Tại một kỡ SEA Games, mụn búng ủỏ nam cú 10 ủội búng tham dự trong ủú cú ủội Việt Nam và ủội Thỏi Lan.. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiờn ủể chia 10 ủội búng núi trờn thành 2 bảng A và B
Trang 1Trường thpt lương thế vinh
Hà nội
Năm học 2014 - 2015
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ Lần thứ Lần thứ 4 44 4
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
- Ngày 13.6.2015 -
Cõu 1 (2,0 ủiểm) Cho hàm số y = x3ư 3 x2+ 4
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị ( )C của hàm số ủó cho
b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị ( )C tại giao ủiểm của ( )C với ủường thẳng ( ) : d y = ư 5 x + 7
Cõu 2 (1,0 ủiểm)
a) Giải phương trỡnh cos x + cos 3 x = 2cos2x
b) Tỡm số phức z sao cho | z ư 4 | = | | z và ( z + 4)( z + 2 ) i là số thực
Cõu 3 (0,5 ủiểm) Giải phương trỡnh 2.9x + 3.4x = 5.6x
Cõu 4 (1,0 ủiểm) Tớnh tớch phõn
1 3 0
1
.
x
x
+
∫
Cõu 5 (0,5 ủiểm) Tại một kỡ SEA Games, mụn búng ủỏ nam cú 10 ủội búng tham dự (trong ủú cú ủội
Việt Nam và ủội Thỏi Lan) Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiờn ủể chia 10 ủội búng núi trờn thành 2 bảng
A và B, mỗi bảng 5 ủội Tớnh xỏc suất ủể ủội Việt Nam và ủội Thỏi Lan ở cựng một bảng
Cõu 6 (1,0 ủiểm) Trong khụng gian với hệ tọa ủộ Oxyz , cho bốn ủiểm A ( 3; 2;3 , ) B (1;0; 2), C ( 2;3; 4), ư
(4; 3;3)
D ư Lập phương trỡnh mặt phẳng ( BCD Tỡm phương trỡnh hỡnh chiếu vuụng gúc của ủường )
thẳng AB lờn mặt phẳng ( BCD )
Cõu 7 (1,0 ủiểm) Cho hỡnh lăng trụ ABC A B C ' ' ' cú ủỏy ABC là tam giỏc ủều cạnh a , ủỉnh A cỏch '
ủều A B C Gúc giữa cạnh bờn và mặt ủỏy của lăng trụ bằng , , 60 Tớnh theo 0 a thể tớch khối lăng trụ
' ' '
ABC A B C Xỏc ủịnh tõm và tớnh theo a bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp ' A ABC
Cõu 8 (1,0 ủiểm) Trong mặt phẳng tọa ủộ Oxy cho tam giỏc ABC nội tiếp ủường trũn tõm (2;1) , I ,
bỏn kớnh R = 5 Chõn ủường cao hạ từ B C A của tam giỏc ABC lần lượt là , , D (4; 2), (1; 2) E ư và F
Tỡm tọa ủộ tõm ủường trũn nội tiếp của tam giỏc DEF , biết rằng ủiểm A cú tung ủộ dương
Cõu 9 (1,0 ủiểm) Giải phương trỡnh 8 x2+ 10 x + 11 + 14 x + 18 = 11
Cõu 10 (1,0 ủiểm) Cho cỏc số thực , , x y z dương và thỏa món ( 2 ) 2 ( )2
4 x ư + ≤ x 1 16 x yz ư 3 x y + z
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
10 3
2 1
T
+
Trang 2Hộ néi
Năm học 2014 Ờ 2015
ệịp ịn Ờ thang ệiÓm
ệÒ thi thỏ thpt quèc gia nẽm 2015
Mền thi: Toịn
Mền thi: Toịn Ờ Lẵn thụ Lẵn thụ Lẵn thụ 4 44
- đáp án có 05 trang -
Câu đáp án điểm 1 (2,0ự) a) (1,0 ựiểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ựồ thị của hàm số 3 2 3 4 y = x − x + Tập xác ựịnh: D = R lim ; lim x y x y →−∞ = −∞ →+∞ = +∞ đạo hàm: y'=3x2 −6x; y ' = ⇔ = 0 x 0 hoặc x =2 0,25 Khoảng ựồng biến: (−∞;0 ; 2;) ( +∞) Khoảng nghịch biến: ( )0; 2 Cực trị: Hàm số ựạt cực tiểu tại x =2, y CT =0; ựạt cực ựại tại x =0, yCđ = 4 0,25 Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y 4 +∞
−∞ 0
0,25
đồ thị: (Hs có thể lấy thêm ựiểm ( 1; 0); (1; 2); (3; 4)− ) 0,25
b) (1,0 ựiểm) ) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao ựiểm của ( )C với ( ) : d y = − 5 x + 7.
Phương trình hoành ựộ giao ựiểm:
x − x + = − x+ ⇔x − x + x− = ⇔ x− x − x+ =
⇔ = ⇒ = ⇒ giao ựiểm là M(1; 2)
0,25 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( ;x y0 0) : y= y x'( )(0 x−x0)+ y0
0 1; 0 2
2
0
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= −3(x− + ⇔1) 2 y = −3x+5 0,25
2
(1,0ự) a) (0,5 ựiểm) Tìm các nghiệm của phương trình cosx+cos 3x =2 cos2x
2cos 2 cosx x=2 cos x⇔2 cosx cos 2x−cosx =0
cos 2 cos
x
=
0,25
2
( ) 2
3
k
x k
π π π
= +
=
b) (0,5 ựiểm) Tìm số phức z sao cho | z−4 | = | |z và ( z + 4)( z + 2 ) i là số thực.
z = +a bi a b∈R i = − Từ giả thiết ta có:
Trang 3Từ ựó: z= +2 bi; z = −2 bi
(z 4)(z 2 )i (6 bi) 2 (2 b i) 12 b(2 b) (12 4 )b i
Suy ra: 12 4 − b = ⇒ = 0 b 3
đáp số: z = +2 3i
0,25
3
(0,5ự) Giải phương trình 2.9x+ 3.4x = 5.6x
TXđ: D = R Chia 2 vế của phương trình cho 4x > 0 ta ựược: 9 3
đặt 3
0 2
x
t = >
ta có:
2
2 t − + = 5 t 3 0
0,25
3 1;
2
2
x
t = ⇒ = ⇒ =x
Ớ
1
x
t = ⇒ = ⇒ =x
Tập nghiệm của phương trình ựã cho là S = { } 0; 1
0,25
4
(1,0ự) Tắnh tắch phân:
1 3 0
1
.
x
x
+
∫
3
x
+
Ớ Tắnh
1 3 0
x
' 1; '
3
u= ⇒x u = v =e ⇒ =v e
.
0,25
0
0,25
Ớ Tắnh
1
x
x
=
+
2
t
x= ⇒ =t x= ⇒ =t Suy ra: 2( 2 )
1
2
1 9
B = ∫ t − dt
0,25
2 3 1
.
B = t − t =
3
e
5
(0,5ự) Có 10 ựội bóng (trong ựó có Việt Nam và Thái Lan) Bốc thăm ngẫu nhiên ựể chia thành 2
bảng A và B, mỗi bảng 5 ựội Tìm xác suất ựể Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng.
Gọi M là biến cố: ỘViệt Nam và Thái Lan ở cùng một bảngỢ
Số biến cố ựồng khả năng: Số cách chia 10 ựội bóng thành 2 bảng ựều nhau n ( ) Ω = C C105. 55 = 252 0,25 Xét số cách chia mà Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng:
Ớ Chọn bảng (A hoặc B): có 2 cách
Ớ Chọn nốt 3 ựội còn lại: có C83 cách Ớ Chọn 5 ựội của bảng kia: có C55 cách
0,25
Trang 4H A
C
C'
B' A'
B
N M
P
I
(1,0ñ)
phương trình hình chiếu vuông góc của ñường thẳng AB lên mặt phẳng ( BCD )
Ta có BC = − ( 3;3; 2), BD = (3; 3;1) −
Mp BCD ñi qua B (1; 0; 2) và có vtpt n= BC BD , =(9;9;0 ) Chọn n = (1;1;0) 0,25
Phương trình (BCD) : 1(x− +1) 1(y−0)+0(z−2)= ⇔0 x+ − =y 1 0 0,25 ðường thẳng AB cắt (BCD) tại B(1; 0; 2) Ta ñi tìm hình chiếu A' của ñiểm A lên (BCD)
ðường thẳng ∆ ñi qua A và vuông góc với ( BCD )có phương trình
3 2 3
z
= +
= +
=
( t ∈ R ).
A = ∆ ∩ BCD ⇒ + +t + − = ⇒ = − ⇒t t A
0,25
Hình chiếu vuông góc của AB ñi qua B A, ' nên có vtcp u = BA ' = (0;0;1)
Phương trình
1
2
x
BA y
=
=
= +
(t ∈ R)
(Lưu ý: Học sinh viết 1 0 2
x− y− z−
= = thì không cho 0,25 ñiểm phần cuối này)
0,25
7
(1,0ñ) Lăng trụ ABC A B C có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh ' ' ' a, ñỉnh A cách ñều ' A B C , ,
Góc giữa cạnh bên và mặt ñáy của lăng trụ bằng 60 Tính thể tích khối lăng trụ 0
' ' '
ABC A B C Xác ñịnh tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ' A ABC
Xác ñịnh góc 600:
• Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABC) ⇒ HA = HB = HC = AA '2− A H ' 2 suy ra H là tâm ñường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• AH là hình chiếu của AA’ lên (ABC), suy ra A AH =' 60 0
0,25
Tính thể tích lăng trụ: VABC A B C ' ' ' = A H S ' ABC
• ∆ABC ñều cạnh a nên
2
ABC
a
Suy ra:
2 ' ' '
3 4
ABC A B C
a
3
3 4
a
0,25
Xác ñịnh tâm mặt cầu:
• Gọi P là trung ñiểm AA’ Kẻ ñường trung trực d của AA’ trong (A’AH) d cắt A’H tại I
• I∈ ⇒d IA'=IA I∈A H' ⇒IA= IB=IC ⇒I là tâm mặt cầu cần tìm
0,25
3
a
Trang 5H I
C B
A
F
E
D
8
(1,0ự) Cho tam giác ABC nội tiếp ựường tròn tâm (2;1) I , bán kắnh R =5 Chân ựường cao hạ từ
, ,
B C A của tam giác ABC lần lượt là D (4; 2), (1; 2) E − và F Tìm tọa ựộ tâm ựường tròn nội tiếp của tam giác DEF biết rằng ựiểm A có tung ựộ dương.
Chứng minh AI ⊥DE:
Ớ Tứ giác BCDE nội tiếp ựường tròn nên AED = BCD
Ớ Kẻ tiếp tuyến At của ( ; ) I R ta có: BCD=EAt
0,25
Tìm tọa ựộ ựiểm A:
Ớ Phương trình AI qua I, vuông góc với DE: 3 x + 4 y − 10 = 0
2 ( 2; 4) (TM) 4
t
−
0,25
Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC là tâm ựường tròn nội tiếp tam giác DEF:
Ớ DEC = DBC = HEF⇒ EC là phân giác trong của DEF
Ớ Tương tự: DB là phân giác trong của EFD⇒H = BD∩CE là tâm ựường tròn nội tiếp ∆ DEF
0,25
Tìm tọa ựộ ựiểm H:
Ớ Phương trình CE qua E và vuông góc với AE: x − 2 y − = 5 0
Ớ Phương trình BD qua D và vuông góc với AD: 3 x − − y 10 = 0
Ớ Từ ựó H = BD∩CE⇒ H ( 3; 1 − )
0,25
9
(1,0ự) Giải phương trình 8 x2+ 10 x + 11 + 14 x + 18 = 11 (1)
10
x ≥ −
(1) ⇔ 4 2 x + − + x 1 10 x + 11 2 − x − 3 + 14 x + 18 − 2 x − 4 = 0
( 2 ) 2 2 ( 2 1 ) 2 2 ( 2 1 )
0,25
2
f x
10
f x > ∀ ≥ − x ⇒ f x ựồng biến trên 11
10
0,25
10
f x ≥ f − >
nên trường hợp này vô nghiệm đáp số:
1 1;
2
S = −
Lưu ý: + Học sinh chỉ tìm ựược 1 nghiệm, cho Ử ựiểm
+ Học sinh tìm ựược 2 nghiệm mà không CM ựược phần còn lại vô nghiệm, cho ơ ựiểm
Ớ Có thể CM f x >( ) 0 như sau:
x≥ − ⇒ x+ + x+ ≥ − + = x+ + x+ ≥ − + =
5 5
0,25
Trang 6(1,0ñ) Cho các số thực , , x y z dương và thỏa mãn 4(x − + ≤x 1) 16 x yz−3x y( +z)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
10 3
2 1
T
+
Từ giả thiết ta có:
x
2
4 yz 3yz x 1 1, t yz 0 3t 4t 1 0 t 1 yz 1 y
0,25
2
T
z
Ta có: •
2
yz
•
•
3
Từ ñó:
2
T
ðặt t y 0 T f t ( ) t4 3 t2 10 t 5
x
0,25
Ta có: f t'( )=4t3+6t−10=2(t−1)(2t2 +2t+5)
f t = ⇔ = t
BBT:
t 0 1 +∞
'( )
f t - 0 +
( )
f t 5 +∞
-1
0,25
Suy ra T ≥ − ⇒1
t
MinT
> = − ⇔ = ⇔ = = =t 1 x y z 1
Cách 2:
Ta có: • 3 3
1
y
+
•
x + ≥ x = x ⇒ x ≥ x −
Suy ra:
1 1
2 3
y
+
0,25
- Hết -