Trờng thpt lơng thế vinh Hà nội Năm học 2014 - 2015 đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Môn thi: ToánMôn thi: Toán Môn thi: Toán - - Lần thứ 1 Lần thứ 1 Lần thứ 1 Lần thứ 1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Ngày 8.2.2015 Cõu 1 (2,0 ủim). Cho hm s ( ) 4 2 3 2y x m x m= + + (1), vi m l tham s thc. a) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s (1) khi 1m = . b) Tỡm m ủ ủ th hm s (1) ct trc honh ti bn ủim phõn bit cú honh ủ nh hn 2. Cõu 2 (1,0 ủim). a) Gii phng trỡnh 2 2 3cos sin 1 cos sin 2 sin x x x x x + = + . b) Gii phng trỡnh ( ) 3 27 3 3 1 log log ( 2) 1 log 4 3 2 x x x + + = + . Cõu 3 (1,0 ủim). Tớnh tớch phõn 2 1 1 ln . e x I xdx x + = Cõu 4 (1,0 ủim). a) Cho s phc z tha món ủiu kin ( ) 1 2 5 1 i i z i i + + = + . Tỡm mụủun ca s phc 2 1w z z= + + . b) Cú hai thựng ủng tỏo. Thựng th nht cú cú 10 qu (6 qu tt v 4 qu hng). Thựng th hai cú 8 qu (5 qu tt v 3 qu hng). Ly ngu nhiờn mi thựng mt qu. Tớnh xỏc sut ủ hai qu ly ủc cú ớt nht mt qu tt. Cõu 5 (1,0 ủim). Trong khụng gian vi h ta ủ Oxyz , cho hai ủim (1; 1;2), (3;0; 4)A B v mt phng ( ) : 2 2 5 0 P x y z + = . Tỡm ta ủ giao ủim ca ủng thng AB v mt phng ( ) P . Lp phng trỡnh mt phng ( ) Q cha ủng thng AB v vuụng gúc vi mt phng ( ). P Cõu 6 (1,0 ủim). Cho hỡnh chúp .S ABCD cú ủỏy l hỡnh ch nht, , 2AB a AD a= = . Tam giỏc SAB cõn ti S v nm trong mt phng vuụng gúc vi ủỏy. Gúc gia ủng thng SC v mt phng ( )ABCD bng 0 45 . Gi M l trung ủim ca SD . Tớnh theo a th tớch ca khi chúp .S ABCD v khong cỏch t ủim M ủn mt phng ( )SAC . Cõu 7 (1,0 ủim). Trong mt phng ta ủ ,Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 15. ng thng AB cú phng trỡnh 2 0 x y = . Trng tõm ca tam giỏc BCD l ủim 16 13 ; 3 3 G . Tỡm ta ủ bn ủnh ca hỡnh ch nht bit ủim B cú tung ủ ln hn 3. Cõu 8 (1,0 ủim). Gii h phng trỡnh 3 2 2 2 3 2 3 2 ( , ). 3 0 x y y x y y x y x y y + + = + + + = Cõu 9 (1,0 ủim). Cho cỏc s thc , a b khụng õm v tha món: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 5a b ab a b+ + + + . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc ( ) 2 2 3 3 2( )T a b a b a b ab= + + + + . Ht Thớ sinh khụng ủc s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: hoctoancapba.com 1/4 Trờng thpt lơng thế vinh Hà nội Nm hc 2014 2015 đáp án thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ 1 Lần thứ 1 Lần thứ 1 Lần thứ 1 ỏp ỏn cú 04 trang Cõu ỏp ỏn im a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s 4 2 2 1y x x= + Tp xỏc ủnh: D = R . lim ; lim x x y y + = + = + o hm: 3 ' 4 4y x x= ; ' 0 0y x= = hoc 1 x = . 0,25 Cỏc khong ủng bin: ( ) ( ) 1;0 ; 1; + . Khong nghch bin: ( ) ( ) ; 1 ; 0;1 Cc tr: Hm s ủt cc tiu ti 1 x = , 0 CT y = ; ủt cc ủi ti 0 x = , y C = 1. 0,25 Bng bin thiờn: x -1 0 1 + y' - 0 + 0 - 0 + y + 1 + 0 0 0,25 th: (Hs cú th ly thờm ủim ( 2;9); (2;9) ) 0,25 b) (1,0 ủim) Tỡm m ủ ủ th (1) ct trc honh ti bn ủim phõn bit cú honh ủ nh hn 2. Phng trỡnh honh ủ giao ủim ( ) 4 2 3 2 0x m x m+ + = (1) t ( ) 2 2 0 3 2 0t x t m t m= + + = (2) 0,25 (1) cú 4 nghim phõn bit thỡ (2) cú 2 nghim dng phõn bit 0, 0, 0S P > > > 2; 1m m < . 0,25 iu kin: Phng trỡnh (2) phi cú nghim tha món ủiu kin 1 2 0 , 4t t< < Phng trỡnh (2) cú 1 1t = (tha món), 2 2t m= 0,25 1 (2,0ủ) iu kin: 2 4 2m m < > ỏp s: 2 2, 1m m < < . 0,25 a) (0,5 ủim) Gii phng trỡnh 2 2 3cos sin 1 cos sin 2 sin x x x x x + = + . Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi 2 2cos cos sin 2sin cos 0 x x x x x + = ( )( ) 2cos 1 cos sin 0x x x = 0,25 ( ) cos sin 0 tan 1 , 4 x x x x k k = = = + 1 2cos 1 0 cos 2 , 2 3 x x x k k = = = + Vy phng trỡnh ủó cho cú nghim: , 2 , 4 3 x k x k k = + = + . 0,25 b) (0,5 ủim) Gii phng trỡnh ( ) 3 27 3 3 1 log log ( 2) 1 log 4 3 2 x x x + + = + 2 (1,0ủ) iu kin: 4 0 3 x< < . Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 log log 2 log 3 log 4 3 log 2 log 3 4 3 x x x x x x + + = + + = 0,25 hoctoancapba.com 2/4 ( ) ( ) 2 1( ) 2 3 4 3 11 12 0 12( ) x tm x x x x x x L = ⇔ + = − ⇔ + − = ⇔ = − ðáp số: 1 x = . 0,25 Tính tích phân 2 1 1 ln . e x I xdx x + = ∫ 2 1 1 1 1 ln ln e e I xdx xdx A B x x = + = + ∫ ∫ 1 1 1 ln ln (ln ) e e A xdx xd x x = = ∫ ∫ 0,25 2 1 1 ln 1 2 2 e A x= = . 0,25 2 1 1 ln ; e B xdx x = ∫ ðặt 2 1 1 1 ln ' ; 'u x u v v x x x = ⇒ = = ⇒ = − 2 1 1 1 1 1 ln ln 1 1 1 e e e e B x dx x x x x x = − + = − − ∫ 0,25 3 (1,0ñ) 1 1 2 2 1 1 e B e e e e − = − − − = − + = 1 2 3 4 2 2 e e I A B e e − − = + = + = . ( 0,764)I ∼ (Hs cũng có thể tính ngay 2 1 ln ; ' x u x v x + = = ) 0,25 a) (0,5 ñiểm) Cho ( ) 1 2 5 1 i i z i i − + + = − + . Tìm môñun của số phức 2 1w z z= + + . Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) 2 5i z+ = 5 2 2 z i i ⇔ = = − + 0,25 Từ ñó 2 1 6 5w z z i= + + = − . Suy ra | | 36 25 61w = + = . 0,25 b) (0,5 ñiểm) Tính xác suất có ít nhất 1 quả tốt Gọi A là biến cố “Có ít nhất 1 quả tốt”, suy ra A là biến cố: “Cả 2 quả ñều hỏng” Số biến cố ñồng khả năng: 10.8 = 80 Số cách chọn 2 quả hỏng: 1 1 4 3 . 4.3 12C C = = 0,25 4 (1,0ñ) Xác suất của biến cố A là: ( ) 12 3 80 20 p A = = Suy ra, xác suất của biến cố A là: ( ) ( ) 3 1 1 20 p A p A= − = − = 17 20 . 0,25 Cho (1; 1;2), (3;0; 4)A B− − , ( ) : 2 2 5 0P x y z− + − = 5 (1,0ñ) ðường thẳng AB ñi qua ñiểm A và có vtcp ( ) 2;1; 6AB = − Phương trình tham số của AB là 1 2 1 ( ) 2 6 x t y t t z t = + = − + ∈ = − R . 0,25 hoctoancapba.com 3/4 Gọi ( ) ( ) 1 2 ; 1 ;2 6 I AB P I AB I t t t = ∩ ⇒ ∈ ⇒ + − + − 1 ( ) (1 2 ) 2( 1 6 ) 2(2 6 ) 5 0 6 I P t t t t∈ ⇒ + − − + + − − = ⇒ = Suy ra tọa ñộ giao ñiểm của AB và ( )P là ñiểm 4 5 ; ;1 3 6 I − . 0,25 Mặt phẳng ( )Q qua A và có vtpt , Q P n AB n = , trong ñó P n là vtpt của ( )P Ta có ( ) 1; 2;2 P n = − 0,25 Suy ra ( ) , 10;10;5 P AB n = . Chọn ( ) 2;2;1 Q n = Phương trình mặt phẳng ( ): 2( 1) 2( 1) 1( 2) 0Q x y z− + + + − = ⇔ 2 2 2 0 x y z + + − = . 0,25 Cho hình chóp .S ABCD có ñáy là hình chữ nhật, , 2 AB a AD a = = Gọi H là trung ñiểm của ( ) AB SH AB SH ABCD ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ , suy ra HC là hình chiếu của SC lên ( ) 0 45ABCD SCH⇒ = . 2 2 ABCD S a= 0,25 2 2 17 4 4 2 a a SH HC a= = + = 2 . 1 1 17 . . . .2 3 3 2 S ABCD ABCD a V SH S a= = = 3 17 3 a . 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ,( ) ,( ) ,( ) ,( ) 2 2 d M SAC d D SAC d B SAC d H SAC= = = Kẻ ( ) , ( ) ,( ) HI AC HK SI HK AC HK SAC d H SAC HK ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 0,25 6 (1,0ñ) Kẻ 1 2 BE AC HI BE ⊥ ⇒ = . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 2 4 4 5 5 a a BE HI BE BA BC a a a = + = + = ⇒ = ⇒ = Từ ñó suy ra ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 4 89 17 ,( ) 17 17 89 a d M SAC HK HI HS a a a = + = + = ⇒ = = 1513 89 a . 0,25 Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15… Ta có 10 3 10 ( , ) . 5 3 5 2 3 5 3 5 d G AB BC AB= ⇒ = = ⇒ = ðường thẳng d qua G và vuông góc với : 2 15 0AB d x y⇒ + − = 0,25 Gọi ( ) 6;3N d AB N= ∩ ⇒ . Suy ra 1 5 3 NB AB= = 0,25 Gọi ( ) ( ) 2 2 2( ) 2 ; 5 6 8 0 8;4 4 b L B b b AB NB b b B b = ∈ ⇒ = ⇔ − + = ⇒ ⇒ = Ta có ( ) 3 2;1BA BN A= ⇒ 0,25 7 (1,0ñ) ( ) 3 7;6 2 AC AG C= ⇒ . ( ) 1;3CD BA D= ⇒ ðáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) 2;1 , 8;4 , 7;6 , 1;3A B C D . 0,25 A D B C S H E I K I G A B D C K N hoctoancapba.com 4/4 Giải hệ phương trình 3 2 2 2 3 2 3 2 (1) ( , ). 3 0 (2) x y y x y y x y x y y − + + = + ∈ − + + = ℝ ðiều kiện: ( ) 2 3 4 0,(1) 2 2 3 2 ( 3) 3y x x y y y y y y y y x≥ ⇒ − + = + − + + = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 x x x y y x y x x y x x y x y⇒ − + − = ⇔ − − − = ⇔ − + − = 0,25 • 2 y x= : 2 2 (2) 3 2 x x ⇔ + = 4 2 2 4 3 0 1 ( ; ) (1; 1),( 1; 1)x x x x y⇔ − − = ⇔ = ⇒ = − . 0,25 • 2 2 :y x x= − (3) ( ) 2 2 (2) 3 2 2 x x x ⇔ + − = 3 2 4 3 3 2 0 1 ( 1)( 3 3 3) 0 4 3 0 3 3 3 0 x x x x x x x x x x x ≥ = ⇔ ⇒ − − − − = ⇔ − + = − − − = 0,25 8 (1,0ñ) 1 1.x y = ⇒ = 3 2 2 3 3 3 0 ( 3) 3 3 0x x x x x x− − − = ⇔ − − − = (4) Từ (3) suy ra 2 2 0 0 2 x x x − ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇒ (4) vô nghiệm. ðáp số: ( ; ) (1; 1),( 1; 1).x y = − 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0 : 3 2 1 5a b a b ab a b≥ + + + ≥ + . Tìm max: ( ) ( ) 2 2 3 3 2T a b a b a b ab= + − + + + − Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3( ) 2( 1) 5( ) 2 3 3 2a b ab a b a b a b a b+ + + ≥ + ⇔ + + − ≤ + + Vì ( ) 2 3 0 ,a b a b− ≥ ∀ ( ) ( ) 2 2 3 2a b a b⇒ + ≤ + + ðặt 2 1 0 2 3 2 0 2 2 t a b t t t= + ≥ ⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤ . Vì 0 0 2t t≥ ⇒ ≤ ≤ . 0,25 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 1 3 1 2 a b T ab a b a b a b a b a b + = + + − + + − + − ≤ + + − + + [ ] 2 3 3 1 ( ), 0;2 4 T t t f t t⇒ ≤ − + + = ∈ 0,25 Ta có 3 3 3 1 '( ) . 2 2 2 t t f t t t t − = − + = − '( ) 0 1f t t= ⇔ = 0,25 9 (1,0ñ) 13 (0) 1; (1) ; (2) 3 2 2 4 f f f= = = − Từ ñó: [ ] 0;2 13 1 1 . 4 2 t MaxT t a b ∈ = ⇔ = ⇔ = = 0,25 Hết Lưu ý: - Học sinh làm theo cách khác, nếu ñúng vẫn cho ñiểm tối ña. - Học sinh trình bày khác, song vẫn ñủ ý, không có dấu hiệu làm tắt thì không trừ ñiểm. hoctoancapba.com . Trờng thpt lơng thế vinh Hà nội Năm học 2 014 - 2 015 đề thi thử thpt quốc gia năm 2 015 Môn thi: Toán Môn thi: ToánMôn thi: Toán Môn thi: Toán - - Lần thứ 1 Lần thứ 1 Lần thứ 1 Lần. năm 2 015 Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ 1 Lần thứ 1 Lần thứ 1 Lần thứ 1 ỏp ỏn cú 04 trang Cõu ỏp ỏn im a) (1, 0 ủim) Kho sỏt s bin thi n. ∫ 1 1 1 ln ln (ln ) e e A xdx xd x x = = ∫ ∫ 0,25 2 1 1 ln 1 2 2 e A x= = . 0,25 2 1 1 ln ; e B xdx x = ∫ ðặt 2 1 1 1 ln ' ; 'u x u v v x x x = ⇒ = = ⇒ = − 2 1 1 1 1 1 ln