Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 1! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)*\]^*) V1US)#4%)()*_]*.].*_^) L4`%)1%E&)$U6)aU%()_b*)@4c#d)24W&1)2e)#4`%)1%E&)1%E")>K) f%g&)4h)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)) ) Bi=)_)j.d*)>%e6kF)Cho!hàm!số! y = (m −1)x − m 2 x − m (1) ,(m ≠ 1;m ≠ 0) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2 .! 2. Tìm!m!để!đường!thẳng! y = 2x −1 cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!tam!giác!OAB! có!diện!tích!bằng! 3 !!(với!O!là!gốc!toạ!độ).! Bi=).)j_d*)>%e6kF) 1. Giải!bất!phương!trình! log 2 x − log x 64 <1 .!! 2. Giải!phương!trình! cos4x + 2cosx −3 = 2sin 2x(cosx −sin x − 1) .! Bi=)7)j_d*)>%e6kF!Tính!tích!phân! I = x 2 − x +1 x .ln x dx 1 2 ∫ .! Bi=)\)j_d*)>%e6kF) 1. Tìm!nghiệm!phức!của!phương!trình! z 2 − i.z = 1 .! 2. Một!hộp!đựng!10!chiếc!thẻ!được!đánh!số!từ!0!đến!9.!Lấy!ngẫu!nhiên!ra!3!chiếc!thẻ,!tính! xác!để!3!chữ!số!trên!3!thẻ!được!lấy!ra!có!thể!ghép!thành!một!số!chia!hết!cho!5.!!!! Bi=)^)j_d*)>%e6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a.!Gọi!M,N!lần! lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,AD,!H!là!giao!điểm!của!CN!và!DM.!Biết! SH = 3a và!vuông!góc! với!mặt!đáy!(ABCD).!Tính!theo!a!thể!tích!khối!chóp!S.CMAD!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường! thẳng!MD!và!SC.!!! Bi=)-)j_d*)>%e6kF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(0;2;1),!B(2;2;0)!và! mặt!cầu! (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2y + 2z − 2 = 0 .!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!A,B!và!tiếp! xúc!với!(S).!) Bi=),)j_d*)>%e6kF)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình! đường!phân!giác!trong!góc!kẻ!từ!A!và!đường!cao!kẻ!từ!B!lần!lượt!là! 3x + y = 0;x − y − 2 = 0 .! Giả!sử!điểm! E (6;4) là!điểm!đối!xứng!của!B!qua!C.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!tam!giác!ABC.! Bi=)b)j_d*)>%e6kF)Giải!bất!phương!trình! (3+ 7x −6 3 )(4 + 7−3x ) ≤−x 2 + 4x + 21 .!! Bi=)+)j_d*)>%e6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = 3 .!Tìm!giá!trị! nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = 64 x + y x + y + z +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 3 + 96z 2 (xyz + 3) 2 + 27 x + y + z .!!! ) lll!mLlll) ) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 2! PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT ) Bi=)_)j.d*)>%e6kF)Cho!hàm!số! y = (m −1)x − m 2 x − m (1) ,(m ≠ 1;m ≠ 0) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2 .! 2. Tìm!m!để!đường!thẳng! y = 2x −1 cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!tam!giác!OAB! có!diện!tích!bằng! 3 !!(với!O!là!gốc!toạ!độ).! 1. Học!sinh!tự!làm.! 2. Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:! y = (m −1)x − m 2 x − m = 2x −1 ⇔ 2x 2 − 3mx + m + m 2 = 0 (2) .! Để!đường!thẳng!d!cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!hai!nghiệm!phân!biệt! x 1 ,x 2 ≠ m .! ⇔ Δ = 9m 2 −8(m + m 2 ) > 0 2m 2 −3m 2 + m + m 2 ≠ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ m > 8 m < 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Khi!đó!toạ!độ!hai!giao!điểm!là: A(x 1 ;2x 1 −1),B(x 2 ;2x 2 −1) ;!và!! ! AB 2 = 5(x 2 − x 1 ) 2 = 5 (x 1 + x 2 ) 2 − 4x 1 x 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ !.! Theo!Vi‚ét!ta!có:! x 1 + x 2 = 3m 2 ;x 1 x 2 = m + m 2 2 ⇒ AB 2 = 5 9m 2 4 − 2(m + m 2 ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = 5(m 2 −8m) 4 .! Và! d (O;AB ) = 2.0−0−1 2 2 +1 2 = 1 5 ⇒ S OAB 2 = AB 2 .d 2 (O; AB ) 4 = m 2 −8m 16 = 3 ⇔ m = −4 m =12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ (t/m).! Vậy!giá!trị!cần!tìm!của!m!là! m = −4;m = 12 .!! Bi=).)j_d*)>%e6kF) 1. Giải!bất!phương!trình! log 2 x − log x 64 <1 .!! 2. Giải!phương!trình! cos4x + 2cosx −3 = 2sin 2x(cosx −sin x − 1) .! 1. Điều!kiện:! 0 < x ≠ 1 .! Bất!phương!trình!tương!đương!với: log 2 x −6log x 2 <1 .!! Đặt! t = log 2 x bất!phương!trình!trở!thành:! t − 6 t <1⇔ t 2 −t −6 t < 0 ⇔ (t + 2)(t − 3) t < 0 ⇔ 0 < t < 3 t < −2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⇔ 0 < log 2 x < 3 log 2 x < −2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ 1< x < 8 x < 1 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Kết!hợp!với!điều!kiện!suy!ra!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = 0; 1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ∪ (1;8) .!!!!! 2. Phương!trình!tương!đương!với:! ! sin 2 2x + sin2x (cos x −sin x −1)+1− cos x = 0 (1) .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 3! Coi!đây!là!phương!trình!bâc!hai!của!sin2x!ta!có! ! Δ sin2x = (cos x −sin x −1) 2 − 4(1−cos x ) = −(sin x + cos x −1) 2 ≤ 0 .! Vì!vậy! (1) ⇔ sin x + cosx −1= 0 sin2x = − cos x −sin x −1 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ sin x + cosx −1= 0 sin2x = sin x ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ sin x = 0 cos x = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = k2π .! Vậy!phương!trình!có!nghiệm! x = k2π,k ∈ ! .!!!! BI94).(!Ta!có!thể!đánh!giá!phương!trình!như!sau:! cos4x + 2cosx −3 = 2sin2x (cos x −sin x −1) −2sin 2 2x + 2cos x − 2 = 2sin2x cosx − 2sin 2x(sin x +1) ⇔ sin 2 2x + 2sin 2x cos x + sin 2 2x − 2sin 2x(sin x +1) = 2cos x − 2 ⇔ (sin 2x + cos x ) 2 + (sin2x −sin x −1) 2 = 2cosx − 2+ cos 2 x + (sin x +1) 2 ⇔ (sin 2x + cos x ) 2 + (sin x +1− sin 2x ) 2 = 2(sin x + cos x ) .! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–!Schwarz!ta!có:! ! (sin 2x + cos x ) 2 + (sin x +1−sin 2x ) 2 ≥ 1 2 sin2x + cosx + sin x +1−sin 2x ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 = 1 2 sin x + cosx +1 ( ) 2 ≥ 2(sin x + cos x ) .! Đẳng!thức!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!! sin x + cos x =1 sin 2x + cos x = sin x +1−sin 2x ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ sin x + cos x =1 sin 2x = sin x ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ cos x = 1 .! Bi=)7)j_d*)>%e6kF!Tính!tích!phân! I = x 2 − x +1 x .ln x dx 1 2 ∫ .! Ta!có:!!!!! I = x 2 − x +1 x .ln x dx 1 2 ∫ = (x −1)ln x dx 1 2 ∫ + ln x x dx 1 2 ∫ .! +)! K = ln x x dx 1 2 ∫ = ln xd (ln x ) 1 2 ∫ = ln 2 x 2 2 1 = ln 2 2 2 .! +)! M = (x −1)ln x dx 1 2 ∫ .!Đặt! u = ln x dv = (x −1)dx ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ du = dx x v = x 2 2 − x ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .! Suy!ra! M = x 2 2 −x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ln x 2 1 − x 2 −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ dx 1 2 ∫ = − x 2 4 −x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 1 = 1 4 .! Vậy! I = K + M = 1+ 2 ln 2 2 4 .!!!!!! Bi=)\)j_d*)>%e6kF) 1. Tìm!nghiệm!phức!của!phương!trình! z 2 − i.z = 1 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 4! 2. Một!hộp!đựng!10!chiếc!thẻ!được!đánh!số!từ!0!đến!9.!Lấy!ngẫu!nhiên!ra!3!chiếc!thẻ,!tính! xác!để!3!chữ!số!trên!3!thẻ!được!lấy!ra!có!thể!ghép!thành!một!số!chia!hết!cho!5.!!!! 1. Giả!sử! z = x + y.i(x, y ∈ !) .! Theo!giả!thiết!bài!toán!ta!có:! ! (x + yi) 2 −i(x − yi) =1 ⇔ x 2 − y 2 − y + (2xy − x)i = 1 ⇔ x 2 − y 2 − y =1 2xy − x = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = − 7 2 , y = 1 2 x = 7 2 , y = 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Vậy!có!hai!số!phức!thoả!mãn!là! z = − 7 2 + 1 2 i,z = 7 2 + 1 2 i .!!! 2. Để!3!chữ!số!trên!ba!thẻ!lấy!ra!có!thể!ghép!thành!một!số!chia!hết!cho!5!thì!trong!ba!thẻ!phải! lấy!được!thẻ!mang!chữ!số!0!hoặc!thẻ!mang!chữ!số!5.! +)!Lấy!tuỳ!ý!3!thẻ!có! C 10 3 cách.! +)!Số!cách!lấy!ra!3!thẻ!không!gồm!thẻ!mang!chữ!số!0!và!5!là! C 8 3 .! +)!Số!cách!lấy!ra!3!thẻ!gồm!có!thẻ!mang!chữ!số!0!hoặc!mang!chữ!số!5!là! C 10 3 −C 8 3 .! Vậy!xác!suất!cần!tính!là! P = C 10 3 −C 8 3 C 10 3 = 8 15 .! B4c)3F!Bài!toán!có!thể!hỏi!là!một!số!chia!hết!cho!3,!khi!đó!tổng!3!chữ!số!trên!ba!thẻ!chia!hết! cho!3.! Bi=)^)j_d*)>%e6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a.!Gọi!M,N!lần! lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,AD,!H!là!giao!điểm!của!CN!và!DM.!Biết! SH = 3a và!vuông!góc! với!mặt!đáy!(ABCD).!Tính!theo!a!thể!tích!khối!chóp!S.CMAD!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường! thẳng!MD!và!SC.!!! ! Ta!có! S CMAD = S ABCD −S CBM = 4a 2 − 1 2 .2a.a = 3a 2 .! Vì!vậy! V S .CMDA = 1 3 SA.S CMDA = 1 3 .3a.3a 2 = 3a 3 .!!! Dựng!hình!bình!hành!DMEC!có!DM//EC!nên! DM//(SCE).! Vì!vậy! d (DM ;SC ) = d (DM ;(SCE )) = d (H ;(SCE )) .!! Ta!có! DM = AD 2 + AM 2 = a 5 .! Chú!ý!DM!vuông!góc!với!CN.!Suy!ra!HC!vuông!góc!với!CE.!Kẻ!HK!vuông!góc!với!SC!tại!K! thì! HK ⊥ (SCE ) .! Tam!giác!vuông!NDC!có! CH .CN = CD 2 ⇒ CH = 4a 2 4a 2 + a 2 = 4a 5 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 5! Tam!giác!vuông!SHC!có! 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 HC 2 = 1 9a 2 + 5 16a 2 ⇒ HK = 12 61 61 a .! Vì!vậy! d (DM ;SC ) = HK = 12 61 61 a .!!!! Bi=)-)j_d*)>%e6kF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(0;2;1),!B(2;2;0)!và! mặt!cầu! (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2y + 2z − 2 = 0 .!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!A,B!và!tiếp! xúc!với!(S).!) Mặt!cầu!(S)!có!tâm!I(0;1;‚1),!bán!kính!bằng!2.! Mặt!phẳng!(P)!đi!qua!A,!B!có!dạng:! ax + b(y − 2) + c(z −1) = 0,a 2 + b 2 + c 2 > 0 .! Vì!B!thuộc!(P)!nên! 2a− c = 0 ⇔ c = 2a ⇒ (P) : ax + b( y − 2) + 2a(z −1) = 0 .! Vì!(S)!tiếp!xúc!với!(P)!nên!! d (I ;(P )) = 2 ⇔ −b − 4a a 2 + b 2 + 4a 2 = 2 ⇔ (b + 4a) 2 = 4(5a 2 + b 2 ) ⇔ 4a 2 −8ab + 3b 2 = 0 ⇔ b = 2a 2a = 3b ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! +)!Với! b = 2a ⇒ (P ) : x + 2y + 2z − 6 = 0 .! +)!Với! 2a = 3b ⇒ (P ) : 3x + 2y + 6z −10 = 0 .!!!!!! Bi=),)j_d*)>%e6kF)Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường! phân!giác!trong!góc!kẻ!từ!A!và!đường!cao!kẻ!từ!B!lần!lượt!là! 3x + y = 0;x − y − 2 = 0 .!Giả!sử! điểm! E (6;4) là!điểm!đối!xứng!của!B!qua!C.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!tam!giác!ABC.! Giả!sử!đường!phân!giác!trong!AD;!đường!cao!BH.! Ta!có:! n AD ! "!! = (3;1),n AC ! "!! = u BH ! "!! = (1;1),n AB ! "!! = (a;b),a 2 + b 2 > 0 .!! Do! BAD ! = CAD ! ⇒ n AB " #"" .n AD " #"" n AB " #"" . n AD " #"" = n AC " #"" .n AD " #"" n AC " #"" . n AD " #"" ⇔ 3a + b a 2 + b 2 = 2 2 ⇔ a = b a = −7b ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! +)!Với! a = b ⇒ n AB ! "!! = (1;1) //n AC ! "!! (loại).! +)!Với! a = −7b ⇒ n AB ! "!! = (7;−1) .! Gọi!B(t;t‚2)!thuộc!BH.!Suy!ra! AB : 7x − y − 6t − 2 = 0 .! ! Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!hệ!!! 7x − y −6t − 2 = 0 3x + y = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 3t +1 5 y = − 3(3t +1) 5 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ A 3t +1 5 ;− 3(3t +1) 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .! Vì!C!là!trung!điểm!BE!nên! C t + 6 2 ; t + 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⇒ AC ! "!! = 28−t 10 ; 23t +16 10 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .! Vì!AC!vuông!góc!BH!nên:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 6! u BH ! "!! .AC ! "!! = 0 ⇔ 28−t 10 + 23t +16 10 = 0 ⇔ 22t + 44 = 0 ⇔ t = −2 ⇒ B(−2;−4) C (2;0) A(−1;3) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Vậy!toạ!độ!ba!đỉnh!tam!giác!ABC!là! A(−1;3),B(−2;−4),C (2;0) .!!! Bi=)b)j_d*)>%e6kF)Giải!bất!phương!trình! (3+ 7x −6 3 )(4 + 7−3x ) ≤−x 2 + 4x + 21 .!! Điều!kiện:! x ≤ 7 3 .! Đặt! t = 7−3x ≥ 0 ⇒ x = 7−t 2 3 bất!phương!trình!trở!thành:! (4 + t ) 3+ 7. 7−t 2 3 −6 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ≤− 7−t 2 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + 4. 7−t 2 3 + 21 ⇔ (t + 4) 3+ 31−7t 2 3 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ≤ (t 2 +14)(4−t )(t + 4) 9 ⇔ 27+ 3 9(31−7t 2 ) 3 ≤ (t 2 +14)(4−t ) ⇔ 3 9(31−7t 2 ) 3 ≤−t 3 + 4t 2 −14t + 29 .! Thực!hiện!nhân!liên!hợp!ta!được:! ! 3 9(31−7t 2 ) 3 + t 2 −7 ( ) ≤−(t 3 −7t 2 +14t −8) ⇔ 3 9(31−7t 2 ) + (t 2 −7) 3 ( ) (t 2 −7) 2 −(t 2 −7) 9(31−7t 2 ) 3 + 81(31−7t 2 ) 2 3 ≤−(t 3 −7t 2 +14t −8) ⇔ (t −1)(t −2)(t −4) 3(t +1)(t + 2)(t + 4) (t 2 −7) 2 −(t 2 −7) 9(31−7t 2 ) 3 + 81(31−7t 2 ) 2 3 +1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ≤ 0 ⇔ (t −1)(t −2)(t −4) ≤ 0 ⇔ t ≤1 2 ≤t ≤ 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⇔ 7−3x ≤1 2 ≤ 7−3x ≤ 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ x ≥ 2 −3≤ x ≤1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Chú!ý!ta!có! 3(t +1)(t + 2)(t + 4) (t 2 −7) 2 −(t 2 −7) 9(31−7t 2 ) 3 + 81(31−7t 2 ) 2 3 +1> 0,∀t ≥ 0 .!!! Kết!hợp!với!điều!kiện!suy!ra!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = −3;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ∪ 2; 7 3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ .!!! B4c)3F!Trong!trường!hợp!có!hai!căn!thức!có!bậc!khác!nhau!ta!ưu!tiên!phép!đặt!ẩn!phụ!một!ẩn! (Xem!chi!tiết!Video!lời!giải!hoặc!Bài!giảng!chuyên!đề!Phương!trình!–!bất!phương!trình!vô!tỷ! trên!www.mcalss.vn!).! Câu!hỏi!đặt!ra!là!tại!sao!ghép!(t^2‚7)!với!căn!thức!bậc!3?! Rất!đơn!giản:!Dùng!máy!tính!bỏ!túi!tìm!được!3!nghiệm!của!phương!trình!là!1,2,4!do!vậy!biểu! thức!ngoài!căn!ta!cần!có! (t −1)(t − 2)(t − 4) = t 3 −7t 2 +14t −8 .!Do!vậy!so!sánh!với! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 7! −t 3 + 4t 2 −14t + 29 !ta!có! −t 3 + 4t 2 −14t + 29 = −(t 3 −7t 2 +14t −8)−3t 2 + 21 .!Vì!vậy!ta!ghép! 3 9(31−7t 2 ) 3 −(−3t 2 + 21) = 3 9(31−7t 2 ) 3 + t 2 −7 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .!!!!! Bi=)+)j_d*)>%e6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = 3 .!Tìm!giá!trị! nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = 64 x + y x + y + z +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 3 + 96z 2 (xyz + 3) 2 + 27 x + y + z .!!! B4c)3F)Dự!đoán!dấu!bằng!đạt!tại! x = y = z = 1 !và!đánh!giá!đưa!về!hàm!của!(x+y+z).! !Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:! 64 x + y x + y + z +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 3 + 8 + 8≥ 3 64 x + y x + y + z +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 3 .8 2 3 = 48. x + y x + y + z +1 ; 96z 2 (xyz + 3) 2 + 6 ≥ 2 96z 2 (xyz + 3) 2 .6 = 48 xyz + 3 ! Suy!ra! P ≥ 48. x + y x + y + z +1 + 48 xyz + 3 + 27 x + y + z − 22 .!! nTa!chứng!minh! x + y + z ≥ xyz + 2 .! Thật!vậy!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử! x ≥ y ≥ z ⇒1 ≤ xy ≤ 3 .! Theo!giả!thiết!ta!có:! ! z = 3− x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ 3− x 2 y 2 2xy .! Ta!chỉ!cần!chứng!minh!! 2 xy −2−(xy −1) 3− x 2 y 2 2xy ≥ 0 ⇔ (xy −1) 2 xy +1 − 3− x 2 y 2 2xy ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ≥ 0 ⇔ 8xy ≥ (3− x 2 y 2 )( xy +1) 2 .! Bất!đẳng!thức!đúng!bởi!vì! (3− x 2 y 2 )( xy +1) 2 ≤ (3− x 2 y 2 )( xy + xy ) 2 = 4xy(3− x 2 y 2 ) ≤ 8xy .!!!! Suy!ra! P ≥ 48. x + y + z x + y + z +1 + 27 x + y + z − 22 .! Đặt! t = x + y + z xét!hàm!số! f (t ) = 48t t +1 + 27 t − 22 ta!có! ! f '(t ) = 48 (t +1) 2 − 27 t 2 = 3(t −3)(7t + 3) t 2 (t +1) 2 ; f '(t) = 0 ⇔ t = 3(t > 0) .! Từ!đó!suy!ra! P ≥ f (t) ≥ f (3) = 23 .!Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! x = y = z = 1 .! Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!23.! ! !! ! . Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 1! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)*]^*) V1US)#4%)()*_]*.].*_^) L4`%)1%E&)$U6)aU%()_b*)@4c#d)24W&1)2e)#4`%)1%E&)1%E")>K) f%g&)4h)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-). +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 3 + 96z 2 (xyz + 3) 2 + 27 x + y + z .!!! ) lll!mLlll) ) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 2! PHÂN. Phương!trình!tương!đương!với:! ! sin 2 2x + sin2x (cos x −sin x −1)+1− cos x = 0 (1) .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 3! Coi!đây!là!phương!trình!bâc!hai!của!sin2x!ta!có! !