Các đờng thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đờng thẳng AC và BM cắt nhau tại K.. Chứng minh đờng thẳng NI là tiếp tuyến của đờng tròn B;BA và NI⊥MO.. Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàn
Trang 1sở giáo dục - đào tạo
Năm học: 2013 - 2014 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:
A = a a a 1
− + (a 0;a 1)≥ ≠
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 - 6x - 7 = 0
b) Giải hệ phương trình: 2x y 1
2(1 x) 3y 7
− =
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 ∀ ∈m R
b) Tìm giá trị của m sao cho (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB Lấy điểm C thuộc (O) (C không trùng với
A, B), M là điểm chính giữa cung nhỏ AC Các đờng thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đờng thẳng AC và BM cắt nhau tại K
a) Chứng minh rằng: ãABM IBM= ã và ABI cân
b) Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp
c) Đờng thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N Chứng minh đờng thẳng NI
là tiếp tuyến của đờng tròn (B;BA) và NI⊥MO
d) Đờng tròn ngoại tiếp BIK cắt đờng tròn (B;BA) tại D (D không trùng với I) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực dơng x, y thỏa mãn y 2x 3 1
+ +
=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = xy – 3y - 2x – 3
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Đề chính thức
Trang 2sở giáo dục - đào tạo
Năm học: 2013 - 2014 Hớng dẫn chấm Môn Toán dự thảo
Câu 1: (1,5 điểm)
a)
A = a a a 1
0,75 đ
b)
= (1 2)(2 2 3) 1 2
0,75 đ
Câu 2: (2,0 điểm)
a)
x2 - 6x - 7 = 0⇔x2 −7x x 7 0+ − = ⇔ x(x 7) (x 7) 0− + − =
(x 7)(x 1) 0
Vậy: S = {7; 1− }
1,0 đ
b)
2(1 x) 3y 7 2 2x 3(2x 1) 7
Vậy: (x; y) = (2; 3)
1,0 đ
Câu 3: (1,5 điểm)
x2 + 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (1)
a)
Có: / = (m – 1)2 – (- 2m – 3) = m2 – 2m + 1 + 2m + 3
= m2 + 4 ≥ 4 > 0 với mọi m ⇒/ > 0 với mọi m
Nên phơng trình đã cho có 2 nghiện phân biệt x1; x2 m R∀ ∈ (Đpcm)
0,75 đ
b)
Theo bài ra, ta có: (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0
⇔16x x1 2 +20x1+20x2 +25 19 0+ =
16x x 20(x x ) 44 0
0,25 đ
Trang 31 2
b
a c
a
+ = − = − − = −
Thay (3) vào (2), ta có:
16( 2m 3) 20(2 2m) 44 0− − + − + =
32m 48 40 40m 44 0
1
2
Vậy với m = 1
2 thì (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0.
0,25 đ
Câu 4: (4,0 điểm) Hình vẽ: 0,25 đ
a) Chứng minh rằng: ãABM IBM= ã và ABI cân
Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC (GT) ⇒AM MCẳ =ẳ
Mà:
1
2 1
2
=
(Định lý góc nội tiếp) ⇒ABM IBMã =ã (Hệ quả
góc nội tiếp)
0,5 đ
Có: M∈(O) và AB là đờng kính ⇒AMB 90ã = 0(Hệ quả góc nội tiếp) 0,5 đ
Trang 4BM AI
⇒ ⊥ tại M
Xét ABI có: BM là đờng cao đồng thời là đờng phân giác
Nên: ABI cân tại B (Dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
b)
Có: C∈(O) và AB là đờng kính ⇒ACB 90ã = 0(Hệ quả góc nội tiếp)
AC BI
⇒ ⊥ tại C ⇒KCI 90ã = 0
Mặt khác: ãKMI 90= 0 (Vì BM⊥AI) ⇒IMK KCI 180ã +ã = 0
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
Vậy MICK là tứ giác nội tiếp (Đpcm)
1,0 đ
c)
Có: ABI cân tại B (cma)
⇒BA = BI mà BA là bán kính của (B;BA) ⇒I∈(B;BA) (1)
Vì AN là tiếp tuyến của (O) (GT) ⇒AN⊥AB tại A⇒ BAN 90ã = 0
Xét ABN và IBN có:
AB = BI ( vì ABI cân tại B)
ABN IBN= (cma) ⇒ABN = IBN (c.g.c)
BN cạnh chung
⇒ NAB NIBã = ã (2 góc t/) mà: ãNAB 90= 0⇒ NIB 90ã = 0⇒ NI⊥IB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: NI là tiếp tuyến của(B;BA) (Đpcm)
0,5 đ
Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC (GT)
⇒ OM⊥AC (Đờng kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì
vuông góc với dây căng cung ấy)
Mà: AC BI⊥ tại C (cmb) ⇒OM//BI ( cùng vuông góc AC)
Mặt khác: NI⊥IB (cmt) ⇒OM⊥NI (Từ ⊥ đến //)
0,5 đ
d)
Có: ãIDA 1IBAã
2
= (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AI của
(B;BA); mà: ãIBN 1IBAã
2
= (vì ãABM IBM= ã ,cma) ⇒IDA IBNã = ã
M à ãIDK IBN=ã (cùng chắn ºIK của đờng tròn ngoại tiếp IKB) ⇒
IDA IDK=
⇒ A, K, D thẳng h ng à ⇒ A, C, D thẳng h ng (Vì A, K, C thà ẳng
h ng)à
0,75 đ
Câu 5: (1,0 điểm)
+ +
=
0,5 đ
Trang 5( ) ( )
y y y (2x 3) 2x 3 2x 3
Có y+ y 2x 3 2x 3+ + + + y+ 2x 3+ với mọi x, y dương
⇒ y− 2x 3+ = 0 ⇔ y = 2x + 3
⇒Q = x(2x + 3) – 3(2x + 3 ) – 2x – 3
= 2x2 + 3x – 6x - 9 – 2x -3
= 2x2 – 5x – 12 = 2 5
2
=
2
2 x
với mọi x > 0
Dấu bằng xảy ra khi x - 5
4 = 0
⇒GTNN của Q = 121 x 5
− ⇔ = và y = 11
2
0,5 đ
Hết
Lu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tơng đơng theo từng phần nh đáp án.