Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A.. Chứng minh rằng đường thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi tr
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
Đề chính thức
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013
Khóa ngày 11/04/2013
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (5,0 điểm)
1 Cho biểu thức P = 2m +
√ 16m + 6
m + 2√
m − 3 +
√
m − 2
√
m − 1 +
3
√
m + 3 − 2 a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên
2 Tính giá trị (a3 + 15a − 25)2013 với a = p3 13 − 7√
6 +p3 13 + 7√
6
Câu 2 (5,0 điểm)
1 Giải phương trình: √
x + 5 +√
3 − x − 2 √
15 − 2x − x2+ 1 = 0
2 Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2x2+ mx − 1 = 0
mx2− x + 2 = 0 Câu 3 (5,0 điểm)
1 Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa 1
x +
1
y +
1
z = 2.
2 Cho hai số x, y thỏa mãn: x + y ≤ 2
x2+ y2+ xy = 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x2+ y2− xy
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R Tìm điểm M trên đường tròn để M A + 2M B đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A
1 Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống P B, P C Chứng minh rằng đường thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định
2 Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) sao cho diện tích của tam giác ABC luôn bằng a2
—–HẾT—–
Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
Đề chính thức
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013
Khóa ngày 11/04/2013
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm này có 03 trang.)
1(5,0đ)
1 (3,5 điểm)
P =
√
m + 1
√
b) P = 1 + √ 2
2.(1,5 điểm)
a = p3 13 − 7√
6 +p3 13 + 7√
a3 + 15a − 25 = 1 =⇒ (a3 + 15a − 25)2013 = 1 0,5đ
2(5,0đ)
1 (2,5 điểm)
Điều kiện: −5 ≤ x ≤ 3
0,5đ Đặt t =√
x + 5 +√
3 − x, t2 = 8 + 2√
15 − 2x − x2 =⇒ t ≥ 2√
2 Phương trình đã cho có dạng: t2− t − 6 = 0 ⇐⇒ t = 3
t = −2 (loại) 1,0đ
t = 3 ⇐⇒√
x + 5 +√
3 − x = 3
⇐⇒ 4x2+ 8x − 59 = 0 ⇐⇒
x = −2 + 3√7
2
x = −2 − 3√7
2
1,0đ
2 (2,5 điểm)
Đặt x2 = y ≥ 0 Hệ trở thành: mx + 2y = 1
Hệ luôn có nghiệm:
x = m + 4
m2+ 2
y = 1 − 2m
m2+ 2 ≥ 0 (m ≤ 1
2)
0,5đ
Ta có: x2 = y ⇐⇒ m + 4
m2 + 2
2
= 1 − 2m
3(5,0đ) 1 (3,0 điểm)
Tiếp
Trang 3CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Không mất tính tổng quát giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z
=⇒ 2 = 1
x +
1
y +
1
z ≤ 3
x =⇒ x = 1
1,0đ
=⇒ 1
y +
1
z = 1 ≤
2
y =⇒
y = 1 (vô lý)
Vậy (1; 2; 2) và các hoán vị của chúng là nghiệm của phương trình đã cho 1,0đ
2 (2,0 điểm)
Hệ
( x + y ≤ 2
x2+ y2+ xy = 3
⇐⇒( x + y = 2 − a (a ≥ 0)
x2+ y2+ xy = 3
0,5đ
Do đó:
( x + y = 2 − a
xy = (2 − a)2− 3 , ∆ = S
2− 4P ≥ 0 =⇒ 0 ≤ a ≤ 4 0,5đ
T = x2+ y2+ xy − 2xy = 9 − 2(2 − a)2 0,5đ min T = 1 khi x = 1, y = 1 hoặc x = −1, y = −1
max T = 9 khi x =√
3, y = −√
3 hoặc x = −√
3, y =√
3
0,5đ
4(2,0đ)
O A
B
C
M
M0
Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho OC = R
2, ta có điểm C cố định 0,5đ
Dễ thấy ∆OCM đồng dạng ∆OM A =⇒ M A = 2M C 0,5đ
Ta có M A + M B ≥ BC (không đổi)
M A + 2M B = 2(M B + M C) ≥ 2BC
0,5đ
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa B và C
Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì M A+2M B
đạt giá trị nhỏ nhất
0,5đ 5(3,0đ) 1 (2,0 điểm)
Tiếp
Trang 4CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
O A
B
C
P
N
D
I
E
M
A 0
Kẻ AI ⊥ BC, I ∈ BC cố định Ta có \BM A = [BIA = 90◦ nên tứ giác
AM BI nội tiếp hay [AIM = \ABM
Ta lại có tứ giác ABP C nội tiếp nên \ABM = [ACP
Do đó [AIM = [ACP (1)
1,0đ
Mặt khác [AIC = \AN C = 90◦ nên tứ giác AIN C nội tiếp, suy ra
[
ACP + [AIN = 180◦ (2)
0,5đ
Từ (1) và (2) suy ra [AIM + [AIN = 180◦ 0,5đ Vậy đường thẳng M N luôn đi qua điểm cố định I
2 (1,0 điểm)
Tứ giác BCDE nội tiếp suy ra \AED = [ACB
Kéo dài AO cắt (O; R) tại điểm A0 Ta có:
[
EAO + \AED = \BAA0 + [ACB = 90◦
=⇒ AO ⊥ DE =⇒ SAEOD = 1
2AO.DE =
1
2R.DE
0,5đ
Tương tự ta cũng có: SBEOI = 1
2R.EI, SCDOI =
1
2R.ID Vậy: SABC = SAEOD+ SBIOE + SCDOI = 1
2R.(DE + EI + ID)
=⇒ DE + EI + ID = 2SABC
2a2
R (không đổi)
0,5đ
—–HẾT—–
Ghi chú:
• Mọi cách giải đúng khác đáp án đều cho điểm tối đa