đề thi vào lớp 10 môn toán thành phố hà nội năm 2015-2016

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/g

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Năm học 2014 – 2015

Môn thi: Toán Ngày thi: 11 tháng 6 năm 2015 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức 3

2

x P x





 và

4 2

Q

x x



 với x > 0;x4

1) Tính giá trị biểu thức P khi x = 9;

2) Rút gọn biểu thức Q;

3) Tìm giá trị của x để biểu thức P

Q đạt giá trị nhỏ nhất

Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ Tính vận tốc của tàu tuần tra khi dòng nước yên lặng,biết thời gian xuôi dòng ít hơn ngược dòng là 1 giờ

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình 2( ) 1 4

x y x

x y x





2) Cho phương trình: x2

– (m + 5)x + 3m + 6 = 0 ( x là ẩn số);

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m;

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5

Bài IV (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng OA (C khác A; C khác O) Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất kỳ trên cung KB ( M khác K; M khác B) Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM;

BM lần lượt tại H và D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N

1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh CA.CB = CH.CD

3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH

4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài V (0,5 điểm)

Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2 + b2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

ab

M

a b



 

-Hết -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh Số báo danh:

Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Năm học 2015 – 2016

Môn thi: Toán Ngày thi: 11 tháng 6 năm 2015 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức 3

2

x P x





 và

4 2

Q

x x



 với x > 0;x4

1) Tính giá trị biểu thức P khi x = 9;

2) Rút gọn biểu thức Q;

3) Tìm giá trị của x để biểu thức P

Q đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 1.1

(0,5 điểm)

- Với x = 9 thỏa mãn điều kiện x > 0;x 4 thì x  9  3

- Thay x = 9 và x  9  3 vào P khi đó 9 3 12 12

3 2 1

P 



- Vậy với x = 9 thì P = 12

0,25 0,25

Bài 1.2

(1,5 điểm)

- Với x > 0;x 4 ta có:

4 2

Q

x x





= …=

2

x

x

- Với x > 0;x 4thì Q =

2

x

x

0, 25

0, 25

0, 25

0, 25

Bài 1.3

(0,5 điểm)

- Với x > 0;x 4 ta có:

0, 25

= x 3 2 3

x

Lập luận theo BĐT Cosi…

- Kết luận

0, 25

Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ Tính vận tốc của tàu tuần tra khi dòng nước yên lặng,biết thời gian xuôi dòng ít hơn ngược dòng là 1 giờ

Bài 2

(2,0 điểm)

- Gọi vận tốc tàu khi nước yên lặng là x km/h; x>2 0,25

- Khi đó:

+)Vận tốc xuôi dòng là x + 2 km/h nên thời gian xuôi dòng là: 48

2

x (giờ) +) Vận tốc ngược dòng là x – 2 km/h thời gian ngược dòng là 60

2

x (giờ)

0,25

0,25

Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là

1 giờ nên ta có phương trình: 48

2

x +1 =

60 2

+ Giải phương trình tìm được x = 22 và x = -10 0,5

Vì x>2 nên x= 22 thỏa mãn điều kiện của ẩn, x = -10 không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 22 km/h 0,25

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình 2( ) 1 4

x y x

x y x





2) Cho phương trình: x2

– (m + 5)x + 3m + 6 = 0 ( x là ẩn số);

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m;

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5

Bài 3.1

(1,0 điểm)

Giải hệ phương trình : 2( ) 1 4(1)

( ) 3 1 5(2)

x y x

x y x





Cách 1: nhân cả hai vế pt (2) với 2 ta được:

2( ) 1 4(1) 2( ) 6 1 10(2)

x y x

x y x





- Trừ từng vế của (1) cho (2) để tìm được x = 3

- Thay x = 3 vào (1) tìm được y = - 2

- Kết luận:

0,25 0,25 0,25 0,25

Cách 2: Đặt x y u; x  1 v đk v 0 (*)

ta được hệ pt: 2 4

u v

 



   

- Giải hệ pt trên ta được: u = 1 và v = 2

- Thay vào (*) để tìm được x = 3 và y = -2

- Kết luận

0,25

0,25 0,25 0,25

Bài 3.2

(1,0 điểm)

a) - Xét phương trình x2 – (m + 5)x + 3m + 6 = 0 (1) ( x là ẩn số);

(m 1)

0, 25

- Lập luận và kết luận pt luôn có nghiệm với mọi số thực m 0, 25

b) – Với mọi số thực m khác 1 thì pt (1) có 2 nghiệm x1 và x2, theo Vi-et ta có: 1 2

1 2

5





- Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác, khi đó pt (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:

2

1 2

( 1) 0

2 3 6 0

m

x x m



- Khi đó 2 nghiệm x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5 Theo định lý Pitago ta có:

x x   x x  x x 

Suy ra: (m + 5)2 – 2(3m+6) = 25

- Giải pt tìm được m = 2 ( nhận); m = - 6 (loại)

- Kết luận

0, 25

0, 25

Bài IV (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng OA (C khác A; C khác O) Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất kỳ trên cung KB ( M khác K; M khác B) Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM;

BM lần lượt tại H và D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N

1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh CA.CB = CH.CD

3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH

4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Hình vẽ:

P

Q

H K

O

B D

M N

J

0,25

1

(0,75

điểm)

1 Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếp

- Chứng minh góc AMD = 900 và góc ACD = 900

- Lập luận để kết luận tứ giác ACMD nội tiếp

0,25 0,5

2

(1 điểm)

2 Chứng minh CA.CB = CH.CD

- Chứng minh CAH BDC (cùng phụ với góc ABD ) 0,25

- Chứng minh tam giác ACH đồng dạng với tam giác DCB 0,25

3

(1,0 điểm)

3 Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH

*/ Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng

- Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABD nên suy ra BHAD

- Góc ANB = 900 ( lí do….) hay BNAN

- Lập luận và kết luận

0,25 0,25

*/ Tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH

- Giả sử tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn cắt DH tại J, ta chứng minh

JD = JH

- Chứng minh +) góc DNJ = góc ONB ( cùng phụ góc JNB); góc ONB = góc OBN ( do tam ONB cân tại O) suy ra góc DNJ = góc ABN

+) góc ABN = góc NDJ (cùng phụ với góc DAB) Suy ra góc NDJ = góc DNJ suy ra tam giác NDJ cân tại J hay JN=JD(*)

- Chứng minh tam giác NJH cân tại J suy ra JN=JH(2*)

- Từ (*) và (2*) ta có JD = JH suy ra J là trung điểm của HD

0,25 0,25

4

(0,5 điểm)

4 Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Giả sử MN cắt BA tại I; cắt OJ tại P

- Chứng minh JOMNP

- Chứng minh tam giác OPI đồng dạng với tam giác OCJ suy ra OC.OI = OP.JO

0,25

- Chứng minh OP.OJ = OM2 hay OC.OI = OP.OJ = R2 hay OC.OI không thay đổi khi M di động trên cung KB

0,25

Bài V (0,5 điểm)

Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a 2 + b2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

ab M

a b



 

điểm)

(0,5 điểm)

Cách 1:Ta có:

(a b) ( ) (a b) 4

M

a b

 

Mà (a b )2 2(a2b2)   a b 2(a2b2) ( lí do ….) Dấu “=” sảy ra khi a = b = 2

Suy ra

2 1

Vậy giá trị lớn nhất của M = 2 1  khi a = b = 2

0,25

0,25

Cách 2: Với hai số thực dương không âm a, b thỏa a2b2  4 ta có:

a b a  ab b  a b  ab  ab

Suy ra  2

4 2

ab   ab (do 4 2  ab 0; ,a b 0 ) Hay a b  4 2  ab  a b 4 2  ab

Khi đó, biểu thức M được viết lại thành:

M

    (1) Mặc khác: 4 2  ab  4 4 2  ab  4  2

2ab 4 2ab 2 4 2ab 2

Từ (1) và (2) ta có: 4 2 2

M

ab ab

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm a, b ta được:

4 2

a b

ab   

4 2ab 2 4 2.2 2 2 2 2

2 2 2

2 1 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 0 2

4

a b

a b

 



  

  



Vậy GTLN của biểu thức M là 2 1  khi a b 2

0,25

0,25

Lưu ý - Điểm toàn bài không được làm tròn

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng

- Với bài 4, nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm