Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!1! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)*.\]*) V1US)#4%)().]\*^\.*^]) L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K) e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)) Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số! y = 2x 3 − 3x 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Gọi!A,B!là!2!điểm!cực!trị!của!(1).!Chứng! minh!rằng!tam!giác!AOB!vuông!cân!(với!O!là!gốc!toạ!độ).! 2. Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!điểm!có!hoành!độ! x 1 > 0 !và!cắt!(1)!tại! điểm!có!hoành!độ! x 2 thoả!mãn! 2x 1 x 2 = −1 .! Bh=).)i^c*)>%d6jF)Giải!các!phương!trình!! 1. log 2 (x 2 −1)− log 2 (x +1) 2 = 1 2 log 2 (x − 2) 2 .) 2. 2(1+ sin x)+ 3 cot x = 0 .) Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân! I = sin3x 1+ cos x dx 0 π 2 ∫ .! Bh=)k)i^c*)>%d6jF!! 1. Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (1+ i ).z + i.z −1−3i = 0 .!Viết! z 3 !dưới!dạng!lượng!giác.! 2. Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = − 1 4 x 2 + ln(x +1) trên![0;2].! Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABC!có AB = a,AC = a 3,BC = 2a,SA = SB = SC !và!tam!giác! SBC!vuông.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BC.!!!!! Bh=)-i^c*)>%d6jF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng! (P ) : x + y− z +1= 0 và! đường!thẳng! d : x − 2 1 = y − 1 −1 = z −1 −3 .!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của!d!và!(P).!Viết!phương!trình! đường!thẳng!d’!vuông!góc!với!(P)!và!cắt!d!tại!H!sao!cho! IH = 7 3 9 .d (H ;(P )) .!!!!) Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!phân! giác! trong! góc! A! là! y − 3 = 0 .! Gọi! M (1;4),N (3;1) lần! lượt! là! các! điểm!thuộc! các!đường! thẳng! AB,AC.!Tìm!toạ!độ!các!điểm!B,C!biết!trọng!tâm!tam!giác!ABC!là!điểm! G 11 3 ; 8 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!!!!! Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình! x (3− y) + y − 2x = 1 x 2 −( x − 2y)x = 5− 2y + 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .! Bh=)+)i^c*)>%d6jF!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn! a,b,c ∈ 0;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ;a + b + c = 3 .!Tìm!giá!trị!nhỏ! nhất!của!biểu!thức! P = 2 11−a 2 − b 2 − c 2 − a 3 + b 3 + c 3 ab + bc + ca + 5 .! lll!mLlll) ) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!2! HƯỚ NG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN – BÌNH LUẬN L4E&1)>%d6)#<n&1)o&1()) Bh=)^()^F^i^c])>%d6jX)^F.)i*c])>%d6j) Bh=).().F^)GU).F.)6p%)3)*c])>%d6) Bh=)k()kF^X)kF.)6p%)3)i*c])>%d6j) Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số! y = 2x 3 − 3x 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Gọi!A,B!là!2!điểm!cực!trị!của!(1).!Chứng! minh!rằng!tam!giác!AOB!vuông!cân!(với!O!là!gốc!toạ!độ).! 2. Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!điểm!có!hoành!độ! x 1 > 0 !và!cắt!(1)!tại! điểm!có!hoành!độ! x 2 thoả!mãn! x 1 x 2 = −1/ 2 .! 1. Bước!khảo!sát!vẽ!đồ!thị!học!sinh!tự!làm.! +!Hai!điểm!cực!trị!của!hàm!số!là! A(0;1),B(1;0) ⇒ A ∈ Oy,B ∈ Ox ⇒ OA ⊥ OB,OA = OB = 1 .! Vậy!tam!giác!AOB!vuông!cân!tại!O!(đpcm).! 2. Phương!trình!đường!thẳng!d!là!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!điểm! x 1 .! Suy!ra! d : y = 6(x 1 2 − x 1 )(x − x 1 ) + 2x 1 3 − 3x 1 2 +1 .! Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):! ! 6(x 1 2 − x 1 )(x − x 1 ) + 2x 1 3 −3x 1 2 +1 = 2x 3 −3x 2 +1 ⇔ 2(x 3 − x 1 3 )−3(x 2 − x 1 2 )−6(x 1 2 − x 1 )(x − x 1 )= 0 ⇔ (x − x 1 )(2x 2 + (2x 1 −3)x − 4x 1 2 + 3x 1 ) = 0 ⇔ (x − x 1 ) 2 (2x + 4x 1 −3) = 0 ⇔ x = x 1 x = 3−4x 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Ta!phải!có! x 2 = 3− 4x 1 2 ;x 1 ≠ x 2 ⇔ x 1 ≠ 1 2 .! Theo!giả!thiết!ta!có:! ! x 1 . 3−4x 1 2 = − 1 2 ⇔ 4x 1 2 −3x 1 −1 = 0 ⇔ x 1 = 1(t / m) x 1 = − 1 4 (l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Suy!ra!tiếp!điểm!M(1;0)!và!có!đường!thẳng!d!cần!tìm!là!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!suy!ra!d: y = 0 .!!!! Bh=).)i^c*)>%d6jF)Giải!các!phương!trình!! 1. log 2 (x 2 −1)− log 2 (x +1) 2 = 1 2 log 2 (x − 2) 2 .) 2. 2(1+ sin x)+ 3 cot x = 0 .) 1. Điều!kiện:! x 2 −1 > 0 x +1 ≠ 0 x −2 ≠ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ 1 < x ≠ 2 x < −1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Phương!trình!tương!đương!với:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!3! log 2 (x 2 −1)− log 2 (x +1) 2 = 1 2 log 2 (x −2) 2 ⇔ log 2 x 2 −1 (x +1) 2 = log 2 x −2 ⇔ log 2 x −1 x +1 = log 2 x −2 ⇔ x −1 x +1 = x −2 ⇔ x > 2 x −1 x +1 = x −2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x < 2 x −1 x +1 = −x + 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ x = − 3 x = 3 x =1+ 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là! x = − 3;x = 3; x =1+ 2 .!! 2. Điều!kiện:! sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ,k ∈ ! .! Phương!trình!tương!đương!với:! ! 2(1+ sin x ) + 3. cos x sin x = 0 ⇔ 2sin x (1+ sin x) = − 3 cos x ⇒ 4sin 2 x(1+ sin x ) 2 = 3cos 2 x = 3(1−sin 2 x ) ⇔ (sin x +1)(2sin x −1)(2sin 2 x + 3sin x +3) = 0 ⇔ sin x = −1 sin x = 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ x = − π 2 + k2π x = π 6 + k2π x = 5π 6 + k2π ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Thử!lại!chỉ!nhận!nghiệm! x = − π 2 + k2π; x = 5π 6 + k2π .!! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là! x = − π 2 + k2π; x = 5π 6 + k2π,k ∈ ! .!! B4b)3F!Có!thể!đưa!về!pt!với!tan(x/2)!như!sau:! ! 4sin x 2 cos x 2 sin x 2 + cos x 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + 3 cos 2 x 2 −sin 2 x 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⇔ 4tan x 2 tan x 2 +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + 3 1+ tan 2 x 2 −tan 2 x 2 (1+ tan 2 x 2 ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⇔ tan x 2 = −1;tan x 2 = 2+ 3 ⇔ x = − π 2 + k2π; x = 5π 6 + k2π,k ∈ ! .!! V4;&)qr#F!Phương!trình!lượng!giác!hình!thức!khá!đơn!giản!nhưng!đòi!hỏi!kỹ!năng!xử!lý!nhất! định.!Trong!trường!hợp!phương!trình!chỉ!có!sinx,!cosx!mà!không!phân!tích!được!thành!nhân! tử!có!thể!bình!phương!hai!vế!để!đưa!về!phương!trình!đa!thức!một!ẩn!(của!sinx!hoặc!của!cosx).! Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân! I = sin3x 1+ cos x dx 0 π 2 ∫ .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!4! Ta!có!:! I = 3sin x −4sin 3 x 1+ cos x dx 0 π 2 ∫ = sin x (3−4sin 2 x ) 1+ cos x dx 0 π 2 ∫ = sin x (4 cos 2 x −1) 1+ cos x dx 0 π 2 ∫ .! Đặt! !! t = cos x ⇒ dt = − sin xdx !và!khi!đó! ! !! I = 4t 2 −1 t + 1 dt 0 1 ∫ = 4(t 2 −1)+ 3 t + 1 dt 0 1 ∫ = 4(t −1)+ 3 t + 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ dt 0 1 ∫ = 2t 2 − 4t + 3ln t + 1 ( ) 1 0 = −2 + 3ln 2 .!!! Bh=)k)i^c*)>%d6jF!! 1. Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (1+ i ).z + i.z −1−3i = 0 .!Viết! z 3 !dưới!dạng!lượng!giác.! 2. Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = − 1 4 x 2 + ln(x +1) trên![0;2].! 1.!Giả!sử! z = x + y.i(x, y ∈ !) theo!giả!thiết!ta!có:! ! (1+ i)(x + yi) + i.(x − yi)−1−3i = 0 ⇔ x −1+ (2x + y− 3)i = 0 ⇔ x −1= 0 2x + y −3 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x =1 y = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ z = 1+ i .! Vì!vậy! z 3 = (1+ i ) 3 = −2+ 2i = 2 2 − 1 2 + 1 2 i ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 2 cos 3π 4 + i sin 3π 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!! 2.!Ta!có:! y ' = − x 2 + 1 x +1 ; y ' = 0 ⇔ 2− x(x +1) = 0 ⇔ x =1∈ 0;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ x = −2 ∉ 0;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ .! Tính!được:! y(0) = 0; y(1) = ln2− 1 4 ; y(2) = ln3−1 .! Vì!vậy! y max = y(1) = ln2− 1 4 ; y min = y(0) = 0 .! Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABC!có AB = a,AC = a 3,BC = 2a,SA = SB = SC !và!tam!giác! SBC!vuông.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BC.!!!!! ! Ta!có! AB 2 + AC 2 = BC 2 = 4a 2 nên!tam!giác!ABC!vuông!tại! A.! Mặt!khác!do! SA = SB = SC nên!S!nằm!trên!đường!thẳng! đi!qua!tâm!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!và!vuông! góc!với!mặt!đáy!(ABC).! Gọi!H!là!trung!điểm!cạnh!BC,!thì!H!là!tâm!đường!tròn! ngoại!tiếp!tam!giác!ABC.!Suy!ra! SH ⊥ (ABC ) .! Tam!giác!SBC!vuông!nên! SH = BC 2 = a .! Vì!vậy! V S .ABC = 1 3 SH .S ABC = 1 3 .a. 1 2 a.a. 3 = a 3 3 6 (đvtt).!!!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!5! Kẻ!Ax!song!song!với!BC!và!kẻ!HK!vuông!góc!với!Ax!tại!K;!kẻ!HT!vuông!góc!với!SK!tại!T!dễ!có! HT ⊥ (SAK ) !.!Kẻ!AI!vuông!góc!với!BC!tại!I.!Ta!có! HK = AI = AB.AC BC = a.a 3 2a = a 3 2 .! Chú!ý.! BC //Ax ⇒ d(BC;SA) = d (BC;(SAK )) = d (H ;(SAK )) = HT .! Tam!giác!vuông!SHK!có! 1 HT 2 = 1 HK 2 + 1 SH 2 = 4 3a 2 + 1 a 2 ⇒ HT = a 21 7 .! Vì!vậy! d (BC;SA) = a 21 7 .!!!! Bh=) -) i^c*) >%d6jF) Trong! không! gian! với! trục! toạ! độ! Oxyz! cho! mặt! phẳng! (P ) : x + y− z +1= 0 và!đường!thẳng! d : x − 2 1 = y − 1 −1 = z −1 −3 .!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của!d!và! (P).! Viết! phương! trình! đường! thẳng! d’! vuông! góc! với! (P)! và! cắt! d! tại! H! sao! cho! IH = 7 3 9 .d (H ;(P )) .!!!!) Toạ!độ!điểm!I!là!nghiệm!của!hệ:! x + y − z +1 = 0 x −2 1 = y −1 −1 = z −1 −3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x + y − z +1 = 0 −(x − 2)− ( y −1) = 0 −3(x −2)− (z −1) = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x =1 y = 2 z = 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .! Vậy!I(1;2;4).! Chuyển!d!về!dạng!tham!số! d : x = 2+ t y = 1− t z = 1−3t ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ H (2 + t;1−t;1−3t) .! Ta!có!! d (H ;(P )) = (2+ t ) + (1− t ) − (1−3t) +1 1 2 +1 2 + (−1) 2 = 3t + 3 3 ; IH = (t +1) 2 + (t +1) 2 + (3t + 3) 2 = 11t 2 + 22t +11 .! Theo!giả!thiết!ta!có:! ! 3t + 3 3 . 7 3 9 = 11t 2 + 22t +11 ⇔ 49(t +1) 2 = 9(11t 2 + 22t +11) ⇔ t = −1⇒ H (1;2;4) .!! Đường!thẳng!cần!tìm!đi!qua!H!và!nhận!véc!tơ!pháp!tuyến! n ! = (1;1;−1) !của!(P)!làm!vtcp.! Vậy!đường!thẳng!cần!tìm! d ' : x −1 1 = y − 2 1 = y − 4 −1 .!! Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!phân! giác! trong! góc! A! là! y − 3 = 0 .! Gọi! M (1;4),N (3;1) lần! lượt! là! các! điểm!thuộc! các!đường! thẳng! AB,AC.!Tìm!toạ!độ!các!điểm!B,C!biết!trọng!tâm!tam!giác!ABC!là!điểm! G 11 3 ; 8 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!!!!! Gọi!M’,N’!lần!lượt!là!các!điểm!đối!xứng!của!M,N!qua!phân!giác!trong!góc!A.!Ta!có!M’!thu ộc! AC,!N’!thuộc!AB.! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!6! Dễ!tìm!được! M '(1;2),N '(3;5) .!! Đường!thẳng!AB!đi!qua!M,N’!có!phương!trình!là! x − 2 y +7 = 0 .! Đường!thẳng!AC!đi!qua!điểm!N,M’!có!phương!trình!là! x + 2 y − 5 = 0 .! Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình! x −2y +7 = 0 x + 2y −5 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = −1 y = 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ A(−1;3) .! Gọi! B(2b −7;b) ∈ AB,C (−2c + 5;c ) ∈ AC .! Do!G!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC!nên:! −1+ (2b −7) + (−2c + 5) =11 3+ b + c = 8 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ b + c = 5 b − c = 7 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ b = 6 c = −1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ B(5;6) C (7;−1) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ .! Vậy!toạ!độ!điểm!cần!tìm!là! B(5;6),C (7;−1) .!! V4;&)qr#(! Đề! bài! thầy!chỉ! yêu! cầu! các! em! cần! vận! dụng! tính! chất! đối! xứng! của! điểm! qua! đường!phân!giác!trong!của!tam!giác.!! Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình! x (3− y) + y − 2x = 1 x 2 −( x − 2y)x = 5− 2y + 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .! Điều!kiện:! x ≥ 0; y ≤ 5 2 .!! Nhân!thêm!2!vào!phương!trình!đầu!của!hệ!rồi!cộng!theo!vế!với!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta! được:!! ! x 2 −( x −2y)x −4x + 6 x −5− 2 x y + 2y − 5−2y = 0 ⇔ (x + 2y −5)(x − x +1)+ x − 5−2y = 0 ⇔ (x + 2y −5) x − x +1+ 1 x + 5− 2y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⇔ x = 5− 2y do x − x +1+ 1 x + 5− 2y > 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .! Thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!! ! 2. 5− x 2 1− x ( ) −4x +6 x = 2 ⇔ (x +1) x = 5x −3 ⇔ x ≥ 3 5 x (x +1) 2 = (5x −3) 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x =1 x =11+ 4 7 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ .! Vậy!hệ!phương!trình!có!2!nghiệm!là! (x; y) = (1;2); 11+ 4 7;−3− 2 7 ( ) .!! BI94).(!Phương!trình!đầu!của!hệ!ta!có: ( x −1)(2 x + y −1) = 0 ⇔ x =1 y = 1− 2 x ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ .!! +)!Với! !! x = 1 ⇒ y = 2 .!! +)!Với! !! y = 1 − 2 x !thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!và!đặt!t=căn(x)!ta!được:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!7! t 4 −5t 3 + 2t 2 −3 = 4t +3 ⇔ (t 4 −5t 3 + 2t 2 −t −3) + (t − 4t +3) = 0 ⇔ t 2 −4t −3 ( ) (t 2 −t +1) + t 2 −4t −3 t + 4t +3 = 0 ⇔ t 2 −4t −3 ( ) t 2 −t +1+ 1 t + 4t +3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⇔ t = 2+ 7(t > 0) . sU%)#;@)#<n&1)#t) Giải!hệ!phương!trình! 2y(x − x +1)− 4x + 6 x = 6 x 2 − x x = 5−2y −1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .!Đ/s:!(x;y)=(1;2).! Bh=)+)i^c*)>%d6jF!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn! a,b,c ∈ 0;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ;a + b + c = 3 .!Tìm!giá!trị!nhỏ! nhất!của!biểu!thức! P = 2 11−a 2 − b 2 − c 2 − a 3 + b 3 + c 3 ab + bc + ca + 5 .! Vì!ba!biến!đối!xứng!nên!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử! a = max a,b,c { } ⇒ a ∈ 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .! Khi!đó!!! a 3 + b 3 + c 3 ≤ a 3 + (b + c) 3 = a 3 + (3− a) 3 = 9(a − 2)(a −1)+ 9 ≤ 9 ;! và! 11−a 2 − b 2 − c 2 = 11− (a + b + c ) 2 + 2(ab +bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1) .! Suy!ra! P ≥ 1 ab + bc + ca +1 − 9 ab + bc + ca + 5 .! Đặt! t = ab + bc + ca .!Ta!có! P ≥ f (t ) = 1 t +1 − 9 t + 5 .! Ta!có! f '(t) = 9 (t + 5) 2 − 1 (t +1) 2 = 8t 2 + 8t −16 (t +1) 2 (t + 5) 2 > 0 .! Bởi!vì! t = ab + bc + ca = 9−a 2 −b 2 − c 2 2 ≥ 9−a 2 −(b + c ) 2 2 = 3a − a 2 = (a − 2)(1−a)+ 2 ≥ 0 .! Vì!vậy!f(t)!đồng!biến!trên![2;3]!suy!ra! f (t ) ≥ f (2) = − 20 21 .! Đẳng!thức!xảy!ra!khi! a = 2;b = 1;c = 0 hoặc!các!hoán!vị.! Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!“20/21.! B4b)3F!Nút!thắt!của!bài!toán!là!đánh!giá! a 3 + b 3 + c 3 ≤ 9;ab + bc + ca ≥ 2 .!Nhiều!học!sinh!mắc!sai! lầm!khi!chỉ!ra!f(t)!đạt!min!tại!t=1.!Bởi!vì!khi!đó!dấu!bằng!không!xảy!ra.! Ta!có!thể!chỉ!ra! !! (2 − a )(2 − b)(2 − c) ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca = 4 + abc 2 ≥ 2 .!!! Ngoài!ra!bằng!cách!tương!tự!chứng!minh!được!các!bất!đẳng!thức!khác:! ab + bc + ca ≥ 2;a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 ;! a 4 + b 4 + c 4 ≤17 .! sU%)#;@)#<n&1)#t) Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn! a,b,c ∈ 0;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ,a + b + c = 3 .!! 1) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = 2 11−a 2 − b 2 − c 2 + ab + bc + ca a 3 + b 3 + c 3 .!!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!8! 2) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca .! 3) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = 2(18−a 4 − b 4 − c 4 ) 11−a 2 − b 2 − c 2 − a 3 + b 3 + c 3 ab + bc + ca + 7 .!!! 4) Cho!a,b,c! là! các! số!thực!thoả!mãn! a,b,c ∈ 0;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ;a + b + c = 3 .!Tìm!giá! trị! nhỏ!nhất!của!biểu! thức! P = 2 11−a 2 − b 2 − c 2 − a 3 + b 3 + c 3 ab + bc + ca + 7 .! ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Lời!giải:! Không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử! a = max a,b,c { } ⇒ a ∈ 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .! Khi!đó!!! ! a 3 + b 3 + c 3 ≤ a 3 + (b + c) 3 = a 3 + (3− a) 3 = 9(a − 2)(a −1)+ 9 ≤ 9 ;! và! 11−a 2 − b 2 − c 2 = 11− (a + b + c ) 2 + 2(ab +bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1) .! . y = 2 .!! +)!Với! !! y = 1 − 2 x !thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ !và! đặt!t=căn(x)!ta!được:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-). = 2 11−a 2 − b 2 − c 2 − a 3 + b 3 + c 3 ab + bc + ca + 5 .! lll!mLlll) ) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!2! HƯỚ. 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ 1 < x ≠ 2 x < −1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Phương!trình!tương!đương!với:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Page!3!