KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x 100 + y 100 = x 101 + y 101 = x 102 + y 102 . a. Hãy tìm giá trị của biểu thức: A = x 2012 + y 2012 . b. Giải hệ phương trình: 2 2 2 x y z 6 xy yz zx 1 x y z 14 + + = + − = − + + = Bài 2: Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh). Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 2( ) p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 3: Cho đường tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi. A là một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H. a. Trong trường hợp góc BHC bằng góc BOC, tính AH theo a. b. Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất. Bài 4: Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang. Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B(1; 1) cố định, A di động A(m; 0). a. Viết phương trình họ đường thẳng (d m ) vuông góc với AB tại A. b. Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ (d m ) đồng qui. c. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ (d m ) đi qua. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: Cho a + b + c ≠ 0; a³ + b³ + c³ = 3abc. Chứng minh rằng a = b = c. Bài 2: Tìm x; y; z thỏa mãn phương trình x y z 2009 2 x 19 4 y 7 6 z 1997 + + − = − + − + − Bài 3: Tính giá trị biểu thức: 1 2x 1 2x P 1 1 2x 1 1 2x + − = + + + − − với 3 x 4 = Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác AD, D thuộc BC. a. Chứng minh rằng: 2 1 1 AD AB AC = + b. Nếu AD là phân giác góc ngoài thì kết quả trên thay đổi như thế nào? Bài 5: Cho a, b dương sao cho a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 Q a b a b = + + + . = 3abc. Chứng minh rằng a = b = c. Bài 2: Tìm x; y; z thỏa mãn phương trình x y z 20 09 2 x 19 4 y 7 6 z 199 7 + + − = − + − + − Bài 3: Tính giá trị biểu thức: 1 2x 1 2x P 1 1 2x 1 1 2x + − =. trên mặt phẳng tọa độ sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ (d m ) đi qua. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: Cho a. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: Cho các