Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán 2013 doc

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp Bµi 1. a) Giải phương trình (1 + x) 4 = 2(1 + x 4 ). b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 7 28 7 x xy y y yz z z xz x  + + =  + + =   + + =  Bµi 2. a) Phân tích đa thức x 5 – 5x – 4 thành tích của một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba với hệ số nguyên. b) áp dụng kết quả trên để rút gọn biểu thức 4 4 2 4 3 5 2 5 125 P = − + − . Bµi 3. Cho ∆ ABC đều. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có MA ≤ MB + MC. Bµi 4. Cho ∠ xOy cố định. Hai điểm A, B khác O lần lượt chạy trên Ox và Oy tương ứng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đI qua một điểm cố định. Bµi 5. Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m > n và m không chia hết cho n. Biết rằng số dư khi chia m cho n bằng số dư khi chia m + n cho m – n. Hãy tính tỷ số m n . Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên. Bµi 1. Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6 6 3 3 3 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) x x x x P x x x x + − + − = + + + . Bµi 2. Giải hệ phương trình 1 1 2 2 1 1 2 2 y x x y  + − =     + − =   Bµi 3. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có : n 3 + 5n M 6. Bµi 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + ≥ + + . Bµi 5. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q là các điểm bất kỳ lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh rằng 2a 2 ≤ MN 2 + NP 2 +PQ 2 + QM 2 ≤ 4a 2 . b) Giả sử M là một điểm cố định trên cạnh AB. Hãy xác định vị trí các điểm N, P, Q lần lượt trên các cạnh BC, CD, DA sao cho MNPQ là một hình vuông. D C B A E F Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên Bµi 1. a) Tính 1 1 1 1 2 2 3 1999 2000 . . . S = + + + . b) GiảI hệ phương trình : 2 2 1 3 1 3 x x y y x x y y  + + =     + + =   Bµi 2. a) Giải phương trình 3 2 4 4 1 1 1x x x x x− + + + + = + − b) Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình 2 2 11 2 4 4 7 0 2 ( )x a x a− + + + = có ít nhất một nghiệm nguyên. Bµi 3. Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB tại E và với cạnh CD tại F như hình a) Chứng minh rằng BE DF AE CF = . b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE. Tính diện tích hình thang ABCD. Bµi 4. Cho x, y là hai số thực bất kì khác không. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 8 2 2 4 3( ) ( ) x y x y x y y x + + ≥ + . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? . Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp Bµi 1. a) Giải phương trình (1 + x) 4 = 2(1 + x 4 ). b). rằng số dư khi chia m cho n bằng số dư khi chia m + n cho m – n. Hãy tính tỷ số m n . Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên. Bµi 1. Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của. P, Q lần lượt trên các cạnh BC, CD, DA sao cho MNPQ là một hình vuông. D C B A E F Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên Bµi 1. a) Tính 1 1 1 1 2 2 3 1999 2000 . . . S =