Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 1 Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Môn: Toán; ĐỀ SỐ 33/50 Ngày thi : 29/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x + 5 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc ϕ thoả mãn tan ϕ = 15 . Câu 2 (1,0 điểm). a) Chứng minh rằng sin18 0 = −1+ 5 4 . b) Trong các số phức z thoả mãn z 3 = 1 . Tìm số phức z có phần ảo lớn nhất. Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình x − 4 log 3 x + 2x = log 3 x −15 11− x . Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 3 + 2x 2 > 2x x 2 + 3 + 3 1 + 1 + 3x 4 . Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = sin 2 x + cos x + 1 + 2sin x cos x + 1 dx 0 π 2 ∫ . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = a 3,SA = SB = SC = BC = 2a . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BC. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x − 2y − 4 = 0 . Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC,AI với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết D (2;2), E(−1;−4) và đỉnh B có hoành độ âm. Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : x −1 1 = y − 1 −2 = z − 1 2 và mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z − 1 = 0 . Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). Câu 9 (0,5 điểm). Một lớp học có 48 học sinh trong đó có 2 bạn Nam và Khánh, công việc trực nhật hàng ngày trên lớp được phân công cho mỗi cặp 2 học sinh thực hiện. Tính xác suất để Nam và Khánh không thực hiện công việc trực nhật cùng nhau, biết rằng công việc trực nhật được phân công theo tháng với 24 ngày học chính trên lớp và trong một tháng học mỗi học sinh chỉ thực hiện công việc trực nhật một lần. Câu 10 (1,0 điểm). Cho x,y,z là các số thực thoả mãn xy + yz + zx > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + xy + y 2 4 + 3(y 2 + yz + z 2 ) 3 − 2 2(xy + yz + zx) 4 . HẾT Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 2 PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x + 5 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc ϕ thoả mãn tan ϕ = 15 . 1. Học sinh tự giải. 2. Do tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc ϕ thoả mãn tan ϕ = 15 , nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 15 . Gọi tiếp điểm có hoành độ x 0 . +) Ta có: k = y'(x 0 ) = 3x 0 2 + 6x 0 − 9 = 15 ⇔ x 0 2 + 2x 0 − 8 = 0 ⇔ x 0 = −4 x 0 = 2 ⎡ ⎣ ⎢ . Ta có 2 tiếp điểm (−4;25),(2;7) . +) Với (−4;25) ⇒ y = 15(x + 4) + 25 hay y = 15x + 85 . +) Với (2;7) ⇒ y = 15(x − 2) + 7 hay y = 15x − 23 . Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn y = 15x + 85; y = 15x − 23 . Câu 2 (1,0 điểm). a) Chứng minh rằng sin18 0 = −1+ 5 4 . b) Trong các số phức z thoả mãn z 3 = 1 . Tìm số phức z có phần ảo lớn nhất. a) Ta có: cos 36 0 = 1− 2sin 2 18 0 ,sin 54 0 = 3sin18 0 − 4 sin 3 18 0 . Mặt khác: cos 36 0 = sin 54 0 ⇒ 1 − 2sin 2 18 0 = 3sin18 0 − 4 sin 3 18 0 . Đặt t = sin18 0 ,(0 < t < 1) ⇒ 1 − 2t 2 = 3t − 4t 3 ⇔ 4t 3 − 2t 2 − 3t + 1 = 0 . ⇔ (t −1)(4t 2 + 2t −1) = 0 ⇔ t = 1(l) t = −1+ 5 4 (t / m) t = −1− 5 4 (l) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ . Vậy sin18 0 = −1+ 5 4 (đpcm). b) Ta có: z 3 −1 = 0 ⇔ (z − 1)(z 2 + z + 1) = 0 ⇔ z = 1 z = −1− 3i 2 z = −1+ 3i 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ . Vậy số phức cần tìm có phẩn ảo lớn nhất là z = −1 + 3i 2 . Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình x − 4 log 3 x + 2x = log 3 x −15 11− x . Điều kiện: 0 < x ≠ 11 . Phương trình tương đương với: log 3 2 x + (2x − 15)log 3 x + x 2 − 15x + 44 = 0 . Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 3 Đặt t = log 3 x ⇒ t 2 + (2x −15)t + x 2 − 15x + 44 = 0 , ta có: Δ t = (2x −15) 2 − 4(x 2 − 15x + 44) = 49 ⇒ t = 15 − 2x − 7 2 = 4 − x ∨ t = 15 − 2x + 7 2 = 11− x . Vì vậy phương trình tương đương với: log 3 x + x − 4 = 0 log 3 x + x −11 = 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⇔ x = 3 x = 9 ⎡ ⎣ ⎢ . Chú ý. Vế trái mỗi phương trình là hàm đồng biến. Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 3 + 2x 2 > 2x x 2 + 3 + 3 1 + 1 + 3x 4 . Nếu x ≤ 0 ⇒ VP ≤ 3 1 + 1 + 3x 4 ≤ 3 2 < 3 ≤ VT , bất phương trình luôn đúng. Xét x > 0 , khi đó bất phương trình tương đương với: 3 + 2x 2 − 2x x 2 + 3 > 3 1+ 1+ 3x 4 ⇔ ( x 2 + 3 − x) 2 > 3 1+ 1+ 3x 4 ⇔ x 2 + 3 − x x 2 + 3 + x > 1 1+ 1+ 3x 4 ⇔ ( x 2 + 3 − x)(1 + 1 + 3x 4 ) > x 2 + 3 + x ⇔ (x 2 + 3)(1+ 3x 4 ) > 2x + x 1+ 3x 4 ⇔ (x 2 + 3)(1+ 3x 4 ) > 4x 2 + 4x 2 1+ 3x 4 + x 2 (1+ 3x 4 ) ⇔ 9x 4 − 4x 2 + 3− 4 x 2 1+ 3x 4 > 0 ⇔ (2 1+ 3x 4 − x 2 ) 2 − (2x 2 +1) 2 > 0 ⇔ 2 1+ 3x 4 − 3x 2 − 1 ( ) 2 1+ 3x 4 + x 2 +1 ( ) > 0 ⇔ 2 1+ 3x 4 > 3x 2 +1 ⇔ 4(1+ 3x 4 ) > (3x 2 +1) 2 ⇔ 3(x 2 − 1) 2 > 0 ⇔ x ≠ ±1 . Kết hợp với điều kiện x > 0 ⇒ x ≠ 1 . Kết hợp 2 trường hợp ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = !\ 1 { } . Vậy tập nghiệm bất phương trình S = !\ 1 { } . Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = sin 2 x + cos x + 1 + 2sin x cos x + 1 dx 0 π 2 ∫ . Ta có: I = 2sin x cos x + cos x + 1+ 2sin x cos x + 1 dx 0 π 2 ∫ = (cos x + 1)(2 sin x +1) cos x + 1 dx 0 π 2 ∫ = (2sin x + 1)dx 0 π 2 ∫ = (−2 cos x + x) π 2 0 = 2 + π 2 . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = a 3,SA = SB = SC = BC = 2a . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BC. Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 4 Theo giả thiết BC 2 = AB 2 + AC 2 = 4a 2 ⇒ ΔABC vuông tại A. Mặt khác SA = SB = SC ⇒ S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy gọi H là trung điểm BC thì SH ⊥ (ABC) . Tam giác SBC đều cạnh bằng 2a nên SH = SB.sin 60 0 = 2a. 3 2 = a 3 . Vì vậy V S.ABC = 1 3 SH .S ABC = 1 3 .a 3. 1 2 .a.a 3 = a 3 2 (đvtt). +) Dựng hình bình hành ACBD, ta có BC//AD suy ra BC//(SAD) do đó: d(BC;SA) = d(BC;(SAD)) = d(H ;(SAD) (1) . Kẻ HI vuông góc với AD tại I, kẻ HK vuông góc với SI tại K ta có HK ⊥ (SAD) ⇒ HK = d(H;(SAD)) (2) . +) Ta có HI = d(A; BC) = 2S ABC BC = a 2 3 2a = a 3 2 . Tam giác vuông SHI có: 1 HK 2 = 1 HI 2 + 1 SH 2 = 4 3a 2 + 1 3a 2 = 5 3a 2 ⇒ HK = a 15 5 (3) . Từ (),(2),(3) suy ra d(BC;SA) = a 15 5 . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x − 2y − 4 = 0 . Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC,AI với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết D (2;2), E(−1;−4) và đỉnh B có hoành độ âm. +) Gọi M là trung điểm BC, ta chứng minh D, M,E thẳng hàng. Tứ giác ADEB, BEIM nội tiếp đường tròn. Do đó DEB ! = 180 0 − BAD ! (1) . Mặt khác: BEM ! = BIM ! (cung chan BM " ) (2) . Lại có: BIM ! = 1 2 BIC ! = BAD ! (3) . Từ (1),(2),(3) ta có: DEB ! + BEM ! = 180 0 ⇒ D,E, M thẳng hàng. Phương trình đường thẳng DE là 2x − y − 2 = 0 . Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ x − 2y − 4 = 0 2x − y − 2 = 0 ⎧ ⎨ ⎩ ⇔ x = 0 y = −2 ⎧ ⎨ ⎩ ⇒ M (0;−2) . +) Gọi B(2b+4;b) thuộc BC, do M là trung điểm BC nên C(-2b-4;-4-b). Đường thẳng IM đi qua M và vuông góc BC nên có phương trình 2x + y + 2 = 0 . Gọi I(a;-2a-2) thuộc IM, ta có: I (a;−2a − 2), B(2b + 4;b),C(−2b − 4;−4 − b),⇒ IE ! "! = (−1− a;2a − 2), BE ! "!! = (−2b − 5;−4 − b), CD ! "!! = (2b + 6;b + 6), BD ! "!! = (−2b − 2;2 − b) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ . Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 5 IE ⊥ BE CD ⊥ BD ⎧ ⎨ ⎩ ⇔ IE ! "! .BE ! "!! = 0 CD ! "!! .BD ! "!! = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇔ (−1− a )(−2b − 5) + (2a − 2)(−4 − b) = 0 (2b + 6)(−2b − 2) + (b + 6)(2 − b) = 0 ⎧ ⎨ ⎩ ⇔ 5b 2 + 20b = 0 (−1− a )(−2b − 5) + (2a − 2)(−4 − b) = 0 ⎧ ⎨ ⎩ ⇔ b = 0(l) b = −4 (t / m) ⎡ ⎣ ⎢ (−1− a )(−2b − 5) + (2a − 2)(−4 − b) = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇔ b = −4 3(−1− a) = 0 ⎧ ⎨ ⎩ ⇔ a = −1 b = −4 ⎧ ⎨ ⎩ . Vì vậy B(-4;-4) và C(4;0), I(-1;0). Đường thẳng AI đi qua I,E có phương trình x +1 = 0 . Đường thẳng AC đi qua C,D có phương trình x + y − 4 = 0 . Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ x +1 = 0 x + y − 4 = 0 ⎧ ⎨ ⎩ ⇒ A(−1;5) . Vậy toạ độ các đỉnh cần tìm A(-1;5), B(-4;-4), C(4;0). Bình luận: Ngoài tính chất trên ta còn có tam giác IEM cân tại I. Bài tập tương tự - Bài số 01. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm I. Điểm M(2;- 1) là trung điểm cạnh BC và điểm E( 6 5 ;− 8 5 ) là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AI. Xác định toạ độ các đỉnh tam giác ABC biết phương trình đường thẳng AC là 3x + 2 y − 13 = 0 . Bài số 02. Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : x −1 1 = y − 1 −2 = z − 1 2 và mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z − 1 = 0 . Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). +) Toạ độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: x −1 1 = y −1 −2 = z − 1 2 2x + y − 2z −1 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇔ x = 1 y = 1 z = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ A(1;1;1) . +) Lấy điểm B(2;-1;3) thuộc đường thẳng d, gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P). Khi đó đường thẳng Δ chính là đường thẳng đi qua hai điểm A,H. +) Đường thẳng BH đi qua B và nhận vtpt của (P) làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình x = 2 + 2t y = −1+ t z = 3− 2t ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ H(2 + 2t;−1+ t; 3 − 2t) . Thay toạ độ của H vào pt của (P) ta được: 2(2 + 2t) + (−1+ t ) − 2(3− 2t ) − 1 = 0 ⇔ 9t − 4 = 0 ⇔ t = 4 9 . Suy ra: H ( 26 9 ;− 5 9 ; 19 9 ) ⇒ AH ! "!! = ( 17 9 ;− 14 9 ; 10 9 ) / / 1 9 (17;−14;10) . Do đó đường thẳng Δ : x −1 17 = y − 1 −14 = z − 1 10 . Câu 9 (0,5 điểm). Một lớp học có 48 học sinh trong đó có 2 bạn Nam và Khánh, công việc trực nhật hàng ngày trên lớp được phân công cho mỗi cặp 2 học sinh thực hiện. Tính xác suất để Nam và Khánh không thực hiện công việc trực nhật cùng nhau, biết rằng công việc trực nhật được phân công theo Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 6 tháng với 24 ngày học chính trên lớp và trong một tháng học mỗi học sinh chỉ thực hiện công việc trực nhật một lần. Một tháng với 24 ngày học chính trên lớp và trong một tháng học mỗi học sinh chỉ thực hiện công việc trực nhật một lần, nên 48 học sinh sẽ được chia thành 24 cặp khác nhau mỗi cặp 2 học sinh để thực hiện trực nhật. Không gian mẫu là số cách chia 48 học sinh thành 24 cặp học sinh khác nhau mỗi cặp 2 học sinh có Ω = C 48 24 .1.24! . Gọi A là biến cố Nam và Khánh không thực hiện công việc trực nhật cùng nhau. Để tìm số kết quả thuận lợi cho A, ta tìm số kết quả thuận lợi của A tức là chia 48 học sinh thành 24 cặp trong đó có một cặp là Nam và Khánh. +) Đầu tiên để Nam và Khánh thành 1 cặp đầu tiên có 1 cách. +) Chia 46 học sinh còn lại thành 23 cặp có C 23 46 .1.23! . Vậy Ω A = 1.C 46 23 .1.23! . Xác suất cần tính P(A) = 1− P(A) = 1− Ω A Ω = 1− 1.C 46 23 .1.23! C 48 24 .1.24! = 1− 1 94 = 93 94 . Câu 10 (1,0 điểm). Cho x,y,z là các số thực thoả mãn xy + yz + zx > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + xy + y 2 4 + 3(y 2 + yz + z 2 ) 3 − 2 2(xy + yz + zx) 4 . Sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có: x 2 + xy + y 2 4 + 3(y 2 + yz + z 2 ) 3 ≥ 2 3(x 2 + xy + y 2 )(y 2 + yz + z 2 ) 12 (1) . +) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz ta có: (x 2 + xy + y 2 )(y 2 + yz + z 2 ) = (y + x 2 ) 2 + ( 3 2 x) 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ . ( 3 2 z) 2 + (y + z 2 ) 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ≥ 3 2 z(y + x 2 ) + 3 2 x(y + z 2 ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 = 3 4 (xy + yz + zx) 2 (2) . Từ (1),(2) ta có: P ≥ 2 xy + yz + zx 8 − 2 2(xy + yz + zx) 4 = 2 xy + yz + zx 8 4 −1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 − 2 ≥ −2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy + yz + zx = 8 x 2 + xy + y 2 4 = 3(y 2 + yz + z 2 ) 3 y + x 2 3 2 z = 3 2 x y + z 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = − 20 31 , y = − 4 31 , z = − 7 31 x = 20 31 , y = 4 31 , z = 7 31 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -2. Bình luận: Bài toán này ta chú ý bất đẳng thức: (x 2 + xy + y 2 )(y 2 + yz + z 2 ) ≥ 3 4 (xy + yz + zx) 2 . . Mathlinks.vn 1 Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Môn: Toán; ĐỀ SỐ 33/50 Ngày thi : 29/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá. học sinh thành 24 cặp trong đó có một cặp là Nam và Khánh. +) Đầu tiên để Nam và Khánh thành 1 cặp đầu tiên có 1 cách. +) Chia 46 học sinh còn lại thành 23 cặp có C 23 46 .1.23! . Vậy Ω A =. có 48 học sinh trong đó có 2 bạn Nam và Khánh, công việc trực nhật hàng ngày trên lớp được phân công cho mỗi cặp 2 học sinh thực hiện. Tính xác suất để Nam và Khánh không thực hiện công việc