) Tỡm ba s x, y, z tha món: 543 zyx == v 100322 222 =+ zyx b) Cho a d d c c b b a 2222 === (a, b, c, d > 0) Tớnh A = cb ad ba dc da cb dc ba + + + + + + + 20102011201020112010201120102011 Cõu 3. a) Tỡm cp s nguyờn (x,y) tho món x + y + xy =2. b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc Q = x x 12 227 (vi x nguyờn) Cõu 4. a) Cho a thc f(x) = ax 2 + bx + c. Chng minh rng nu f(x) nhn 1 v -1 l nghim thỡ a v c l 2 s i nhau. b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = ( ) 2 3 2 3 2007x y + + + + Cõu 5. Cho ABC vuụng ti A. M l trung im BC, trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho AM = MD. Gi I v K ln lt l chõn ng vuụng gúc h t B v C xung AD, N l chõn ng vuụng gúc h t M xung AC. a) Chng minh rng BK = CI v BK//CI. b) Chng minh KN < MC. c) ABC tha món thờm iu kin gỡ AI = IM = MK = KD. d) Gi H l chõn ng vuụng gúc h t D xung BC. Chng minh rng cỏc ng thng BI, DH, MN ng quy. Đề 7 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: a,5x-3 < 2 b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =x +8 -x Câu 4: Biết rằng :1 2 +2 2 +3 3 + +10 2 = 385. Tính tổng : S= 2 2 + 4 2 + +20 2 Câu 5 : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D. a. Chứng minh AC=3 AD b. Chứng minh ID =1/4BD Đề 8 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Câu 1 . ( 2đ) Cho: d c c b b a == . Chứng minh: d a dcb cba = ++ ++ 3 . Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A = ac b ba c cb a + = + = + . Câu 3. (2đ). Tìm Zx để A Z và tìm giá trị đó. a). A = 2 3 + x x . b). A = 3 21 + x x . Câu 4. (2đ). Tìm x, biết: a) 3x = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 Câu 5. (3đ). Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E BC, BH AE, CK AE, (H,K AE). Chứng minh MHK vuông cân Đề 9 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Bi 1: (1,5 im) Tớnh 3 2 2 x x 03y A x y + = bit 1 x 2 = ; y l s nguyờn õm ln nht Bi 2: (2 im) Cho x 16 y 25 z 9 9 16 25 + + = = v 9 x 11 x 2 7 9 + = .Tỡm x+y+z Bi 3: (1,5 im) Tỡm x,y Z bit 2xy+3x = 4 ; 16 - 72 + 90. Bi 4: (2 im) Cho a thc: P = 3x 3 + 4x 2 - 8x+1 a/ Chng minh rng x= 1 l nghim ca a thc. b/ Tớnh giỏ tr ca P bit x 2 +x-3 = 0 Bi 5: (3 im) Cho tam giỏc ABC cú vuụng ti A(AB<AC) trờn cnh Acly im Esao cho AE = AB. Tia phõn giỏc ca gúc BAC ct ng trung trc ca CE ti F. a/ Chng minh tam giỏc BFC b/ Bit gúc ACB bng 30 0 .Chng minh tam giỏc BFE u. Đề 10 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Bi 1: (1 im) Tỡm s bit: = = , v x y + z = 4 Bi 2: (1 im) Bit + ab + = 25 ; + = 9 ; + ac + = 16 v a 0; c 0; a -c. Chứng minh rằng: = . Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x: f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 - 72 + 90. Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. §Ò 11 thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót a. Tìm x, y biết: y x + + 7 4 = 7 4 và x+ y = 22; b. Cho 43 yx = và 65 zy = . Tính M = zyx zyx 543 432 ++ ++ a. Cho H = 12 222 200820092010 −−−− . TÝnh 2010 H b. Thực hiện tính M = )16 321( 16 1 )4321( 4 1 )321( 3 1 )21( 2 1 1 +++++++++++++++ Tìm x biết:a. x 4 64 31 . 62 30 12 5 . 10 4 . 8 3 . 6 2 . 4 1 = b. x 8 22 666666 . 333 4444 55 555555 555 5555 = + +++++ ++ +++ ; c. 34 +x - 1−x = 7 Cho tam giác ABC có B < 90 0 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. b. Chứng minh DH = DC = DA. d. Chứng minh AE = HC. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân. §Ò 12 thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 − − = − + + b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm)Tìm x biết: a. ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x − + = − + ; b. ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + − − − = Bài 3: (4 điểm) a, Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. b, Cho a c c b = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. C/m ba điểm I, M, K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC⊥ ( ) H BC∈ . Biết · HBE = 50 o ; · MEB =25 o . Tính · HEM và · BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có µ 0 A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a, Tia AD là phân giác của góc BAC ; b, AM = BC §Ò 13 thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót Câu1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức 19 3 9 4 9 10 10 2 .27 15.4 .9 6 .2 12 A + = + Câu 2. (4 điểm) Chứng minh: ( ) 1 2 3 100 3 3 3 3 120 ( ) x x x x P x N + + + + = + + + + ∈M Câu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số 5 4 à 4 5 y x v y x − = = a. V th 2 h/s trờn trờn cựng h trc ta Oxy. b. CMR: th ca hai h/s trờn vuụng gúc vi nhau. Cõu 4. (4,5im). Cho ABC cõn, à 100A = o . Gi M l im nm trong tam giỏc sao cho ã ã 10 , 20 .MBC MCB = = o o Trờn tia i ca AC ly im E sao cho CE = CB. a. Chng minh: BME u. b. Tớnh ã AMB Cõu 5. (4,5im). Cho ABC, trung tuyn BM. Trờn tia BM ly I v K sao cho 2 3 BI BM= v M l trung im ca IK. Gi N l trung im ca KC. IN ct AC ti O. Chng minh: a. O l trng tõm ca IKC. b. 1 3 IO BC= . Đề 14 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Câu1: (2 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + = = = Tìm giá trị biểu thức: M= a b b c c d d a c d d a a b b c + + + + + + + + + + + Câu2: (1 điểm) . Cho S = abc bca cab + + . Chứng minh rằng S không phải là số chính phơng. Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M. Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác. a. Chứng minh rằng: ã à ã ã BOC A ABO ACO= + + b. Biết ã ã à 0 90 2 A ABO ACO+ = và tia BO là tia phân giác của góc B. CMR: Tia CO là tia phân giác của góc C. Câu 5: (1,5điểm). Cho 9 đờng thẳng trong đó không có 2 đờng thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đờng thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20 0 . Câu 6: (1,5điểm). Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng một lúc thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. các điểm khác là 3; 4; 5 ;6 11. Hãy lập bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất của mỗi loại điểm đó. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tr ờng lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A = ( )( ) ( )( ) ( ) a b x y a y b x abxy xy ay ab by + + + + . Với a = 1 3 ; b = -2 ; x = 3 2 ; y = 1 Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a 1 < a 2 < < a 9 thì: 1 2 9 3 6 9 3 a a a a a a + + + < + + Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó. Bài 4: Cho 2 biểu thức: A = 4 7 2 x x ; B = 2 3 9 2 3 x x x + a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên. Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE. a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK d) Chứng minh 3 đờng thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm. §¸p ¸n §Ò 1 thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 7. M«n: To¸n B i 1à :(3 điểm): a) (1.5 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 9 3 2 4 5 12 4 10 3 12 5 9 3 3 10 3 12 4 12 5 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A − − − − = − = − + + + + − − = − + + − = − − = − = b) (1.5 điểm) 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 3 3 2 2 n n n n+ + + − − = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n + − + = 1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n− × − × = × − × = 10( 3 n -2 n ) Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − M 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(2 điểm) ( ) 1 4 2 1 4 16 2 3,2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 3 5 5 x x x − − + = − + ⇔ − + = + ⇔ − + = 1 2 3 1 2 3 1 7 2 3 3 1 5 2 3 3 1 2 3 x x x x x −= −=− =+= − =−+= ⇔− = ⇔ ⇔ Bài 3: (2 điểm) Từ a c c b = suy ra 2 .c a b= khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + Bài 4: (3 điểm) a/ (1điểm) Xét AMC∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) · · AMC EMB= (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) ⇒ AC = EB Vì AMC ∆ = EMB∆ ⇒ · · MAC MEB= (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) · · MAI MEK= ( vì AMC EMB∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) K H E M B A C I Nờn AMI EMK = ( c.g.c ) Suy ra: ã ã AMI EMK= M ã ã 0 180AMI IME+ = ( tớnh cht hai gúc k bự ) ã ã 0 180EMK IME+ = Ba im I;M;K thng hng c/ (1 im ) Trong tam giỏc vuụng BHE ( à 0 90H = cú ã 0 50HBE = ã ã 0 0 0 0 90 90 50 40HEB HBE= = = ã ã ã 0 0 0 40 25 15HEM HEB MEB= = = ã BME BME l gúc ngoi ti nh M ca HEM Nờn ã ã ã 0 0 0 15 90 105BME HEM MHE= + = + = ( nh lý gúc ngoi ca tam giỏc ) !"#$%& Đáp án Đề 2 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7. Môn: Toán Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 .16 2 8 n n = ; => 2 4n-3 = 2 n => 4n 3 = n => n = 1 b) 27 < 3 n < 243 => 3 3 < 3 n < 3 5 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 + + + + + + + + + = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 + = = Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) + Nếu - 2 x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có: x y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: 33 1 11: 3 1 11 yx 1 y 12 x 1 12 y x == ===>= => x = 11 4 x)vũng( 33 12 ==> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI tại F ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), ã AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC Đáp án Đề 3 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7. Môn: Toán Đáp án đề 3 toán 7 Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4 ; 0 a 4 => a = 0; 1; 2; 3 ; 4 * a = 0 => a = 0; * a = 1 => a = 1 hoặc a = - 1 ; * a = 2 => a = 2 hoặc a = - 2 * a = 3 => a = 3 hoặc a = - 3; * a = 4 => a = 4 hoặc a = - 4 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9 10 và nhỏ hơn 9 11 Gọi mẫu phân số cần tìm là x. Ta có: 9 7 9 10 11x < < => 63 63 63 70 9 77x < < => -77 < 9x < -70. Vì 9x M 9 => 9x = -72 => x = 8 . Vậy phân số cần tìm là 7 8 Câu 3. Cho 2 đa thức: P ( ) x = x 2 + 2mx + m 2 và Q ( ) x = x 2 + (2m+1)x + m 2 . Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 1 2 + 2m.1 + m 2 = m 2 + 2m + 1; Q(-1) = 1 2m 1 +m 2 = m 2 2m Để P(1) = Q(-1) thì m 2 + 2m + 1 = m 2 2m 4m = -1 m = -1/4 Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: = x y a / ; xy=84 3 7 => 2 2 84 4 9 49 3.7 21 x y xy = = = = => x 2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y 2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cùng dấu nên: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14 = = 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: + + = = = = = = 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 D B A H I F E M => 2 2 5 12 y y x x = => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đợc: 1 3 2 12 2 y y y + = = =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 1 15 . Vậy x = 2, y = 1 15 thoả mãn đề bài Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = 1+x +5 Ta có : 1+x 0. Dấu = xảy ra x= -1. A 5. Dấu = xảy ra x= -1. Vậy: Min A = 5 x= -1. B = 3 15 2 2 + + x x = ( ) 3 123 2 2 + ++ x x = 1 + 3 12 2 +x Ta có: x 2 0. Dấu = xảy ra x = 0 x 2 + 3 3 ( 2 vế dơng ) 3 12 2 +x 3 12 3 12 2 +x 4 1+ 3 12 2 +x 1+ 4 B 5 Dấu = xảy ra x = 0 . Vậy : Max B = 5 x = 0. A:Đề 3- Câu 6: a/ Xét ADC và BAF ta có: DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( cùng bằng 90 0 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE Xét AIE và TIC I 1 = I 2 ( đđ) E 1 = C 1 ( do DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 90 0 => DC BE b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D 1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D 1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180 0 ( trong cùng phía ) mà BAC + DAE = 180 0 => BAC = AEM ( 2 ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH Xét AHC và EPA có: CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 90 0 => MA BC (đpcm) Đáp án Đề 4 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7. Môn: Toán Câu Hớng dẫn chấm Điểm 1.a Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a Ta có : 1 3 2 + ++ a aa = 1 3 1 3)1( + += + ++ a a a aa vì a là số nguyên nên 1 3 2 + ++ a aa là số nguyên khi 1 3 +a là số nguyên hay a+1 là ớc của 3 do đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 1 3 0,25 0,25 0,25 a -4 -2 0 2 Vậy với a { } 2,0,2,4 thì 1 3 2 + ++ a aa là số nguyên 0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trờng hợp sau : = = = = 0 0 112 121 y x x y Hoặc = = = = 1 1 112 121 y x x y Vậy có 2 cặp số x, y nh trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 0,25 0,25 0,25 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy ra d c b a = ( ĐPCM) 0,5 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : aa nn .37.3111 2 )1( == + Hay n(n+1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37 hoặc n+1 = 37 Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó 703 2 )1( = +nn không thoả mãn Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 666 2 )1( = +nn thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36 0,25 0,25 0,5 4 B C D H A A:Đề 4 cau 4:Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60 0 do đó CDH = 30 0 Nên CH = 2 CD CH = BC Tam giác BCH cân tại C CBH = 30 0 ABH = 15 0 Mà BAH = 15 0 nên tam giác AHB cân tại H Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 45 0 +30 0 =75 0 0,5 0,5 1,0 1,0 5 Từ : x 2 -2y 2 =1suy ra x 2 -1=2y 2 Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn Nếu x không chia hết cho 3 thì x 2 -1 chia hết cho 3 do đó 2y 2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x 2 =19 không thoả mãn Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án Đề 5 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7. Môn: Toán B i 1: (1,5 im): [...]... ab=c ta ®ỵc c2=36 nªn c=6;c =-6 +, Tõ abc =36 vµ bc=4a ta ®ỵc 4a2=36 nªn a=3; a =-3 +, Tõ abc =36 vµ ab=9b ta ®ỵc 9b2=36 nªn b=2; b =-2 -, NÕu c = 6 th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hc a =-3 , b =-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b =-2 hc a =-3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6); (-3 ,-2 ,6);(3 ,-2 ,-6 ); (-3 ,2 .-6 ) C©u 2 (3®) a.(1®) 5x-3 -2 A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -1 0 => A = -3 C©u 4 a) x = 8 hc - 2 b) x = 7 hc - 11 c) x = 2 C©u 5 ( Tù vÏ h×nh) MHK lµ c©n t¹i M ThËt vËy: ACK = BAH (gcg) => AK = BH AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH VËy: MHK c©n t¹i M §¸p ¸n §Ị 9 thi chän häc sinh giái... 0,5 0,5 0,5 0 ,75 x+1 1 3 -1 -3 y+1 3 1 -3 -1 x 0 2 -2 -4 -4 -2 y 2 0 Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2 ,-4 ); (-4 ,-2 ) b) (1,5 đ) 27 − 2 x 3 = 2+ 12 − x 12 − x 3 A lớn nhất khi lớn nhất 12 − x 3 * Xét x > 12 thì 0 Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử khơng 12 − x Q= 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất 12-x > 0 3 ... ⇔ 1/5 3x+1>4hc 3x+1 4=> x>1 *NÕu 3x+1 x 1 hc x x≤4 (0,25®) (1)4-x+2x=3 => x =-1 ( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x x>4 (0,25®) (1) x-4+2x=3 x =7/ 3 (lo¹i) (0,25®) C©u3 (1®) ¸p dơng a+b ≤a+bTa cã A=x+8-x≥x+8-x=8 MinA =8 x(8-x) ≥0 (0,25®) x ≥ 0 =>0≤x≤8 (0,25®) 8 − x ≥ 0... (0 ,75 điểm) (0 ,75 điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) C *) Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng, vẫn được điểm tối đa §¸p ¸n §Ị 6 thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 7 M«n: To¸n ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG âu 1 a) (1,5đ) ,5 đ) 3 x −1 (1+5) = 162 3 x −1 = 27 => x-1= 3 => x = 4 b) (1,5đ) 3x +x2 = 0 x(3 + x) = 0 x=0 hoặc x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) < 0 vì x-1 > x-3 nên x − 1... 7 M«n: To¸n Bài1: (1,5 điểm) + Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ) + Với x = - ; y = -1 ⇒ A = - (0,5đ) + Với x = ; y = -1 ⇒ A= - (0,5đ) Bài 2: (2 điểm) + Từ + = 2 ⇔ (2 – x)( + ) = 0 ⇔ x = 2 + Thay x = 2 ⇒ + ⇒ x + y + z = 100 = = = = (0 ,75 đ) = 2 (1đ) (0,25đ) Bài 3: (2 điểm) + Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 Z⇒x + Chỉ ra được x, y (0,5đ) Ư(4) và 2y + 3 lẻ (0,5đ) + Lập bảng (1đ) x -4 -2 -1 1 2 4 2y + 3 -1 -2 -4 ... x . cân tại M . Đáp án Đề 9 thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7. Môn: Toán Bi1: (1,5 im) + Tỡm c: x = ; y = -1 (0,5) + Vi x = - ; y = -1 A = - (0,5) + Vi x = ; y = -1 A= - (0,5) Bi 2: (2 im) +. 162 1 3 −x = 27 => x-1= 3 => x = 4 0 ,75 0 ,75 ' 3x +x 2 = 0 x(3 + x) = 0 x=0 hoặc x= -3 0 ,75 0 ,75 (x-1)(x-3) < 0 vì x-1 > x-3 nên (x-1)(x-3) < 0 ⇔ 31 03 01 <<⇔ <− >− x x x 0,5 1,0 Câu. 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125 .7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A − − − − =