Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.. Gọi AH là đường cao của DABC, đường tròn tâm I đường kính AH cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E.. Tính số đo góc GIF 3.
Trang 1www.VNMATH.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Môn: Toán (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 17/6/2014
Bài 1: (2,0 điểm): Cho biểu thức: 2 2
a C
1 Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C
2 Tính giá trị của biểu thức C khi a = 9 - 4√5
Bài 2: (2,0 điểm):
Cho hệ phương trình: ( 1) 2
1
mx y m
(m là tham số)
1.Giải hệ phương trình khi m = 2
2 Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : x + 2y ≤ 3
Bài 3: (2,0 điểm):
1 Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P):
y = 2x2 tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung
2 Giải hệ phương trình:
3
3
Bài 4: (3,0 điểm): Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm bất kì trên
đường tròn (A khác B và C) Gọi AH là đường cao của DABC, đường tròn tâm I đường kính AH cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E
1 Chứng minh rằng : góc DHE bằng 900 và AB AD = AC AE
2 Các tiếp tuyến của đường tròn (I) tại D và E cắt BC tương ứng tại G và F Tính
số đo góc GIF
3 Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất
Bài 5: (1,0 điểm):Cho ba số thực x, y, z
Tìm giá trị lớn nhất biểu thức 2 2 2
xyz x y z x y z S
x y z xy yz zx
Trang 2Lêi gi¶i vµ thang ®iÓm to¸n chung Lam S¬n
Ngày thi : 17/062014
1/ Tìm điều kiện của a để biểu thức C có ngĩa, rút gọn C
+ Biểu thức C có nghĩa khi
a 0, a 16
moi a 0
a 4 0
0.25
+ Rút gọn biểu thức C
C
C
a a 4
C
1.25
1
2/ Tính giá trị của C, khi a 9 4 5
Ta có: a 9 4 5 4 4 5 5 2 52=> a 2 52 2 5
Vậy:
C
a 4
0.5
Cho hệ phương trình: m 1 x y 2
mx y m 1
(m là tham số)
1/ Giải hệ phương trình khi m = 2
Khi m = 2 thay vào ta có hệ phường trình
2x y 2 1
0.75
Kết luận: Với m = 2 hệ phường trình có một nghiệm duy nhất x1
Trang 32
2/ Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
(x ; y) thỏa mãn 2x y 3
y 2 m 1 x
mx 2 m 1 x m 1
<=> y 2 m 1 x y 2 m 1 m 1 y m2 2m 1
x m 1
Vậy với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất:
2
x m 1
0.5
2x y 3 2 m 1 m 2m 1 3 2m 2 m 2m 1 3
2 2
2x y 3 m 4m 4 m 2 0 2x y 3 0 2x y 3
0.5
1/ Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt
Parabol (P) y = 2x2 tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của
phương trình: 2x2 = mx – m + 2 <=> 2x2 – mx + m – 2 = 0 (1)
Để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt Parabol (P) y = 2x2 tại hai điểm
phân biệt nằm bên phải trục tung thì
1 2
0
x x 0
=>
m 42 0 m
0 2
m 2
0 2
=>
m 4
m 0 m 2, m 4
m 2
Kết luận: để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt Parabol (P) y = 2x2 tại
hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì: m 2, m 4
1.0
Trang 43
2/ Giải hệ phương trình :
3
3 x 2y 4 x 2y (1) 2x 6 2y 2 (2)
Điều kiện: x 2y 0 x 2y 0
(*)
Đặt x 2y t 0, thay vào phương trình (1) ta có
3t = 4 – t2 => t2 + 3t – 4 = 0
1 + 3 – 4 = 0, nên phương trình có hai nghiệm t = 1 và t = -4 (loại)
Với t = 1 => x 2y 1=>x + 2y = 1 => x = 1 - 2y, thay vào phương trình
(2) ta có 3 2 1 2y 6 2y 2 <=>3 4y 8 2y 2<=>
3 4y 8 2 2y
<=> 4y 8 8 12 2y 12y 2y 2y<=>16y 12 2y 2y 2y 0
<=>8y 6 2y y 2y 0<=> y 2y 8 y 6 2 0
<=> y y 2 2 y 6 0
TH 1 : y 0 y 0 x 1 (thỏa mãn *)
TH2 : y 2 y 2 x 3 (thỏa mãn *)
TH3 : y 6 y 18 x 35
2
(thỏa mãn *)
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x, y) = (1 ; 0), (-3, 2), (-35,18)
1.0
4
F G
I
E
H
D
C B
A
Trang 51 Chứng minh 0
DHE 90
Tứ giác ADHE có: ADE => ADHE là hình chữ nhật => 0
DHE 90
Chứng minh AB.AD = AC.AE
Xét hai tam giác vuông HAB và HAC ta có: AB.AD = AH2 = AC.AE
1.0
2/ Tính góc GIF
DHE 90 => DE là đường kính => I thuộc DE
=> 1 1 1 0
1.0
3/ Tứ giác DEFG là hình thang vuông có đường cao DE = AH
Hai đáy DG = GH = GB = 1BH
2 và EF = FC = FH = 1HC
2
=>diện tích hình tứ giác DEFG là
1
HB HC AH
BC.AH 2
lớn nhất khi AH lớn nhất vì BC = 2R không đổi
Ta có: AH lớn nhất => AH là đường kính => A là trung điểm cung AB
1.0
5
Cho ba số thực dương x,y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xyz x y z x y z S
x y z xy yz zx
Theo Bu nhi a : 2 2 2 2
x y z 3 x y z =>x y z 3 x 2 y 2 z 2
S
x y z xy yz zx
xyz 3 1
x y z xy yz zx
S
3 3
3 x y z 3 x y z
3 3
khi x = y = z
1.0
Chú ý
1/ Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm
2/ Làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa