ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức 3 3 3 ( ) (3 2) (1 2 ) (1 )P x x x x= − + − + − thành nhân tử. 2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 4a b c abc+ + + = . Tính giá trị của biểu thức: (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − − Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 4 6 2 2 3 2x x x− + = + + − . 2) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 5 ( ) 6 x y xy x y  + =   − =   . Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện 2 2 4 5 2( )x xy y x y− + = − . 2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 3 4 1+ + + +p p p p là số hữu tỷ. Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 2) Chứng minh AO EF⊥ . 3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x S x y z y z x z x y − + − + − + = + + + + + + + + Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Phân tích 3 3 3 ( ) (3 2) (1 2 ) (1 )= − + − + −P x x x x thành nhân tử 1,00 Đặt 3 3 3 3 2, 1 2 , 1 0= − = − = − ⇒ + + = ⇒ = + +a x b x c x a b c P a b c 0,25 3 3 ( ) 3 ( )= + + − +P a b c ab a b 0,25 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( )   = + + + − + + − +   a b c a b a b c c ab a b 0,25 3 ( ) 3 3(3 2)(1 2 )(1 )= − − = = − − −ab c abc x x x 0,25 I 2 (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − − 1,00 4 4 4 4 4 16 (4 )(4 ) (16 4 4 ) + + + = ⇔ + + + = ⇒ − − = − − + a b c abc a b c abc a b c a b c bc 0,25 (4 4 4 4 4 4 ) (4 4 )= + + + − − + = + +a a b c abc b c bc a a abc bc 0,25 2 (2 ) (2 ) 2= + = + = +a a bc a a bc a abc 0,25 Tương tự (4 )(4 ) 2 , (4 )(4 ) 2− − = + − − = +b c a b abc c a b c abc 2( ) 3 2( ) 8⇒ = + + + − = + + + =A a b c abc abc a b c abc 0,25 II 1 Giải phương trình 2 4 6 2 2 3 2− + = + + −x x x 1,00 ĐK: 2 2 − ≤ ≤ x . Pt ( ) (2 )(2 ) 3 2 2 3 2 0⇔ − + − − + − + =x x x x 0,25 ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 0⇔ − + − − + − =x x x ( ) ( ) 2 3 0 2 3 2 2 0 2 2 0  + − = ⇔ + − − − = ⇔  − − =   x x x x 0,25 Giải pt 2 3 0 7+ − = ⇔ =x x (Loại) 0,25 Giải pt 2 2 0 2− − = ⇔ = −x x (TM). Vậy x = -2 0,25 II 2 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 5 ( ) 6  + =   − =   x y xy x y 1,00 Hệ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 5 5 ( )( ) 6 ( )( ) 6  − + + =  + =  ⇔ ⇔   − + = − + =    x xy y xy x y xy x y x y x xy y xy Đặt 2 2 ,= − = +a x xy b y xy ta được hệ 5 6 + =   =  a b ab 0,25 Giải hệ pt này ta được 2 2 2 2 2, 3 2, 3 3, 2 3, 2  = = − = + =  ⇒   = = − = + =   a b x xy y xy a b x xy y xy 0,25 TH 1. 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 5 2 0 3  − =  ⇒ − = + ⇔ − − =  + =   x xy x xy y xy x xy y y xy 0,25 2 2 2 1 1, 2 1 1 3 3 , 2 2 2  = ⇒ = ⇒ = ± = ±   = − ⇒ = ⇒ = ± =   m x y y y x y x x x y TH 2. 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 5 3 0 2  − =  ⇒ − = + ⇔ − − =  + =   x xy x xy y xy x xy y y xy 2 2 1 1 3 3 , 2 2 2 2 1 1, 2  = ⇒ = ⇒ = ± = ±   = − ⇒ = ⇒ = ± =  m x y y y x y x x x y Vậy hệ pt có tám nghiệm là 1 3 1 3 3 1 3 1 (2;1), ( 2; 1), ; , ; , (1; 2), ( 1;2), ; , ; 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − −         − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷         0,25 III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2 2 4 5 2( )− + = −x xy y x y 1,00 Pt 2 2 2(1 2 ) 5 2 0⇔ − + + + =x y x y y Tồn tại x 2 2 ' (1 2 ) (5 2 ) 0⇔ ∆ = + − + ≥y y y 0,25 2 2 2 1 0 ( 1) 2 1 2 1 2 1 2⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +y y y y y 0,25 Do y là số nguyên nên 0, 1, 2= = =y y y 0,25 2 2 2 0 2 0 0, 2 1 6 7 3 2 2 10 24 0 4, 6 = ⇒ − = ⇔ = = = ⇒ − + ⇔ = ± = ⇒ − + = ⇔ = = y x x x x y x x x y x x x x Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (0;0), (2;0), (4;2), (6;2) 0,25 III 2 Tìm các số nguyên tố p sao cho 2 3 4 1+ + + +p p p p là số hữu tỷ 1,00 2 3 4 1+ + + +p p p p là số hữu tỷ 2 3 4 2 1 ,⇔ + + + + = ∈¥p p p p n n 0,25 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 (1) 4 4 4 4 4 4 4 4 5 (2 ) (2 ) (2 2) 2 2 2 2 ⇔ + + + + = ⇒ + + < < + + + + + ⇔ + < < + + ⇔ + < < + + p p p p n p p p n p p p p p p p n p p p p n p p 0,25 2 2 2 1⇒ = + +n p p . Thế vào (1) ta được 2 3 4 2 2 2 4 4 4 4 4 (2 1) 2 3 0+ + + + = + + ⇔ − − =p p p p p p p p 0,25 Giải pt tìm được 1= −p (loại) và 3=p Với 2 3 4 3 1 11= ⇒ + + + + =p p p p p . Vậy 3=p 0,25 IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 1,00 Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra · · HDE HCE⇒ = 0,25 Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra · · HDF HBF⇒ = 0,25 Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra · · · · HCE HBF HDE HDF⇒ = ⇒ = Suy ra DH là tia phân giác của góc · EDF 0,25 Tương tự EH là tia phân giác của góc · DEF . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 0,25 IV 2 Chứng minh AO EF⊥ 1,00 Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra · · AFE AHE⇒ = Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra · · AHE DCE⇒ = 0,25 · · DCE xAB= (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung) 0,25 Suy ra · · AFE xAB Ax // EF= ⇒ 0,25 AO ⊥ xAy ⇒ AO ⊥ EF 0,25 IV 3 Chứng minh AO EF⊥ 1,00 AO ⊥ EF ⇒ S AEOF = 1 AO.EF 2 0,25 Tương tự BDOF CDOE 1 1 BO DF S BO.DF, CO DE S CO.DE 2 2 ⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ = 0,25 ABC AEOF BDOF CDOE 1 S = S + S S (AO.EF BO.DF+CO.DE) 2 1 = R(EF DF+DE) 2 ⇒ + = + + 0,25 Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất ⇔ ABC S lớn nhất ⇔ khoảng cách từ A đến BC lớn nhất ⇔ A là điểm chính giữa của cung lớn BC. 0,25 V Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + − + − + = + + + + + + + + x xy y y yz z z zx x S x y z y z x z x y 1,00 Ta có 2 2 2 2 2 1 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 − + = + + − ≥ + = +x xy y x y x y x y x y 0,25 Tương tự suy ra 2 2 2 2 + + + ≥ + + + + + + + + x y y z z x S x y z y z x z x y 0,25 Đặt 2 , 2 , 2 , , 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = + + + − + − + − ⇒ + = + = + = + − + − + − ⇒ ≥ + + a x y z b y z x a z x y b c a c a b a b c x y y z z x b c a c a b a b c S a b c 0,25 4 3 2 2 2 3 3       ⇒ ≥ + + + + + − ≥ + + − =  ÷  ÷  ÷       b a c a c b S a b a c b c Do đó 3 4 ≥S . Đẳng thức xảy ra = =x y z . Vậy GTNN của S là 3 4 0,25 H F E D H F E D O O B C A B C A X Y Hình vẽ câu a Hình vẽ câu b Chú ý. Học sinh có cách giải khác với cách giải nêu trong đáp án nhưng đúng giáo viên vẫn cho đủ số điểm tương ứng. . của giám thị 2: ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Câu Ý Nội. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0. x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x S x y z y z x z x y − + − + − + = + + + + + + + + Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ