1 BÀI TOÁN LÍ THUYẾT 2 SỰ LÀM LẠNH BẰNG LAZE NHỜ HIỆU ỨNG DOPPLER VÀ ĐÁM ĐẶC QUÁNH QUANG HỌC Mục đich của bài toán này là phát triển một lí thuyết đơn giản vê hiện tượng mang tên "làm lạnh bằng laser" và "đám đặc quánh quang học". Điều này liên quan đến sự làm lạnh một chùm nguyên tử trung hoà, điển hình là các nguyên tử kim loại kiềm, bằng cách sử dụng các chùm tia laser có cùng tần số, đi ngược chiều nhau. Đó là một phần của Giải Nobel Vật lí trao cho S. Chu, P. Phillíp và Cohen-Tannoudji năm 1997. Hình ảnh trên đây cho thấy các nguyên tử natri (chấm sáng ở giữa) bị bẫy vào nơi gặp nhau của ba cặp chùm tia laser ngược chiều nhau, các cặp chùm tia vuông góc với nhau. Khu vực bẫy được gọi là "đám kết dính quang học", vì lực quang học làm tiêu tán năng lượng giống như sự nhớt làm cản trở chuyển động của một vật chuyển động trong một chất lỏng đặc và dính. Trong bài toán này, em sẽ phân tích các hiện tượng cơ bản của tương tác giữa một photon tới lên một nguyên tử và cơ sở của cơ chế tiêu tán trong trường hợp một chiều. PHẦN I: CƠ SỞ CỦA SỰ LÀM LẠNH LASER Xét một nguyên tử có khối lượng m chuyển động theo chiều x với vận tốc v . Để cho đơn giản, ta sẽ coi bài toán là một chiều, tức là ta bỏ qua các phương y và z (xem Hình 1). Nguyên tử có hai mức năng lượng. Năng lượng của mức dưới được cho là bằng không và năng lượng của trạng thái kích thích là h 0 , trong đó, 2/h . Lúc đầu, nguyên tử ở trạng thái thấp nhất. Một chùm tia laser có tần số L , trong phòng thí nghiệm, được hướng theo x và đập vào nguyên tử. Theo cơ học lượng tử, chùm laser gồm một số lớn photon, mỗi photon có năng lượng h L và động lượng h q . Một photon có thể bị hấp thụ bởi nguyên tử và sau đó bị phát xạ một cách tự phát; sự phát xạ này có thể xảy ra với xác suất như nhau theo hướng x và x . Vì rằng nguyên tử chuyển động với tốc độ phi tương đối tính, v /c 1 (với c là tốc độ ánh sáng), nên chỉ cần giữ các số hạng đến bậc nhất của đại lượng này. Ta cũng xét 1/ mvq , cụ thể là động lượng của nguyên tử lớn hơn nhiều so với động lượng của một photon đơn lẻ. Khi viết các đáp án, em chỉ cần giữ các số bổ chính theo bậc nhất với các đại lượng nói trên. 2 ( Chú thích các chữ ghi trên hình: excited state: trạng thái kích thích, ground state: trạng thái cơ bản, internal energy level of the atom: mức năng lượng của nguyên tử, atom of mass m : nguyên tử có khối lượng m, + direction: hướng + ) Hình 1. Sơ đồ của một nguyên tử có khối lượng m với vận tốc v theo hướng x và va chạm với một photon có năng lượng h L và động lượng h q . Nguyên tử có hai mức năng lượng cách nhau h 0 . Giả thiết rằng tần số laser L được chỉnh sao cho, xét với nguyên tử đang chuyển động, nó cộng hưởng với chuyển dời giữa hai mức năng lượng trong nguyên tử. Hãy trả lời các câu hỏi sau: 1. Hấp thụ. 1a Hãy viết điều kiện cộng hưởng cho sự hấp thụ photon. 0.2 1b Hãy viết động lượng p at của nguyên tử sau khi hấp thụ, khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 1c Hãy viết năng lượng toàn phần at của nguyên tử sau khi hấp thụ, khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 2. Phát xạ tự phát một photon theo hướng x . Một thời gian sau khi hấp thụ photon tới, nguyên tử có thể phát xạ một photon theo hướng x . 2a Hãy viết năng lượng của photon được phát ra, ph , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 2b Hãy viết động lượng của photon được phát xạ, p ph , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 3 2c Hãy viết động lượng của nguyên tử, p at , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 2d Hãy viết năng lượng toàn phần của nguyên tử, at , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 3. Phát xạ tự phát một photon theo hướng x . Một thời gian sau khi hấp thụ photon tới, nguyên tử có thể phát xạ một photon theo hướng x . 3a Hãy viết năng lượng của photon phát xạ, ph , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 3b Hãy viết động lượng của photon phát ra, p ph , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm 0.2 3c Hãy viết động lượng của nguyên tử, p at , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 3d Hãy viết năng lượng toàn phần của nguyên tử, at , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0.2 4. Sự phát xạ trung bình sau khi hấp thụ. Sự phát xạ tự phát một photon theo hướng x hay hướng x xảy ra với xác suắt như nhau. Xét đến điều đó, hãy trả lời các câu hỏi sau. 4a Hãy viết năng lượng trung bình của một phton phát ra, ph , sau quá trình phát xạ. 0.2 4b Hãy viết động lượng trung bình của môt photon phát ra, p ph , sau quá trình phát xạ. 0.2 4c Hãy viết năng lượng toàn phần trung bình của nguyên tử, at , sau quá trình phát xạ. 0.2 4d hãy viết động lượng trung bình của nguyên tử, p at , sau quá trình phát xạ. 0.2 5. Sự truyền năng lượng và động lượng. 4 Giả thiết có một quá trình hấp thụ-phát xạ một photon hoàn chỉnh, như mô tả ở trên, thì có một sự chuyển động lượng và năng lượng trung bình toàn phần giữa bức xạ laze và nguyên tử. 5a Hãy viết độ biến thiên trung bình của năng lượng nguyên tử, , sau một quá trình hấp thụ-phát xạ một photon hoàn chỉnh. 0.2 5b Hãy viết độ biến thiên trung bình của động lượng của nguyên tử, p , sau một quá trình hấp thụ-phát xạ một photon hoàn chỉnh. 0.2 6. Sự truyền năng lượng và động lượng bởi chùm laser theo chiều x . Bây giờ , ta xét rằng chùm laser có tần số L đi tới nguyên tử theo hướng x , trong khi nguyên tử cũng chuyển động theo hướng x với vận tốc v . Giả thiết có sự cộng hưởng giữa chuyển dời bên trong nguyên tử và tia laser, xét từ phía nguyên tử, hãy trả lời cho các câu hỏi sau đây: 6a Hãy viết độ biến thiên năng lượng trung bình của nguyên tử, , sau một quá trình hấp thụ-phát xạ một photon hoàn chỉnh. 0.3 6b Hãy viết độ biến thiên của động lượng trung bình của nguyên tử, p , sau một quá trình hấp thụ-phát xạ một photon hoàn chỉnh. 0.3 PHẦN II: SỰ TIÊU TÁN NĂNG LƯỢNG VÀ CƠ SỞ CỦA ĐÁM ĐẶC QUÁNH QUANG HỌC Tự nhiên áp đặt sự bất định cố hữu đối với các quá trình lượng tử. Việc một nguyên tử có thể tự phát phát xạ một photon trong một khoảng thời gian hữu hạn sau khi hấp thụ cho ta kết quả là điều kiện cộng hưởng không được tuân thủ một cách chính xác như trong lí luận trên đây. Tức là, tần số của tia laze L và L có thể có giá trị bất kì mà quá trình hấp thu-phát xạ vẫn xảy ra. Điều này xảy ra với xác suất (lượng tử) khác nhau, và như ta có thể dự đoán, xác suất cực đại được thấy ở điều kiện cộng hưởng chính xác. Tính trung bình, thời gian giữa một quá trình hấp thụ và phát xạ đơn được gọi là thời gian sống của mức năng lượng kích thích của nguyên tử, và được kí hiệu là 1 . Ta hãy xét một tập hợp N nguyên tử đứng yên trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm, và một chùm laser có tần số L đi tới chúng. Các nguyên tử hấp thụ và phát xạ liên tục, sao cho một cách trung bình, có N exc nguyên tử ở trạng thái kích thích (và do đó, có N N exc nguyên tử ở trạng thái cơ bản). Phép tính cơ học lượng tử cho ta kết quả sau: N exc N R 2 0 L 2 2 4 2 R 2 trong đó, 0 là tần số cộng hưởng của chuyển dời trong nguyên tử, và R gọi là tần số Rabi; R 2 tỉ lệ với cường độ của chùm laser. Như đã nói ở trên, em thấy là con số này khác không ngay cả khi tần số cộng hưởng 0 khác với tần số của tia laze L . Một cách khác để biểu thị kết quả trên đây là số các quá trình hấp thụ-phát xạ trong một đơn vị thời gian là N exc . 5 Xét tình huống vật lí vẽ trên Hình 2, trong đó hai chùm tia laze đi trái chiều nhau có cùng một tần số L như nhau, nhưng tuỳ ý . Hai chùm tia này đập vào một chất khí có N nguyên tử chuyển động theo hướng x với vận tốc v . Hình 2. Hai chùm tia laze đi ngược chiều, có tần số L như nhau nhưng tuỳ ý. Chúng đập vào một chất khí gồm N nguyên tử chuyển động theo hướng x với vận tốc v . (trên hình: laser beam là chùm tia laze, gas of atoms là khí gồm các nguyên tử). 7. Lực do các laze tác dụng lên chùm nguyên tử. 7a Với các thông tin thu được cho đến nay, hãy tìm lực mà laze tác dụng lên chùm nguyên tử. Em cần giả thiết rằng qmv . 1.5 8. Giới hạn vận tốc thấp. Bây giờ ta giả thiết vận tốc của các nguyên tử là đủ nhỏ để cho em có thể khai triển lực đến bậc nhất theo v . 8a Hãy tìm biểu thức cho lực thu được ở Câu hỏi (7 a), trong giới hạn này. 1.5 Dùng kết quả này, em có thể tìm được điều kiện làm tăng tốc, làm chậm lại, hoặc không tác động gì cả đến tất cả các nguyên tử do bức xạ laser gây nên. 8b Hãy viết điều kiện để thu được lực dương (tăng tốc các nguyên tử). 0.25 8c Hãy viết điều kiện để thu được lực bằng không. 0.25 8d Hãy viết điều kiện để thu được lực âm (làm chậm các nguyên tử) 0.25 6 8e Bây giờ xét các nguyên tử chuyển động với vận tốc v (theo hướng x ) Hãy viết điều kiện để thu được lực làm chậm các nguyên tử. 0.25 9. Đám đặc quánh quang học . Trong trường hợp lực âm, ta thu được lực ma sát làm tiêu tán năng lượng. Giả thiết lúc đầu, ở 0t , khí gồm các nguyên tử với vận tốc 0 v . 9a Trong giới hạn vận tốc thấp, hãy tìm vận tốc của các nguyên tử sau khi các chùm laser đã được bật trong khoảng thời gian . 1.5 9b Bây giờ ta giả thiết khí các nguyên tử nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động ở nhiệt độ T 0 . Hãy tìm nhiệt độ T sau khi các chùm laze đã được bật trong khoảng thời gian . 0.5 Mô hình này không cho phép em đi đến nhiệt độ thấp tuỳ ý. . ta kết quả sau: N exc N R 2 0 L 2 2 4 2 R 2 trong đó, 0 là tần số cộng hưởng của chuyển dời trong nguyên tử, và R gọi là tần số Rabi; R 2 tỉ lệ với cường độ của chùm. quan sát từ phòng thí nghiệm. 0 .2 2b Hãy viết động lượng của photon được phát xạ, p ph , sau quá trình phát xạ theo hướng x , khi quan sát từ phòng thí nghiệm. 0 .2 3 2c Hãy viết động lượng của nguyên. 1 BÀI TOÁN LÍ THUYẾT 2 SỰ LÀM LẠNH BẰNG LAZE NHỜ HIỆU ỨNG DOPPLER VÀ ĐÁM ĐẶC QUÁNH QUANG HỌC Mục đich của bài toán này là phát triển một lí thuyết đơn