KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: a. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì số n 3 2 1 + chia hết cho 3 n+1 nhưng không chia hết cho 3 n+2 . b. Tìm tất cả các số nguyên x, y biết x > y > 0 thỏa mãn x³ + 7y = y³ + 7x Câu 2: Giải phương trình x 3 2 x 4 x 4 x 4 a− − − + − − = (a là tham số). Câu 3: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH; Tính AH theo R và PO = d. Câu 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + c(b – c + 1). Câu 5: a. Giải phương trình: 3 2 3 4(y 1). y 1 4 x 1 x (y 1) − − + + + − = 10 b. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x y 8xy 16 8 y xy x 2 − + = − = + Câu 6: Trên đường thẳng 8x – 13y + 6 = 0, hãy tìm các điểm có tọa độ nguyên nằm giữa hai đường thẳng x = –10 và x = 50. Tìm số tự nhiên n, biết rằng khi bỏ đi ba chữ số tận cùng bên phải của nó thì được số mới có giá trị bằng 3 n . Câu 7: Cho các số thực x > 0, y ≥ 0 thỏa mãn x³ + y³ = x – y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x² + y². Câu 8: Cho tam giác IDC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường thẳng AB tiếp xúc với (O) tại M và song song với CD (A thuộc ID, B thuộc IC). Kẻ đường kính MN của đường tròn (O). Gọi giao điểm của IN với AB là M’. Chứng minh rằng: AM’.CN = BM’.DN; AM’ = BM. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Rút gọn biểu thức: 3 3( ab b) ( a b) 2a a b b A a b a a b b − − + + = + − + với a > 0, b > 0 và a ≠ b. 2. Tính giá trị của biểu thức: 2 (x 3) 3 y x x 1 − = − + với x 2 3= + . Câu 2: 1. Cho biểu thức: B = (3x – 2y)² + (y + z)² + (z – x)². Tìm các số nguyên x, y, z để 0 ≤ B ≤ 1. 2. Cho –1 ≤ x ≤ 1 và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: (1 + x) n + (1 – x) n ≤ 2 n Câu 3: 1. Giải phương trình: 2 (x 3) 10 x + − = x² – x – 12 2. Giải bất phương trình: 4x 3 4 x 1 9x 16 30 x 1 2− + − > + − − + . Câu 4: 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại D tính tỉ số DC DB . 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy một điểm M. Một đường thẳng d qua điểm M cắt AC và AB theo thứ tự tại N và P. Chứng minh rằng: BM CM BP CN − không đổi khi M và d thay đổi. Câu 5: Chứng minh rằng với mọi x, y khác nhau và khác 0 thì: 2 2 2 2 2 x y (x y) y x ( ) 1 xy x y x y − + − = − . . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: a. Chứng. giao điểm của IN với AB là M’. Chứng minh rằng: AM’.CN = BM’.DN; AM’ = BM. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Rút. 3: 1. Giải phương trình: 2 (x 3) 10 x + − = x² – x – 12 2. Giải bất phương trình: 4x 3 4 x 1 9x 16 30 x 1 2− + − > + − − + . Câu 4: 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC.