BÀI TOÁN LÍ THUYẾT 3 VÌ SAO CÁC NGÔI SAO LẠI LỚN NHƯ VẬY? Các ngôi sao là những quả cầu khí nóng. Phần lớn chúng phát sáng vì chúng tổng hợp hiđrô thành hêli ở trong lòng các quả cầu. Trong bài toán này, chúng ta dùng các quan điểm của cả cơ học cổ điển và cơ học lượng tử, cũng như của tĩnh điện học và nhiệt động lực học, để hiểu được vì sao các ngôi sao lại phải đủ lớn để thực hiện được quá trình tổng hợp này, và cũng để tìm ra khối lượng và bán kính của ngôi sao nhỏ nhất có thể tổng hợp được hiđrô. 1. Ước tính cổ điển cho nhiệt độ ở tâm các ngôi sao. Giả thiết rằng khí tạo thành ngôi sao là hiđrô tinh khiết đã bị ion hoá (electron và prôtôn có số lượng bằng nhau), và khí này có tính chất giống khí lí tưởng. Theo quan điểm cổ điển, để tổng hợp hai proton, cần làm cho chúng gần nhau đến 15 10 m, để cho lực hạt nhân có cường độ mạnh, nhưng có tầm ngắn, có tác dụng hút, chiếm ưu thế. Tuy nhiên, để lại gần nhau được, trước hết, chúng cần vượt qua được lực đẩy Coulomb. Ta giả thiết một cách cổ điển rằng hai proton (coi như các điện tích điểm) chuyển động ngược chiều nhau, với cùng vận tốc rms v , là vận tốc quân phương, trong va chạm trực diện theo một chiều không gian. Hình 1. Mặt Trời của chúng ta, như phần lớn các ngôi sao, phát sáng nhờ phản ứng nhiệt hạch tổng hợp hiđrô thành hêli ở trong lòng nó. CÁC HẰNG SỐ HỮU ÍCH Hằng số hấp dẫn = 11 107.6 G m 3 kg -1 s 2 Hằng số Boltzmann = 23 104.1 k J K -1 Hằng số Planck = 34 106.6 h m 2 kg s -1 Khối lượng prôtôn = 27 107.1 p m kg Khối lượng êlectron = 31 101.9 e m kg Điện tích nguyên tố = 19 106.1 q C Hằng số điện 12 0 109.8 C 2 N -1 m -2 Bán kính Mặt Trời = 8 100.7 S R m Khối lượng Mặt Trời = 30 100.2 S M kg 1a Nhiệt độ c T của khí phải là bao nhiêu để cho khoảng cách ngắn nhất giữa hai proton, c d , bằng 15 10 m? Hãy viết giá trị này và tất cả các giá trị bằng số khác trong bài toán này với hai chữ số có nghĩa. 1.5 2. Tìm ra rằng nhiệt độ ước tính trên đây là không đúng. Để kiểm tra xem nhiệt độ ước tính trên đây có hợp lí không, ta cần một cách ước tính khác cho nhiệt độ ở tâm các ngôi sao. Cấu trúc của các sao rất phức tạp, nhưng ta có thể hiểu được một cách đáng kể, nếu đưa ra một số giả thiết. Các ngôi sao ở trạng thái cân bằng, tức là chúng không nở ra hoặc co lại, vì lực hấp dẫn kéo vào được cân bằng với lực đẩy ra do áp suất (xem Hình 2). Đối với một lớp khí, phương trình cân bằng thuỷ tĩnh ở khoảng cách r đến tâm ngôi sao được cho bởi 2 r MG r P rr , trong đó P là áp suất của khí, G là hằng số hấp dẫn, r M là khối lượng của ngôi sao bên trong một quả cầu bán kính r , và r là khối lượng riêng của khí trong lớp. Sự ước lượng bậc độ lớn của nhiệt độ ở trung tâm ngôi sao có thể thu được với các giá trị của các tham số ở tâm và ở bề mặt của ngôi sao, bằng cách sử dụng các phép gần đúng sau: co PPP , trong đó c P và o P lần lượt là các áp suất ở tâm và ở trên bề mặt ngôi sao. Vì oc PP , ta có thể giả thiết c PP . Cũng trong phép gần đúng đó, ta có thể viết Rr , trong đó R là bán kính toàn phần của ngôi sao, và MMM Rr , với M là khối lượng toàn phần của ngôi sao. Khối lượng riêng có thể được lấy gần đúng bằng giá trị của nó ở tâm, cr . Hình 2. Các ngôi sao cân bằng thuỷ tĩnh, với sự chênh về áp suất cân bằng với lực hấp dẫn. Em có thể giả thiết rằng áp suất là áp suất của khí lí tưởng. 2a Hãy tìm một phương trình cho nhiệt độ ở tâm ngôi sao, c T , chỉ biểu thị qua bán kính và khối lượng của ngôi sao và các hằng số vật lí. 0.5 Ta có thể dùng các dự đoán dưới đây của mô hình này như một tiêu chí về sự đúng đắn của nó: 2b Dùng phương trình tìm được ở (2a), hãy viết tỉ số RM / mong đợi cho một ngôi sao, chỉ biểu thị qua các hằng số vật lí và c T . 0.5 2c Dùng giá trị của c T rút ra từ mục (1a) và tìm giá trị bằng số của tỉ số RM / mà ta mong đợi cho một ngôi sao. 0.5 2d Bây giờ, hãy tính tỉ số )(/)( SunRSunM , (khối lượng và bán kinh Mặt Trời) và kiểm tra để thấy giá trị này nhỏ hơn nhiều so với giá trị thu được ở (2c). 0.5 3. Ước tính theo cơ học lượng tử cho nhiệt độ ở tâm các ngôi sao. Sự sai lệch lớn thấy được ở (2d) gợi ý rằng sự ước tính c T theo cổ điển, thu được ở (1a) là không đúng. Lời giải cho sự sai lệch này tìm được khi ta xét các hiệu ứng cơ học lượng tử, cho ta biết rằng các proton có tính chất như các sóng và một proton đơn lẻ có kích thước nhoè đi trong khoảng p , là bước sóng Đờ Brơi (de Broglie). Điều đó hàm ý rằng nếu c d , là khoảng cách gần nhất giữa hai proton, vào cỡ p , thì các proton theo nghĩa cơ học lượng tử có thể phủ nhau và tổng hợp với nhau. 3a Giả thiết rằng 2/1 2 p c d là điều kiện cho phép sự tổng hợp xảy ra, thì với một proton có vận tốc rms v , hãy tìm một phương trình cho c T , chỉ biểu thị qua các hằng số vật lí. 1.0 3b Ước tính bằng số giá trị của c T thu được ở (3a). 0.5 3c Dùng giá trị của c T rút ra từ (3b) để tìm giá trị bằng số của tỉ số RM / mong đợi cho một ngôi sao, bằng cách dùng công thức tìm được ở (2b). Kiểm tra rằng giá trị này là rất giống tỉ số )(/)( SunRSunM quan sát được. 0.5 Thật vậy, các ngôi sao mang tên main sequence (chuỗi chính) (tổng hợp hiđrô) tuân theo gần đúng tỉ số này trong một khoảng giá trị khối lượng khá rộng. 4. Tỉ số khối lượng/bán kính của các ngôi sao. Sự phù hợp trên đây gợi ý rằng cách tiếp cận cơ học lượng tử để ước tính nhiệt độ ở tâm Mặt Trời là đúng. 4a Hãy dùng các kết quả trên đây để chứng tỏ rằng với mọi ngôi sao tổng hợp hiđrô, tỉ số giữa khối lượng M và bán kính R là như nhau và chỉ phụ 0.5 thuộc vào các hằng số vật lí. Hãy tìm phương trình cho tỉ số RM / của các ngôi sao tổng hợp hiđrô. 5. Khối lượng và bán kính của ngôi sao bé nhất. Kết quả tìm được ở (4a) gợi ý rằng có thể có các ngôi sao với khối lượng bất kì, miễn là tỉ số đó được thoả mãn; tuy nhiên điều này là không đúng. Khí bên trong các ngôi sao tổng hợp hiđrô thông thường được biết là có tính chất gần như khí lí tưởng. Điều này có nghĩa là e d , khoảng cách điển hình giữa các electron, về trung bình, thì lớn hơn e , bước sóng Đơ Brơi điển hình của chúng. Nếu gần nhau hơn, các electron sẽ nằm trong trạng thái gọi là suy biến và các ngôi sao đã có tính chất khác. Hãy lưu ý đến sự khác nhau giữa cách mà chúng ta xét proton và electron trong lòng ngôi sao. Với proton, các sóng Đờ Brơi của chúng phải phủ nhau một cách chặt chẽ để chúng va chạm và tổng hợp với nhau. Trong khi đó, với electron, các sóng Đờ Brơi của chúng không được phủ nhau để giữ cho khí là khí lí tưởng. Mật độ bên trong các ngôi sao tăng lên khi bán kính giảm đi. Mặc dù vậy, để ước tính bậc độ lớn, ta giả thiết mật độ là đồng nhất. Em có thể sử dụng điều kiện ep mm . 5a Hãy tìm một phương trình cho e n , là mật độ hạt electron bên trong ngôi sao. 0.5 5b Hãy tìm một phương trình cho e d , là khoảng cách điển hình giữa các electron bên trong ngôi sao. 0.5 5c Dùng điều kiện 2/1 2 e e d để viết một phương trình cho bán kính của ngôi sao bình thường bé nhất có thể được. Lấy nhiệt độ ở tâm của ngôi sao làm giá trị điển hình cho toàn bộ phần trong của ngôi sao. 1.5 tz 6. Tổng hợp hạt nhân hêli trong các ngôi sao già. Khi các ngôi sao già đi, chúng đã tổng hợp phần lớn hiđro ở lõi của chúng thành hêli (He), nên chúng buộc phải bắt đầu tổng hợp hêli thành các nguyên tố nặng hơn để tiếp tục phát sáng. Một hạt nhân hêli có hai proton và hai nơtron, nên nó có hai điện tích nguyên tố và có khối lượng gấp gần bốn lần khối lượng proton. Ta đã thấy trên đây rằng 2/1 2 p c d là điều kiện để proton tổng hợp với nhau. 6a Hãy xác định điều kiện tương đương cho các hạt nhân hêli và tìm )(Hev rms , là vận tốc quân phương của hạt nhân hêli, và )(HeT , là nhiệt độ cần thiết để có phản ứng tổng hợp hêli. 0.5 5d Hãy tìm giá trị bằng số của bán kính của ngôi sao bình thường bé nhất có thể được, tính ra met (m) và ra đơn vị là bán kính Mặt Trời. 0.5 5e Hãy tìm giá trị bằng số của khối lượng của ngôi sao bình thường bé nhất có thể được, tính ra kg và ra đơn vị là khối lượng Mặt Trời. 0.5 . = 11 107.6 G m 3 kg -1 s 2 Hằng số Boltzmann = 23 104.1 k J K -1 Hằng số Planck = 34 106.6 h m 2 kg s -1 Khối lượng prôtôn = 27 107.1 p m kg Khối lượng êlectron = 31 101.9 e m kg Điện. BÀI TOÁN LÍ THUYẾT 3 VÌ SAO CÁC NGÔI SAO LẠI LỚN NHƯ VẬY? Các ngôi sao là những quả cầu khí nóng. Phần lớn chúng phát sáng vì chúng tổng hợp hiđrô thành hêli ở trong lòng các quả cầu. Trong bài. nhau. 3a Giả thiết rằng 2/1 2 p c d là điều kiện cho phép sự tổng hợp xảy ra, thì với một proton có vận tốc rms v , hãy tìm một phương trình cho c T , chỉ biểu thị qua các hằng số vật lí. 1.0 3b Ước