40 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 1 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 1999 – 2000 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN ) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 16 – 07 – 1999 Bài 1: (1,5 điểm) Cho phương trình: x 2 + mx + n = 0 Tìm m và n, biết rằng phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 1 2 3 3 1 2 x x 5 x x 35  − =   − =   Bài 2: (1,5 điểm) Chứng minh rằng một số có dạng: n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n (Với n là số tự nhiên chẵn, lớn hơn 4) thì chia hết cho 384. Bài 3: (1,5 điểm) Không dùng máy tính, hãy tính: 33 2142021420 −++ Bài 4: (1,5 điểm) Giải phương trình: x + y + z + 4 = 2 56342 −+−+− zyx (Với x, y, z là các ẩn) Bài 5: (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD). a) Trên đáy lớn AB, người ta lấy điểm M. Tìm trên đáy nhỏ CD một điểm N sao cho diện tích nhận được do các đường thẳng AN, BN, CM và DM cắt nhau tạo thành là lớn nhất. b) Biết diện tích hình thang bằng a 2 . Đường chéo lớn của hình thang này có độ dài bé nhất là bao nhiêu?  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 2 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 1999 – 2000 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Dành cho các lớp chuyên Văn, Tiếng Anh, Lý, Hoá) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 16 – 07 – 1999 Bài 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2 + mx + n = 0 Tìm m và n biết rằng phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 1 2 3 3 1 2 x x 5 x x 35  − =   − =   Bài 2: (2,0 điểm) Cho A = xx xxxxx + −−+ 2 ,với x > 0 a) Rút gọn A b) Giải phương trình: A = 12 +−x Bài 3: (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx. M là một điểm di động trên Bx (M ≠ B). AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN. a) Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh tam giác IBN đồng dạng với tam giác OMB. c) Tìm vò trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có giá trò lớn nhất. Bài 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thoả điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + yz + 2zx.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 3 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG BÌNH ĐỊNH CHUYÊN - Năm học 2000 – 2001 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Các lớp không chuyên Toán Khoá thi ngày: 17 – 07 – 2000 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu: ayxyyxx =+++ 3 422 3 242 , với x > 0; y > 0 thì: 3 2 3 2 3 2 ayx =+ Bài 2: (3,0 điểm) Cho phương trình: 24624612 2 −−+=+− xx a) Rút gọn vế phải của phương trình. b) Giải phương trình Bài 3 : (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh MNCDAB 2 1 1 =+ b) Biết diện tích tam giác AOB bằng a 2 . Diện tích tam giác COD bằng b 2 . Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 4 : (1,0 điểm) Cho P(2) là giá trò của đa thức P (x) khi x = 2. Chứng minh rằng P (x) - P (2) chia hết cho x – 2.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 4 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 2000 – 2001 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp: Chuyên toán Khoá thi ngày: 17 – 07 – 2000 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) Chứng tỏ rằng nếu ba số a, b, c thoả mãn điều kiện: a b c 0(1) ab bc ca 0(2) abc 0(3)  + + >  + + >   >  thì a, b, c là ba số dương. Bài 2 : (2,0 điểm) Cho b và c là các số nguyên dương và a là số nguyên tố sao cho a 2 + b 2 = c 2 Chứng minh rằng ta luôn có a < b và b+ 1 = c. Bài 3 : (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) x + y + z + 4 = 2 56342 −+−+− zyx b) 2 4 9 4 5 22 =++++− xxxx Bài 4 : (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn tại T sao cho T là trung điểm của đoạn AB. P là một điểm trên đoạn BT (P ≠ B và P ≠ T). Từ P kẻ cát tuyến PMN với đường tròn (O) trong đó M nằm giữa P và N. NB cắt đường tròn (O) ở E; AM cắt đường tròn (O) ở I, IE cắt AB ở F. Chứng minh AF = BP.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 5 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN ) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 03 – 07 – 2001 Bài 1: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số này cho 2001 thì được số dư là 9, còn khi chia nó cho 2002 thì được số dư là 10. Bài 2: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 y xy 6x 1 x y 5x  + =   + =   Bài 3: (2,0 điểm) Cho bốn số a, b, c, d thoả mãn: 2 2 2 2 a b c d 3 a b c d 3  + + + =   + + =   Tìm các số đó trong trường hợp d đạt giá trò lớn nhất. Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O, R). M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Trên tia AM kéo dài về phía M lấy một điểm N sao cho MN = MB. a/ Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều. b/ Đònh vò trí của M để MA + MB lớn nhất. c/ Tìm tập hợp các điểm N khi M di động trên cung nhỏ AB.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 6 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên Vật lý, Hóa học, Sinh học) Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề) Ngày thi: 03 – 07 – 2001 Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: A = 12 1 : 1 11 +− +         − + − aa a aaa , với a > 0, a ≠ 1 1/ Rút gọn A. 2/ Chứng minh rằng A < 1. Bài 2 : (2,0 điểm) Giải phương trình: 24624612 2 −−+=+− xx Bài 3 : (2,0 điểm) Tìm giá trò của a để ba đường thẳng: (d 1 ) : y = 2x – 5 (d 2 ) : y = x + 2 (d 3 ) : y = ax – 12 đồng qui tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ. Bài 4: (4,0 điểm) Cho hai điểm A, B cố đònh và phân biệt. Đường tròn tâm O 1 , tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, đường tròn tâm O 2 tiếp xúc với đường thẳng AB tại B. Hai đường tròn này cắt nhau tại M, N. MN cắt AB tại I. Hãy chứng minh: 1) Hai tam giác IAM và IAN đồng dạng. 2) I là điểm cố đònh khi hai đường tròn thay đổi.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 7 Bùi Văn Chi  ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐHKHTN - ĐHQG HÀ NỘI 1999 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1 : Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện:    =++ = + + 14 0 222 cba cba Hãy tính giá trò của biểu thức: P = 1 + a 4 + b 4 + c 4 Bài 2 : 1) Giải phương trình: 8273 −=−−+ xxx 2) Giải hệ phương trình: 1 1 9 2 1 5 2 x y x y xy xy  + + + =     + =   Bài 3 : Tìm các số nguyên dương n sao cho: n 2 + 9n – 2 chia hết cho n + 11. Bài 4 : Cho vòng tròn (C) và điểm I ở trong vòng tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN và EIF . Gọi M ’ , N ’ , E ’ , F ’ là các trung điểm của IM, IN, IE, IF. 1) Chứng minh rằng tứ giác M ’ N ’ E ’ F ’ nội tiếp đường tròn. 2) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M ’ N ’ E ’ F ’ có bán kính không đổi. 3) Giả sử I cố đònh, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau. Tìm vò trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác M ’ N ’ E ’ F ’ có diện tích lớn nhất.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 8 Bùi Văn Chi  ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP. HCM NĂM 2001 MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: a) Giải bất phương trình: 121 −>+ xx b) Giải hệ phương trình:        =+ =+ 3 71 2 71 x y y x Bài 2: Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình: x 2 + ax + 1 = 0 và x 2 + bx + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời các phương trình x 2 + x + a = 0 và x 2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b + c. Bài 3 : a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = CN = AB 3 . Gọi K là giao điểm của AN và DM. Chứng minh trực tâm của tam giác ADK nằm trên cạnh BC. b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Chứng minh rằng (AC) ⊥ (SBD) và (SAC) ⊥ (SBD). Bài 4 : Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và AB = 2, BC = 13, CD = 8, DA = 5. a) Đường thẳng (BA) cắt đường tnẳng (CD) tại E. Hãy tính AE. b) Tính diện tích tứ giác ABCD.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 9 Bùi Văn Chi  ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP. HCM MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học 2001 – 2002 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1 : a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000 a là số chính phương. b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b –1) không là bội của 9, b là bội của 4 số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương. Bài 2 : Cho x, y là các số thực sao cho y x 1 + và x y 1 + đều là các số nguyên. a) Chứng minh 22 22 1 yx yx + là số nguyên. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho nn nn yx yx 1 + là số nguyên. Bài 3 : a) Cho a, b là các số dương thỏa ab = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 2 4 A a b a b a b = + + + + b) Cho m, n là các số nguyên thoả 3 11 2 1 =+ n m . Tìm giá trò lớn nhất của B = m.n. Bài 4 : Cho hai đường tròn C 1 (O 1 , R 1 ) và C 2 (O 2 , R 2 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A . Hai điểm B, C lần lượt di động trên C 1 , C 2 sao cho  BAC = 90 0 . a) Chứng minh trung điểm M của BC luôn nằm trên một đường tròn cố đònh. b) Hạ AH vuông góc với BC. Tìm tập hợp các điểm H. Chứng minh rằng độ dài đoạn AH không lớn hơn 21 21 2 RR RR + . c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu b) trong trường hợp C 1 và C 2 tiếp xúc trong với nhau tại điểm A. Bài 5 : Giải hệ phương trình: 2 2 x 1 x 3 x 5 y 1 y 3 y 5 x y x y 80  + + + + + = − + − + −   + + + =    BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 10 Bùi Văn Chi  ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ 1999 MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1 : Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x 2 x y 3 y 5 x 2 x y 3 y 2  + + + + + =   + − + + − =   Bài 2 : Chứng minh rằng: 2 a(c d) 3d 3 3 b(d c) 3c 2 − + ≤ ≤ − + với mọi a, b, c, d thuộc [2; 3] Bài 3 : Chứng minh rằng với ba số thực a, b, c phân biệt thì phương trình: 1 1 1 0 x a x b x c + + = − − − có hai nghiệm khác nhau. Bài 4 : Cho tam giác cân ABC. Trên cạnh đáy BC lấy các điểm E, F (khác B, C) sao cho BE = CF < BC 2 . Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, ∆ AEF. a) Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ABF có bán kính bằng nhau. b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABF theo R, r. [...]... thi vào lớp Hoá Có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả 3 lớp Toán, Lý và Hoá Có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hoá Số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ chọn thi vào lớp Toán Số học sinh chọn thi vào lớp Lý và Hoá gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả 3 lớp Toán, Lý, Hoá Hỏi số học sinh chọn thi vào từng lớp là bao nhiêu? BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 36 Bùi Văn Chi ... thể vẽ được 25 đường tròn có bán kính R mà đôi một không cắt nhau 5 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 27 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN – BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2003– 2004 - Ngày thi 12 – 07 - 2003 Thời gian làm bài: 150 phút I Lý thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau để làm bài Đề1 Phát biểu căn bậc hai số học của một số a > 0 p dụng: Trong các số sau... làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên? BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 29 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 1999– 2000 - Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1  1999   1999   1999   1999   1+   1+   1+  ⋯  1+  1  2  3   100 0   1) Tính: A =  100 0   100 0   100 0   100 0   1+   1+   1+  ⋯  1+  1  2  3   1999... Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n≥ 3) Chứng minh rằng dù lòch thi đấu sắp xếp ra sao, thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng tìm ra được hai đội có số trận đã thi đấu là bằng nhau b) Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt Điều khẳng đònh của câu a) còn đúng không? Giải thích rõ câu trả lời BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 34 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG... và AM, AM và BN tương ứng Tính tỉ số diện tích của các tam giác A’B’C’ và ABC b) Cho đa giác đều có 2001 cạnh Hỏi có bao nhiêu đa giác đều phân biệt có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều đã cho? (Chỉ xét đối với các đa giác đều lồi đơn) BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 22 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN – BẮC NINH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150... BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 19 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TP HCM NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 Tìm các giá trò của m để phương trình sau có nghiệm và tính các nghiệm ấy theo m: x + x 2 − 2 x + m = 0 Câu 2 Phân tích thành nhân tử: 10 A = x + x5 + 1 Câu 3 a) Giải các phương trình và hệ phương trình: 48 x2  x 4 + 2 = 10 ... m là tham số Câu 5 Giả sử H là trực tâm của tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB và HC lấy hai điểm M, N sao cho AMC = ANB = 900 Chứng minh rằng: AN = AM BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 21 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 21 + 35 + 49 + …+ 5022001 Câu 2 a)... R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 20 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 Chứng minh rằng luôn tồn tại số có dạng 20022002…2002 mà số đó chia hết cho 2003 Câu 2 Giải phương trình: (x + 9)(x + 10) (x + 11) – 8x = 0 Câu 3 Chứng minh rằng nếu a, b,... hai phần có diện tích bằng nhau BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 23 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 1) Chứng minh rằng với mọi giá trò dương của n, luôn có: 1 1 1 = − n +1 ( n + 1) n + n n + 1 n 2) Tính tổng: 1 1 1 1 + + + ⋯+ 2+ 2 3 2 +2 3 4 3 +3 4 100 99 + 99 100 Bài 2 Tìm trên đường thẳng y... Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: M= xyz (x + y )(y + z )( z + x ) BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 26 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN – BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2003– 2004 - Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 13 – 07 - 2003 Bài 1 (1,5 điểm) Cho 0 < a < 1, hãy rút gọn biểu thức:   1 1+ a 1− a 1  M= + − 1−  2  . BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 3 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG BÌNH ĐỊNH CHUYÊN - Năm học 2000 – 2001 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Các lớp không chuyên Toán.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 5 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN ) .  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 4 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 2000 – 2001 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp: Chuyên toán Khoá thi ngày: