Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 1! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)*7\]*) V1US)#4%)().+\*^\.*^]) L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K) e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)) Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số! y = x 4 − 2x 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x 4 − 2x 2 = m có!bốn! nghiệm!phân!biệt.!! 2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.! Bh=).)i^c*)>%d6jF) a) Giải!phương!trình! log 2 (x 2 + 6x +1)− log 2 x 2 +1 = 3 2 + log 2 (x +1) .! b) Giải!phương!trình! sin 2x − π 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ cos2x = 2 2 cos x + π 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!! Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân! I = x 2 −7x + 6 dx 0 4 ∫ .! Bh=)k)i^c*)>%d6jF) a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z −1− i.z = 1 !và! z 2 − 3 là!số!thuần!ảo.!!! b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển! x n − nx 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n = a 0 + a 1 x + + a n 2 x n 2 .!Tìm!số!hạng! chứa! x 20 trong!khai!triển,!biết! 4a n 2 −2n+2 + a n 2 −3n+6 = 0 .! Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,! AB = 2a,AD = a .!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!vuông!góc! với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 60 0 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD! và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!! Bh=)-)i^c*)>%d6jF!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và! mặt!phẳng! (P ) : x + y + z −7 = 0 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều! hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!! Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên! cạnh!AB!thoả!mãn! 7BF = 5FA ,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm! G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là! 11x −7 y + 6 = 0 .!Biết! F − 13 6 ; 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !và!đỉnh!B!có!tung!độ! âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD.! Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình! (x − y + 2xy )( y − x )x 2 = 1 2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .! Bh=)+)i^c*)>%d6j.!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = (a + b) 3 (2(a + b)(a 2 + b 2 ) 3 + (b + c ) 3 2(b + c )(b 2 + c 2 ) 3 + (c + a) 3 2(c + a)(c 2 + a 2 ) 3 −16. ab + bc + ca ab + bc + ca +1 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 2! lll!mLlll) PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT L4E&1)>%d6)#<n&1)o&1)94")#p&1)3)&4q() Bh=)^()H4J"):I#)^c*)>%d6X)Lr6)6)*c])>%d6X)^F.()*c])>%d6) Bh=).().F^)GU).F.)6s%)3)*c])>%d6) Bh=)k()E)GU)`)6s%)3)*c])>%d6) Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số! y = x 4 − 2x 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x 4 − 2x 2 = m có!bốn! nghiệm!phân!biệt.!! 2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.! 1. Bước!khảo!sát!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!học!sinh!tự!làm.! +)!Phương!trình!tương!đương!với: m +1 = x 4 − 2x 2 +1 .! Vậy!số!nghiệm!của!phương!trình!là!số!giao!điểm!của!đường! thẳng! y = m +1 với!đồ!thị!hàm!số!(1).! Dựa!vào!đồ!thị!hàm!số!suy!ra!để!phương!trình!có!3!nghiệm!phân! biệt!khi!và!chỉ!khi! 0 < m +1 <1 ⇔ −1< m < 0 .!!!! ! ! 2. Giả!sử!tiếp!điểm! M (m;m 4 − 2m 2 +1) .! Phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tại!M!là! y = 4(m 3 − m)(x − m) + m 4 − 2m 2 +1 .! Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):! ! x 4 − 2x 2 +1 = 4(m 3 − m)(x −m) + m 4 − 2m 2 +1 ⇔ (x −m) 2 (x 2 + 2mx + 3m 2 − 2) = 0 ⇔ x = m x 2 + 2mx + 3m 2 − 2 = 0 (2) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Để!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!nghiệm!khép!khác!m.! ⇔ Δ' = m 2 −(3m 2 − 2) = 0 −m ≠ m ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ m = −1 m =1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Từ!đó!suy!ra!có!một!tiếp!tuyến!duy!nhất!thoả!mãn!bài!toán!là! d : y = 0 .!!!! Bh=).)i^c*)>%d6jF) a) Giải!phương!trình! log 2 (x 2 + 6x +1)− log 2 x 2 +1 = 3 2 + log 2 (x +1) .! b) Giải!phương!trình! sin 2x − π 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ cos2x = 2 2 cos x + π 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!! 1. Điều!kiện:! x +1 > 0 x 2 + 6x +1 > 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x > 2 2 − 3 .! Phương!trình!tương!đương!với:!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 3! log 2 x 2 + 6x +1 x 2 +1 = log 2 2 2(x +1) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⇔ x 2 + 6x +1 x 2 +1 = 2 2(x +1) ⇔ 2 2(x 2 +1)(x +1) = x 2 + 6x +1 ⇔ 2 2(x 2 +1)(x +1) = 3(x +1) 2 −2(x 2 +1) ⇔ 3. x +1 x 2 +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 −2 2. x +1 x 2 +1 −2 = 0 .! Đặt! t = x +1 x 2 +1 > 0 phương!trình!trở!thành:! ! 3t 2 − 2 2t −2 = 0 ⇔ t = 2(t / m) t = − 2 3 (l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Vậy! x +1 x 2 +1 = 2 ⇔ (x +1) 2 = 2(x 2 +1) ⇔ (x −1) 2 = 0 ⇔ x = 1 .! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x = 1 .! B4b)3F!Phát!hiện!tính!đẳng!cấp!của!phương!trình!vô!tỷ.!!!!! 2. !Phương!trình!tương!đương!với:! sin 2x − π 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (cos 2 x −sin 2 x ) = 2(cosx −sin x ) ⇔ (cosx −sin x ) 2−(cosx + sin x )sin 2x − π 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⇔ (cosx −sin x ) 2 −sin x + π 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .sin 2x − π 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⇔ cos x −sin x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π 4 + kπ,k ∈ ! .! Bởi!vì! 2 −sin x + π 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .sin 2x − π 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ≥ 2 − sin x + π 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .sin 2x − π 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ≥ 2 −1 > 0 .! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!! x = π 4 + kπ,k ∈ ! .!! Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân! I = x 2 −7x + 6 dx 0 4 ∫ .! Ta!có:!! ! I = (x 2 −7x + 6)dx 0 1 ∫ − (x 2 −7x + 6)dx 1 4 ∫ = x 3 3 − 7x 2 2 + 6x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 0 − x 3 3 − 7x 2 2 + 6x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 4 1 = 17 6 + 27 2 = 49 3 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 4! Vậy! I = 49 3 .!! Bh=)k)i^c*)>%d6jF) a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z −1− i.z = 1 !và! z 2 − 3 là!số!thuần!ảo.!!! b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển! x n − nx 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n = a 0 + a 1 x + + a n 2 x n 2 .!Tìm!số!hạng! chứa! x 20 trong!khai!triển,!biết! 4a n 2 −2n+2 + a n 2 −3n+6 = 0 .! a) Giả!sử! z = x + y.i(x, y ∈ !) !theo!giải!thiết!ta!có:! x + yi −1−(x − yi).i = 1 ⇔ (x − y −1) + ( y − x )i = 1 ⇔ (x − y −1) 2 + ( y − x) 2 = 1 ⇔ 2(x − y) 2 − 2(x − y) = 0 ⇔ x = y x − y =1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! +)!Ta!có! z 2 − 3 = (x + yi) 2 − 3 = x 2 − y 2 − 3+ 2xy.i .! Vì! z 2 − 3 là!số!thuần!ảo!nên! x 2 − y 2 − 3 = 0;2xy ≠ 0 .! Vì!vậy!ta!có!hệ! x 2 − y 2 −3 = 0 x = y x − y−1 = 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 y = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ z = 2 + i .! Vậy!số!phức!cần!tìm!là! z = 2 + i .!!!!!!!! b)!Cho!khai!triển! x n − nx 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n = a 0 + a 1 x + + a n 2 x n 2 (n > 2) .!Tìm!số!hạng!chứa! x 20 trong!khai! triển,!biết! 4a n 2 −2n+2 + a n 2 −3n+6 = 0 .! Ta!có! x n − nx 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n = (−1) k . n k 2 k C n k x n(n−k )+2k k=0 n ∑ .! Suy!ra! a n 2 −2n+2 = n 2 4 C n 2 = n 3 (n −1) 8 ;a n 2 −3n+6 = − n 3 8 C n 3 = − n 4 (n −1)(n − 2) 48 .! Vì!vậy!theo!giả!thiết!ta!có:! ! 4. n 3 (n −1) 8 − n 4 (n −1)(n − 2) 48 = 0 ⇔ n(n − 2) − 24 = 0 ⇔ n = 6(t / m) n = −4(l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Vậy!số!hạng!cần!tìm!là! (−1) 4 . 6 4 2 4 C 6 4 x 20 = 19200x 20 .! Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,! AB = 2a,AD = a .!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!góc!với!mặt! đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 60 0 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và! khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! "! ! #$%!&!'(!)%*+!,% !/0*!12!3(!456!789!:*!&!'(!;:$<)!;=.! ;*.!)%>/!1?4!3(! SH ⊥ (ABCD) @! A*!/B! CH = 2 3 AC = 2 3 4a 2 + a 2 = 2a 5 3 @! SH = CH .tan60 0 = 2a 5 3 . 3 = 2a 15 3 @! CD!3E9! V S .ABCD = 1 3 SH .AB.AD = 1 3 . 2a 15 3 .2a.a = 4a 3 15 9 @!!!!! #$%!F!'(!;:8<)!,% !246!/B!152F!'(!GD<G!HD<G!G(<G@! CD!3E9!25II1F!789!:*!25IIJK1FL@! CD!3E9! d (CM ;SA) = d (CM ;(SAN )) = d(C;(SAN )) = 3d (H ;(SAN )) @! MN!&M!38O<)!)B/!3P%!1F!;Q%!M6!RN!&A!38O<)!)B/!3P%!KM!;Q%!A!789!:*! HT ⊥ (SAN ) @! A*.!)%>/!21F!/B! AN = AD 2 + DN 2 = a 2 @! CD!3E9! !! HK = 1 3 d C; AN ( ) = 2S ACN 3AN = S ABCD 6AN = 2a 2 6.a 2 = a 2 6 @!!!!! A*.!)%>/!38O<)!K&M!/B! ! 1 HT 2 = 1 SH 2 + 1 HK 2 = 3 20a 2 + 18 a 2 ⇒ HT = 2a 15 33 @! CD!3E9! d (CM ;SA) = 3HT = 2a 15 11 @!!! BH=)-)IJK*)>%L6MF!A:+<)!RGO<)!)%*<!3P%!;:S/!;+Q!,T!UV9W!/G+!G*%!,% !1JXYXYZL6!?J[Y\YZL!3(! .];!^G_<)! (P ) : x + y + z −7 = 0 @!C%`;!^Gab<)!;:D<G!,ac<)!;G_<)!d!<e.!;:+<)!JfL!3(!/>/G!,g8! G*%!,% !16?@!AD.!;+Q!,T!,% !5!;:h<!d!,-!;*.!)%>/!51?!/B!d%i<!;j/G!<Gk!<Gl;@!! #%m!7n! C (a;b;7−a −b) ∈ (P ) '(!.T;!,% !;G8T/!d@! CD! CA = CB ⇔ (a −3) 2 + (b − 3) 2 + (6− a −b) 2 = a 2 + (b − 2) 2 + (6− a −b) 2 @! ! ⇔ b = 7− 3a ⇒ C (a;7− 3a;2a) @! CD!3E9!,ac<)!;G_<)!d!/B!^Gab<)!;:D<G! d : x = t y = 7−3t z = 2t ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ,t ∈ ! @! #$%! M (t;7− 3t;2t ) '(!,% !/o<!;D.@! A*!/B! AM ! "!!! = (t −3;4− 3t;2t −1),BM ! "!! = (t;5−3t;2t −1) @! K89!:*! AM ! "!!! ,BM ! "!! ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = (1− 2t;6t −3;10t −15) @! MG%!,B! S ABC = 1 2 AM ! "!!! ,BM ! "!! ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 5(28t 2 −68t + 47) 2 = 140 t − 17 14 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + 200 7 2 ≥ 5 14 7 @! 4l8!He<)!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG% t = 17 14 ⇒ M 17 14 ; 47 14 ; 17 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ @! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! q! CE9!,% !/o<!;D.!'(! M 17 14 ; 47 14 ; 17 7 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ @!! BH=),)IJK*)>%L6MF!A:+<)!.];!^G_<)!;+Q!,T!UV9!/G+!GD<G!38O<)!1?24@!#$%!r!'(!,% !;:h<! /Q<G!1?!;G+m!.s<! 7BF = 5FA 6!,ac<)!;G_<)!,%!t8*!;:8<)!,% !u!/0*!/Q<G!14!3(!;:$<)!;=.! #!/0*!;*.!)%>/!1?2!/B!^Gab<)!;:D<G!'(! 11x −7 y + 6 = 0 @!?%`;! F − 13 6 ; 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !3(!,p<G!?!/B!;8<)!,T! =.@!AD.!;+Q!,T!/>/!,p<G!GD<G!38O<)!1?24@! ! #$%!*!'(!,T!d(%!/Q<G!GD<G!38O<)!1?24@! A*!/B!! GE ! "!! = BE ! "!! − BG ! "!! = 1 2 (BA ! "! + BD ! "!! )− 1 3 BD ! "!! = 3BA ! "! + BD ! "!! 6 ; GF ! "!! = BF ! "!! − BG ! "!! = 5 12 BA ! "! − 1 3 BD ! "!! = 5BA ! "! − 4BD ! "!! 12 @! K89!:*! 72GE ! "!! .GF ! "!! = (3BA ! "! + BD ! "!! )(5BA ! "! − 4BD ! "!! ) = 15BA 2 −7BA.BD − 4BD 2 = 15a 2 −7a 2 − 8a 2 = 0 @!!! CD!3E9!#r!38O<)!)B/!3P%!#u@! A+Q!,T!,% !#!'(!GD<G!/G%`8!/0*!r!;:h<!#u!;G+m!.s<!Gi! 11x −7y + 6 = 0 7 x + 13 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ +11 y − 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = − 1 3 y = 1 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒G − 1 3 ; 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ @! A*.!)%>/!?r#!/B! ! GF 2 = BF 2 + BG 2 − 2BF .BG cos45 0 ⇔ 11 2 + 7 2 36 = 25 144 a 2 + 2a 2 9 − 2. 5a 12 . a 3 ⇔ a = 2 10 @! #$%!?J*YHL!;*!/B! ! FB 2 = 25 144 a 2 = 125 18 BG 2 = 2a 2 9 = 80 9 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ a + 13 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + b − 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 125 18 a + 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + b − 1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 80 9 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ a = −3,b = −1 a = − 13 51 ,b = 169 51 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ @! vw%!/G%`8!3P%!,%g8!R%i<!789!:*! B(−3;−1),BF ! "!! = 5 12 BA ! "! ⇒ A(−1;5) @! #$%!x!'(!;=.!GD<G!38O<)!/B! BI ! "! = 3 2 BG ! "!! ⇒ I (1;1) @!4+!x!'(!;:8<)!,% !12!<h<! C (3;−3) @! C(! AD ! "!! = BC ! "!! ⇒ D(5;3) @!!!!!! CE9!;+Q!,T!Hw<!,% !/o<!;D.!'(!1JyZY"L6!?JyXYyZL6!2JXYyXL!3(!4J"YXL@!! B4N)3F!2B!;G-!/Gz<)!.%<G!#u!38O<)!)B/!#r!He<)!^^!;:S/!;:+<)!;:S/!G+]/!7n!dS<)!,{<G!|}! f%;*)+!JV~.!;Gh.!3%d~+!'c%!)%m%L@! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! •! BH=)O)IJK*)>%L6MF!#%m%!Gi!^Gab<)!;:D<G! (x − y + 2xy )( y − x )x 2 = 1 2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ @! v%g8!R%i<€! y ≥ x ≥ 0;2xy + ( y −2x)(x + 2xy − 4) ≥ 0 @!!! FGE<!;Gl9! x = 0 RGO<)!;G+m!.s<!Gi!^Gab<)!;:D<G@! •‚;!3P%! x > 0 3%`;!'Q%!^Gab<)!;:D<G!daP%!dQ<)€! 2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) −2x + y − x − x ⇔ 2xy −4x 2 + ( y −2x)(x + 2xy − 4) 2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + 2x + y −2x y − x + x = 0 ⇔ (y −2x) 3x + 2xy −4 2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + 2x + 1 y − x + x ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 ⇔ y = 2x @! ?ƒ%!3D!;„!^Gab<)!;:D<G!;Gz!<Gl;!/0*!Gi!;*!/B€! x − y + 2xy = 1 ( y − x )x 2 ⇔ 3x + 2xy = 1 ( y − x )x 2 + ( y − x) + x + x ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + x @! Kn!dS<)!Hl;!,_<)!;Gz/!15!…#5!;*!/B€! ! 1 ( y − x )x 2 + ( y − x) + x + x ≥ 2 1 ( y − x )x 2 .( y − x) + 2 x ≥ 4 1 ( y − x )x 2 .y.x 2 4 = 4 @! K89!:*! 3x + 2xy −4 ≥ x ≥ 0 @!CD!3E9! 3x + 2xy − 4 2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + 2x + 1 y − x + x > 0 @!!!! !CP%! y = 2x !;G*9!3(+!^Gab<)!;:D<G!;Gz!<Gl;!/0*!Gi!;*!,a†/€! ! x 4 = 1 ⇔ x = 1, y = 2(t / m) x = −1, y = −2(l/) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ @! CE9!Gi!^Gab<)!;:D<G!/B!<)G%i.!d89!<Gl;! (x; y) = (1;2) @!!! BH=)+)IJK*)>%L6M@!2G+!*6H6/!'(!/>/!7w!;G‡/!dab<)@!AD.!)%>!;:{!<Gk!<Gl;!/0*!H%-8!;Gz/! P = (a + b) 3 (2(a + b)(a 2 + b 2 ) 3 + (b + c ) 3 2(b + c )(b 2 + c 2 ) 3 + (c + a) 3 2(c + a)(c 2 + a 2 ) 3 −16. ab + bc + ca ab + bc + ca +1 @! A*!/Gz<)!.%<G€! (a + b) 3 (2(a + b)(a 2 + b 2 ) 3 ≥ 4ab @!AGE;!3E9!Hl;!,_<)!;Gz/!;ab<)!,ab<)!3P%€! ! (a + b) 9 ≥128(a + b)(a 2 + b 2 )a 3 b 3 ⇔ (a + b) 8 ≥128a 3 b 3 (a 2 + b 2 ) @! Kn!dS<)!Hl;!,_<)!;Gz/!15!…#5!;*!/B€! (a + b) 4 = (a 2 + b 2 + 2ab) 2 ≥ 8ab(a 2 + b 2 ) @! K89!:*! (a + b) 8 ≥ 64a 2 b 2 (a 2 + b 2 ) 2 ≥ 64a 2 b 2 (a 2 + b 2 ).2ab =128a 3 b 3 (a 2 + b 2 ) @! ?l;!,_<)!;Gz/!,ˆ<)6!,_<)!;Gz/!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG%! a = b @! Aab<)!;‡!;*!/B€! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! ‰! ! (b + c ) 3 2(b + c )(b 2 + c 2 ) 3 ≥ 4bc; (c + a) 3 2(c + a)(c 2 + a 2 ) 3 ≥ 4ca @! A„!,B!789!:*€! P ≥ 4(ab + bc + ca)−16 ab + bc + ca ab + bc + ca +1 @!!! v];! t = ab + bc + ca > 0;P ≥ f (t ) = 4t − 16t t +1 @! A*!/B! f '(t) = 4− 16 (t +1) 2 ; f '(t) = 0 ⇔ t = 1(t > 0) @! A*!/B!Š‹J;L!,Œ%!do8!;„!=.!7*<)!dab<)!RG%!,%!t8*!;•Z!<h<!,Q;!/‡/!;%-8!;Q%!;•Z@! A„!,B!789!:*! P ≥ f (t ) ≥ f (1) = −4 @!!!! v_<)!;Gz/!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG%! a = b = c ab + bc + ca =1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ a = b = c = 1 3 @! CE9!)%>!;:{!<Gk!<Gl;!/0*!f!He<)!yŽ@! B4N)3F!4+!7+!3P%!H*!^G=<!;Gz/!,o8!/B!^G=<!;Gz/!/8w%!'(!RG>/!<Gl;!3D!3E9!}!;aƒ<)!'(!,><G!)%>! ;GO<)!t8>!J*H•H/•/*L@!!! ! ! !! ! !! !! . Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 1! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)*7]*) V1US)#4%)().+*^.*^]) L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K) e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-). + a) 3 2(c + a)(c 2 + a 2 ) 3 −16. ab + bc + ca ab + bc + ca +1 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 2! lll!mLlll) PHÂN. 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x > 2 2 − 3 .! Phương!trình!tương!đương!với:!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 3!