1 IPhO 2009 BÀI THI LÝ THUYẾT BÀI TOÁN LÍ THUYẾT SỐ 1 CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ TRÁI ĐẤT – MẶT TRĂNG Các nhà khoa học có thể xác định khoảng cách Trái Đất - Mặt Trăng với độ chính xác cao. Họ đạt được điều đó nhờ cho tia laze phản xạ trên một chiếc gương đặc biệt do các phi hành gia đặt trên bề mặt Mặt Trăng vào năm 1969 rồi đo tổng thời gian đi và về của tia sáng (xem Hình 1). Bằng các quan sát như trên, người ta đo và nhận thấy Mặt Trăng ra xa Trái Đất với tốc độ chậm. Như vậy, khoảng cách Trái Đất-Mặt Trăng tăng lên theo thời gian. Điều này xảy ra do mômen lực của thủy triều của Trái Đất làm thay đổi mômen động lượng của Mặt Trăng (xem Hình 2). Trong bài toán này em sẽ tìm ra các tham số cơ bản của hiện tượng trên. Hình 1. Tia laze được phát đi từ một đài quan sát để đo chính xác khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng. 2 ( Chú thích Hình 2: Ocean: đại dương, Tidal bulge offset: sự lệch do khối nước dâng lên vì thủy triều, Earth’s rotation: sự quay của Trái Đất, Moon:Mặt Trăng). 1. Sự bảo toàn mômen động lượng Gọi 1 L là mômen động lượng tổng cộng của hệ Trái Đất - Mặt Trăng hiện tại. Ở đây ta dùng các giả thiết sau đây: i) 1 L chỉ được xác định bởi chuyển động quay của Trái Đất quanh trục của nó và sự dịch chuyển của Mặt Trăng trên quỹ đạo quanh Trái Đất. ii) Quỹ đạo của Mặt Trăng là tròn và và có thể coi Mặt Trăng là chất điểm. iii) Trục quay của Trái Đất và trục của quỹ đạo Mặt Trăng sông song với nhau. iv) Để đơn giản hoá các phép tính, ta coi như chuyển động được thực hiện quanh tâm của Trái Đất, mà không phải quanh khối tâm của hệ. v) Bỏ qua ảnh hưởng của Mặt Trời. 1a Viết phương trình cho mômen động lượng toàn phần hiện nay của hệ Trái Đất - Mặt Trăng. Hãy thiết lập phương trình này theo E I , là mômen động lượng của Trái Đất ; 1E , là tốc độ góc hiện nay của chuyển động quay của Trái Đất ; 1M I , là mômen quán tính hiện nay của Mặt Trăng đối với trục của Trái Đất; và 1M là tần số góc hiện nay của Mặt Trăng trên quỹ đạo của nó. 0.2 Quá trình truyền mômen động lượng sẽ kết thúc khi chu kì quay của Trái Đất và chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất có cùng giá trị. Ở thời điểm đó các chỗ nước dâng lên ở Trái Đất do lực của Mặt Trăng sẽ ở trên đường thẳng nối Mặt Trăng với Trái Đất và mômen lực không còn nữa. 1b Hãy viết phương trình cho mômen động lượng toàn phần cuối cùng 2 L của hệ Trái Đất - Mặt Trăng. Dùng các giả thiết đã nêu trong câu 1a. Hãy thiết lập phương trình theo E I , là mômen quán tính của Trái Đất; 2 , là tần số góc cuối cùng của chuyển động quay của Trái Đất và chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất và 2M I , là mômen quán tính cuối cùng 0.2 Hình 2. Lực hấp dẫn của Mặt Trăng gây ra thuỷ triều trên Trái Đất tức là gây nên “sự dâng lên của nước” trên mặt biển. Do chuyển động quay của Trái Đất, đường thẳng nối hai vùng có nước dâng cao không trùng với đường thẳng nối Trái Đất và Mặt Trăng. Sự không trùng nhau này gây ra một mômen lực có tác dụng truyền mômen động lượng quay của Trái Đất quanh trục cho chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất. Hình vẽ không theo đúng tỉ lệ. 3 của Mặt Trăng. 1c Bỏ qua đóng góp của chuyển động quay của Trái Đất khi tính mômen toàn phần cuối cùng, hãy viết phương trình biểu diễn sự bảo toàn mômen động lượng cho bài toán này 0.3 2. Khoảng cách cuối cùng và tần số góc cuối cùng của hệ Trái Đất - Mặt Trăng. Giả thiết rằng phương trình chuyển động (có lực hấp dẫn) cho chuyển động tròn của Mặt Trăng xung quanh Trái Đất vẫn đúng. Bỏ qua sự đóng góp của chuyển động quay của Trái Đất vào mômen tổng cộng cuối cùng. 2a Hãy viết phương trình cho chuyển động tròn của Mặt Trăng xung quanh Trái Đất, ở trạng thái cuối cùng, theo E M , 2 , G và khoảng cách cuối cùng 2 D giữa Trái Đất và Mặt Trăng. E M là khối lượng của Trái Đất và G là hằng số hấp dẫn. 0.2 2b Hãy viết phương trình cho khoảng cách cuối cùng 2 D giữa Trái Đất và Mặt Trăng theo các tham số đã biết, 1 L là mômen động lượng toàn phần của hệ, E M và M M , tương ứng, là khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng và hằng số G. 0.5 2c Viết phương trình tính tốc độ góc cuối cùng 2 của hệ Trái Đất - Mặt Trăng theo các tham số đã biết 1 L , E M , M M và G . 0.5 Say đây hãy tìm giá trị bằng số của 2 D and 2 . Muốn vậy cần biết mômen quán tính của Trái Đất. 2d Hãy viết phương trình để tính mômen quán tính E I của Trái Đất. Giả thiết Trái Đất là hình cầu có khối lượng riêng của phần bên trong tính từ tâm đến điểm cách tâm i r là i và khối lượng riêng của phần bên ngoài, tính từ điểm cách tâm i r tới điểm cách tâm o r là o (xem hình 3). 0.5 Xác định các giá trị bằng số các đại lượng cần tìm trong bài này chính xác đến hai chữ số có nghĩa. Hình 3. Trái Đất coi như hình cầu với hai phần có khối lượng riêng tương ứng là i và o . 4 2e Hãy ước tính mômen quán tính E I của Trái Đất, với 4 103.1 i kg m -3 , 6 105.3 i r m, 3 100.4 o kg m -3 , and 6 104.6 o r m. 0.2 Khối lượng của Trái Đất và của Mặt Trăng lần lượt là 24 100.6 E M kg và 22 103.7 M M kg. Khoảng cách hiện nay giữa Trái Đất và Mặt Trăng là 8 1 108.3 D m. Tốc độ góc của chuyển động quay của Trái Đất hiện nay là 5 1 103.7 E s -1 . Tốc độ góc của Mặt Trăng trong chuyển động quanh Trái Đất hiện nay là 6 1 107.2 M s -1 và hằng số hấp dẫn là 11 107.6 G m 3 kg -1 s - 2 . 2f Hãy ước tính giá trị bằng số của mômen động lượng toàn phần 1 L của hệ. 0.2 2g Hãy tính khoảng cách cuối cùng 2 D ra mét (m) và ra đơn vị là khoảng cách 1 D hiện nay 0.3 2h Tính tần số góc cuối cùng 2 ras -1 , và độ dài một ngày cuối cùng ra đơn vị ngày hiện nay. 0.3 Hãy kiểm tra lại sự đúng đắn của giả thiết về sự bỏ qua đóng góp của chuyển động quay của Trái Đất vào mômen động lượng toàn phần bằng cách tìm tỉ số giữa mômen động lượng cuối cùng của Trái Đất với mômen động lượng cuối cùng của Mặt Trăng. Tỉ số này phải là một đại lượng nhỏ. 2i Hãy tìm tỉ số giữa mômen động lượng cuối cùng của Trái Đất với mômen động lượng cuối cùng của Mặt Trăng. 0.2 3. Mỗi năm Mặt Trăng đi ra xa thêm bao nhiêu? Bây giờ, ta tìm xem sau mỗi năm Mặt Trăng đi ra xa Trái Đất thêm bao nhiêu. Muốn vậy, ta cần tìm phương trình để tính mômen lực tác dụng lên Mặt Trăng hiện nay. Giả thiết rằng sự dâng mặt nước do thủy triều có thể coi gần đúng như có thêm hai chất điểm, khối lượng mỗi chất điểm là m đặt ở hai điểm nước dâng cao nhất trên mặt Trái Đất như ở Hình 4. Gọi là góc giữa đường thẳng đi qua hai điểm mặt nước dâng lên này và đường thẳng nối tâm Trái Đất với Mặt Trăng. 5 ( Chú thích Hình 4: Earth’ Rotation: chuyển động của Trái Đất, Moon’ Motion: chuyển động của Mặt Trăng). 3a Hãy tìm cường độ c F của lực do chất điểm ở gần hơn tác dụng lên Mặt Trăng. 0.4 3b Tìm cường độ f F của lực do chất điểm ở xa hơn tác dụng lên Mặt Trăng. 0.4 Bây giờ em có thể ước tính mômen lực do hai chất điểm gây ra. 3c Hãy tìm độ lớn c của mômen lực do chất điểm ở gần hơn tác dụng lên Mặt Trăng 0.4 3d Hãy tìm độ lớn f của mômen lực do chất điểm ở xa hơn tác dụng lên Mặt Trăng. 0.4 3e Hãy tìm độ lớn của mômen lực tổng cộng gây bới hai chất điểm. Từ giả thiết 1 Dr o em hãy tìm biểu thức gần đúng với bậc thấp nhất của đại lượng 1 / Dr o . Em có thể sử dụng công thức axx a 1)1( nếu 1x . 1.0 3f Hãy tính giá trị bằng số của mômen lực tổng cộng . Khi tính toán, lấy 3 và coi 16 106.3 m kg (chú ý rằng khối lượng này vào khoảng 8 10 lần khối lượng Trái Đất). 0.5 Từ nhận xét mômen lực bằng tốc độ thay đổi của mômen động lượng theo thời gian, hãy tìm sự tăng khoảng cách Trái Đất - Mặt Trăng trong mỗi năm ở thời điểm hiện nay. Để làm điều đó, hãy biểu diễn mômen động lượng của Mặt Trăng chỉ theo M M , E M , 1 D và G . 3g Hãy tìm sự tăng khoảng cách Trái Đất - Mặt Trăng sau mỗi năm, ở thời điểm hiện nay. 1.0 Cuối cùng, hãy ước tính xem độ dài một ngày tăng lên bao nhiêu sau mỗi năm. 3h Tìm độ giảm của 1E sau mỗi năm và cho biết độ dài một ngày tăng lên bao nhiêu sau mỗi năm, ở thời điểm hiện nay. 1.0 4. Năng lượng chuyển đi đâu? Khác với mômen động lượng, là đại lượng bảo toàn, năng lượng toàn phần (năng lượng chuyển động quay và thế năng tương tác hấp dẫn) của hệ thì không bảo toàn. Chúng ta sẽ xem xét vấn đề này trong phần sau đây. Hình 4. Sơ đồ để ước tính mômen lực tác dụng lên Mặt Trăng do sự dâng cao của mặt nước trên Trái Đất. Hình vẽ này không theo đúng các tỉ lệ. . 6 4a Hãy viết phương trình cho năng lượng toàn phần (năng lượng chuyển động quay và thế năng tương tác hấp dẫn) của hệ Trái Đất - Mặt Trăng ở thời điểm hiện nay. Viết phương trình này chỉ theo các đại lượng E I , 1E , M M , E M , 1 D và G . 0.4 4b Hãy viết phương trình tính độ biến thiên E của E , theo độ biến thiên của 1 D và 1E . Uớc tính giá trị bằng số của E cho mỗi năm, bằng cách dùng các độ biến thiên của 1 D và của 1E đã tìm được trong câu 3g và 3h. 0.4 Kiểm tra để thấy rằng sự mất năng lượng phù hợp với ước tính của năng lượng tiêu tán dưới dạng nhiệt trong hiện tượng thủy triều do Mặt Trăng gây ra trên Trái Đất. Giả thiết rằng thủy triều làm nước dâng cao hơn trung bình 0,5m, và có lớp nước dày 0,5 m phủ trên mặt Trái Đất (để đơn giản ta giả thiết rằng toàn bộ mặt Trái Đất đều được phủ bằng nước). Hiện tượng này xảy ra 2 lần trong một ngày. Hơn nữa ta giả thiết rằng 10% năng lượng hấp dẫn bị tiêu hao do tính nhớt của nước khi nước rút xuống. Coi khối lượng riêng của nước là 3 10 water kg m -3 và gia tốc trọng trường trên mặt đất là 8.9g m s -2 . 4c Khối lượng nước nằm ở bề mặt Trái Đất là bao nhiêu? 0.2 4d Năng lượng bị tiêu tán trong một năm là bao nhiêu ? So sánh năng lượng đã tiêu tán trong một năm với phần năng lượng mà hệ Trái Đất - Mặt Trăng mất đi trong một năm, ở thời điểm hiện nay. 0.3 . 1 IPhO 2 009 BÀI THI LÝ THUYẾT BÀI TOÁN LÍ THUYẾT SỐ 1 CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ TRÁI ĐẤT – MẶT TRĂNG Các nhà khoa học có thể xác. Đất, với 4 10 3 .1 i kg m -3 , 6 10 5.3 i r m, 3 10 0.4 o kg m -3 , and 6 10 4.6 o r m. 0.2 Khối lượng của Trái Đất và của Mặt Trăng lần lượt là 24 10 0.6 E M kg và 22 10 3.7 M M kg. Khoảng. Trăng là 8 1 108.3 D m. Tốc độ góc của chuyển động quay của Trái Đất hiện nay là 5 1 103.7 E s -1 . Tốc độ góc của Mặt Trăng trong chuyển động quanh Trái Đất hiện nay là 6 1 107.2 M s -1